Skaičių teorija

Skaičių teorija – matematikos šaka, tirianti sveikųjų skaičių savybes. Dauguma skaičių teorijos iškeltų problemų yra suformuluotos paprastai, tačiau kai kurių sprendimas ypatingai sudėtingas.

Skaičių teoriją studijavę matematikai Leonardas Oileris, Karlas Frydrichas Gausas ir Bernardas Rymanas yra laikomi vieni iškiliausių istorijoje. Už indėlį į skaičių teoriją yra skiriami aukščiausi matematikos apdovanojimai, tokie kaip Fildso medalis, Abelio premija ir Koplio medalis.

Šiuolaikinę skaičių teoriją sudaro elementarioji, algebrinė, analizinė, geometrinė, tikimybinė skaičių teorija.

Pagrindai

Pirminiai skaičiai ir daugikliai

Natūralieji skaičiai yra 0, 1, 2, 3… Visi jie, išskyrus 0 ir 1, yra arba pirminiai skaičiai, arba sudėtiniai skaičiai. Pirminis skaičius yra skaičius, kuris dalinasi tik iš savęs ir vieneto. Sudėtinis skaičius yra tas, kuris dalinasi ne tik iš savęs, bet ir iš daugelio kitų daliklių. Pavyzdžiui, 6 yra sudėtinis skaičius, nes $6=2\times 3$. Skaičius, kuris dalina kitą yra vadinamas to skaičiaus dalikliu, šiuo atveju skaičiai 2 ir 3 yra skaičiaus 6 dalikliai.

Pagrindinė aritmetikos teorema teigia, kad kiekvienas natūralusis skaičius, didesnis už vienetą, gali būti išreikštas pirminių skaičių sandauga vieninteliu būdu: niekada nebūna dviejų vieno skaičiaus sandaugų rinkinių, kurios būtų skirtingos.

Pirminių skaičių seka yra begalinė. Šią teoremą įrodė Euklidas IX-ojoje veikalo „Pradmenys“ knygoje, 20-ajame teiginyje.

Tačiau nėra žinoma, kiek yra pirminių skaičių mažesnių už duotą skaičių. 1896 m. buvo įrodyta pirminio skaičiaus teorema, kuri teigia, kad pirminiai skaičiai nėra tolygiai pasiskirstę skaičių tiesėje. Patvirtinus Rymano hipotezę būtų galima geriau įvertinti pirminių skaičių pasiskirstymą. Analizinė skaičių teorija nagrinėja panašius klausimus ir naudoja analitinius metodus bei tolydžias funkcijas.

Istorija

Senieji laikai

Plimpton 322 lentelė.

Senovės Egipte matematiniai veiksmai buvo atliekami su sveikaisiais skaičiais ir egiptietiškomis trupmenomis. Matematiniuose papirusuose rasta uždavinių kartu su sprendiniais ir pagalbinėmis lentelėmis. Lentelės plačiau naudojamos buvo Babilone, kuris paveldėjo šešiasdešimtainę skaičiavimo sistemą iš šumerų. Babiloniečių dantiraščio matematiniuose tekstuose aprašytos daugybos ir atvirkštinių skaičių lentelės, natūraliųjų skaičių kvadratai ir kubai. Babilone jau buvo žinoma daug Pitagoro trejetų, kurių radimui tikriausiai buvo naudojama nežinoma metodika. Seniausiai archeologinis radinys aritmetikos istorijoje yra Plimptono molinės lentelės fragmentas 322, datuojamas 1800 m. pr. m. e. Jame yra Pitagoro trejetų sąrašas, t. y. natūralieji skaičiai $(a,b,c)$, kurie tenkina $a^{2}+b^{2}=c^{2}$.

XVII amžius

XVII amžius yra šiuolaikinės skaičių teorijos, kaip savarankiško mokslo, pradžia. Jį sukūrė prancūzų matematikas Pjeras Ferma, atlikdamas mažiausiai penkis reikšmingus pasiekimus šioje srityje:

• suformulavo mažąją Ferma teoremą;
• iškėlė hipotezę, pavadintą didžiąja Ferma teorema, kuri vėliau buvo įrodyta XX amžiuje;
• pristatė Ferma skaičius ir jiems iškėlė hipotezę, kad visi jie yra pirminiai skaičiai. Vėliau Leonardas Oileris tai paneigė pateikdamas priešingą pavyzdį;
• suformulavo Ferma dviejų kvadratų sumos teoremą;
• pasiūlė Ferma algoritmą sveikųjų skaičių faktorizavimui.

Tame pačiame amžiuje:

• Marinas Mersenas studijavo tam tikrą skaičių seką, vėliau pavadintą Merseno skaičiais. Šioje sekoje jis rado naujų pirminių skaičių. Vėlesniais amžiais sekoje buvo rasta dar daugiau tokių skaičių, todėl iškilo klausimas, ar jų yra be galo daug. Taip pat buvo rastas ryšys tarp Merseno pirminių skaičių ir nuo seniausių laikų žinomų tobulųjų skaičių.
• Džonas Pelas taip pat nagrinėjo tam tikrą kvadratinę diofantinę lygtį, vėliau pavadintą jo vardu (Pelo lygtis).

