Pirminio skaičiaus teorema

Pirminių skaičių teoremos iliustracija: raudonai atvaizduotas pirminių skaičių skaičius mažesnis arba lygus už x, žalia spalva - aproksimacija naudojant ${\frac {x}{\ln {x}}}$, mėlyna spalva - apytikslis skaičiavimas naudojant logaritminį integralą $\operatorname {Li} (x)$.

Pirminio skaičiaus teorema – skaičių teorijos teorema, aprašanti asimptotinį pirminių skaičių pasiskirstymą tarp natūraliųjų skaičių. Teorema, naudodama logaritmus, apytiksliai apibūdina, kaip toli vidutiniškai yra vienas nuo kito dideli pirminiai skaičiai:

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\ln(x)}}=1,$

čia $\pi (x)=\sum _{p\leqslant x}1$ - funkcija, kuri nurodo, kiek yra pirminių skaičių ne didesnių už realųjį teigiamą skaičių x. O trupmena ${\frac {x}{\ln(x)}}$ apytiksliai išreiškia funkcijos $\pi (x)$ didėjimą, tai parodo Čebyšovo nelygybė.

Istorija

Ryšį tarp pirminių skaičių ir logaritmų 1792 m. nuspėjo 15-metis Karlas Frydrichas Gausas m., o nepriklausomai nuo jo - Adrien-Marie Legendre 1798 m., nors įrodymas buvo pateiktas tik 1896 m. Jacques Hadamard ir Charles-Jean de La Vallée Poussin (nepriklausomai vienas nuo kito).