Transcendentinis skaičius

Transcendentinis skaičius – realusis arba kompleksinis skaičius, kuris nėra algebrinis skaičius, t. y. negali būti polinomo lygties su racionaliais arba sveikaisiais koeficientais sprendinys:

$a_{n}x^{n}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0$,

kur $n$ yra natūralusis skaičius ir koeficientai $a_{i}$ yra nelygūs nuliui racionalieji skaičiai.

Transcendentinis skaičius negali būti atvaizduotas skaičių tiesėje arba kompleksinėje plokštumoje naudojant skriestuvą. Žinomiausi transcendentiniai skaičiai yra skaičius π ir skačius e. Yra labai sunku įrodyti, jog tam tikras skaičius yra transcendentinis.

Tačiau transcendentiniai skaičiai nėra reti, beveik visi realieji ir kompleksiniai skaičiai yra transcendentiniai, nes algebrinius skaičius galima suskaičiuoti, o transcendentinių skaičių yra nesuskaičiuojama begalybė.

Visi transcendentiniai skaičiai yra iracionalieji, bet ne visi iracionalieji skaičiai yra transcendentiniai. Pavyzdžiui, kvadratinė šaknis iš 2 $({\sqrt {2}})$ – iracionalusis skaičius, bet būdamas lygties $x^{2}-2=0$ sprendiniu, jis nėra transcendentinis.

Pavyzdžiai

• π
• e
• $2^{\sqrt {2}}$
• $\sin 1$
• $\ln a$, jei $a$ yra racionalusis, teigiamas ir vienetui nelygus skaičius.

Istorija

Pirmasis žodį transcendentinis apibūdinti skaičiams panaudojo Gotfrydas Leibnicas, o savo 1682 m. veikale įrodė, kad funkcija $\sin x$ nėra algebrinė argumentui $x$.

Literatūra

• Leibniz, Gottfried Wilhelm; Gerhardt, Karl Immanuel; Pertz, Georg Heinrich (1858). Leibnizens mathematische Schriften 5. A. Asher & Co. pp. 97–98. 
• Bourbaki, Nicolas (1994). Elements of the History of Mathematics. Springer. ISBN 9783540647676.