XVIII amžius

Grafikas, iliustruojantis Oilerio-Maskeronio konstantą (γ) - lygią mėlynos srities plotui

XVIII a. Leonardas Oileris, kaip minėta aukščiau, paneigė Ferma skaičių hipotezę. Taip pat Oileris:

• apibendrino mažąją Ferma teoremą kitiems dalikliams, nebūtinai pirminiams skaičiams;
• atrado naują rekordiškai didelį pirminį skaičių;
• 1744 m. įrodė, kad pirminių skaičių atvirkštinių skaičių suma yra begalinė (tai yra divergentinė eilutė), kas pratęsė anksčiau žinomą faktą apie pirminių skaičių begalybę;
• parodė, kad kiekvienas lyginis tobulasis skaičius yra susijęs su Merseno pirminiais skaičiais;
• įrodė, kad natūraliojo logaritmo (e) bazė yra iracionali;
• įvedė jo vardu pavadintą konstantą.

Kiti matematikai:

• Johanas Heinrichas Lambertas įrodė skaičiaus pi (π) iracionalumą;
• Kristianas Goldbachas pasiūlė pirminių skaičių hipotezę, vėliau pavadintą Goldbacho hipoteze;
• Žozefas Lui Lagranžas įrodė teoremą, pavadintą jo vardu, kuri teigia, jog kiekvienas natūralusis skaičius yra keturių natūraliųjų kvadratų suma;
• Edvardas Varingas suformulavo Varingo problemą, o jo mokinys iškėlė hipotezę, vadinamą Vilsono teorema.

XIX amžius

Taisyklingasis septynkampis. Gauso-Vancelio teorema ir paprasti skaičiavimai parodo, kad šios figūros negalima sukonstruoti klasikiniu būdu. Taip yra todėl, nes septyni yra nelyginis skaičius ir jis nėra jokių Ferma skaičių sandauga (3, 5, 17...)

• Karlas Frydrichas Gausas atvėrė algebrinių skaičių teoriją, įvesdamas kongruencijos sąvoką, įrodydamas Gauso lemą ir kvadratinio apverčiamumo teoremą;
• Bernhardas Rymanas ir Augustas Ferdinandas Miobusas yra analizinės skaičių teorijos pradininkai, kurie iškėlė Riemano hipotezė;
• Žozefas Liuvilis įrodė transcendentinių skaičių egzistavimą. Charles Hermite įrodė, kad e (Oilerio skaičius) yra vienas iš jų, o Ferdinandas Lindemanas pademonstravo pi (π) transcendentiškumą. Susijusi tema yra iracionaliųjų skaičių diofantinės aproksimacijos, kurioms Pėteris Gustavas Leženas Dirichlė įrodė reikšmingą teoremą;
• Hermanas Minkovskis tapo skaičių geometrijos pradininku.

Taip pat buvo sukurtos „klasikinės“ natūraliųjų skaičių problemos:

• 1850 m Pafnutijus Čebyšovas įrodė Bertrano pirminių skaičių paskirstymo postulatą, todėl šis rezultatas dar buvo vadinamas Čebyšovo teorema.
• Euženas Charlesas Katalanas taip pat iškėlė hipotezę, kad tam tikra diofantinė lygtis yra neišsprendžiama. Ji sprendimo laukė iki pat XXI amžiaus.
• Gauso-Vancelio teorema parodė skaičių teorijos ryšį su plokštumų geometrija (planimetrija), o tiksliau – su klasikinių struktūrų teorija. Ferma pirminių skaičių problema pasirodė svarbi taisyklingų daugiakampių konstravimui.

Hilberto 23 problemos, paskelbtos šimtmečio pabaigoje, apėmė keletą skaičių teorijos klausimų, tokių kaip Rymano ir Golbacho hipotezės.

Problemos

• Didžioji Ferma teorema – lygtis $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ neturi sveikųjų sprendinių, kai n>2?

Neišspręstos problemos

• Goldbacho hipotezė – bet kurį lyginį skaičių išreikšti dviejų pirminių skaičių suma?
• Ar egzistuoja tobulieji nelyginiai skaičiai?
• Ar egzistuoja be galo daug pirminių skaičių pavidalu $a^{2}+1$?
• Rymano hipotezė laikoma viena iš svarbiausių neišspręstų matematikos problemų. Ji yra susijusi su Rymano dzeta funkcijos nuliniais taškais.

Taip pat skaitykite

• Pirminiai skaičiai
• Didžiausias bendras daliklis
• Mažiausas bendras kartotinis
• Euklido teorema