Pereiti prie turinio

Džonsono kūnas

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Ištęstas kvadratinis girobikupolas (Džonsono kūnas J37)
Žvaigždė Stella octangula, sudaryta iš 24 lygiašonių trikampių, yra pavyzdys briaunainio, kuris nėra Džonsono kūnas, nes jis nėra iškilas. (Iš tiesų čia yra vienintelė įmanoma oktaedro stelacija.)
Šis „24-kampis“ nėra Džonsono kūnas, kadangi jis nėra griežtai iškilas (turi 180° dvisienius kampus).

Džonsono kūnas – tai geometrinė figūra, kuri yra griežtai iškilas briaunainis, kurio kiekviena siena yra taisyklingasis daugiakampis, bet kuris nėra tolygusis briaunainis (vadinasi, Džonsono kūnais nėra nei Platono, nei Archimedo kūnai, nei prizmės, nei antiprizmės. Šios klasės briaunainiams nekeliamas reikalavimas, kad visos sienos būtų tokie patys daugiakampiai, nei kad prie viršūnės susieitų vienodi daugiakampiai. Paprastas Džonsono kūno pavyzdys yra keturkampė lygiašonė piramidė, kuri kaip Džonsono kūnas žymima J1; jos viena siena yra kvadratas, o kitos keturios sienos – trikampiai.

Kaip ir kiekvienam griežtai iškilam geometriniam kūnui, viršūnėje turi susieiti ne mažiau kaip trys sienos ir jų kampų prie viršūnės suma turi būti mažesnė nei 360 laipsnių. Kadangi mažiausias taisyklingo daugiakampio kampas yra lygus 60 laipsnių, vadinasi, vienoje viršūnėje gali sueiti ne daugiau, kaip penkios sienos. Penkiakampė piramidė (J2) yra figūros, turinčios penkto laipsnio viršūnę (t. y. viršūnę, į kurią sueina 5 sienos), pavyzdys.

Nors nėra jokių akivaizdžių apribojimų, neleidžiančių bet kokiam taisyklingam daugiakampiui būti Džonsono kūno siena, bet reikalavimas, kad kiekviena siena būtų taisyklingas daugiakampis sukuria tokias sąlygas, kad šių kūnų sienos visada būna tik taisyklingi trikampiai, keturkampiai, penkiakampiai, šešiakampiai, aštuonkampiai ir dešimtkampiai, t. y. sienų daugiakampiai turi 3, 4, 5, 6, 8 arba 10 kraštinių.

1966 metais JAV matematikas Normanas Džonsonas (Norman Johnson) publikavo sąrašą, į kurį buvo įtraukti 92 kūnai, kuriems buvo suteikti pavadinimai ir nomenklatūriniai numeriai (J1, J2 ir t. t.). Nors Džonsonas neįrodė, kad šios klasės figūros yra tik 92, bet jis numatė, kad taip turėtų būti. 1969 metais tuometinis TSRS mokslininkas (dabar Izraelio) Viktoras Zalgaleris (Виктор Абрамович Залгаллер) įrodė, kad egzistuoja tik 92 Džonsono kūnai.

Vienas Džonsono kūnų, pailgėjęs kvadratinis girobikupolas (J37), dar vadinamas pseudorombiniu kuboktaedru[1] yra unikalus tuo, kad pasižymi vietiniu viršūnių tolygumu: kiekvienoje viršūnėje sueina 4 sienos ir jos išsidėsčiusios vienodai po 3 kvadratus ir vieną trikampį. Bet šis briaunainis nėra tranzityvus viršūnių atžvilgiu, kadangi viršūnių izometrija yra skirtinga, todėl, nors ir labai artimas, jis negali būti Archimedo kūnas.

Džonsono kūnų pavadinimai atrodo painūs, bet jie yra informatyvūs. Daugelis šių kūnų yra konstruojami iš piramidžių, kupolų ir rotondų, taip pat iš Platono ir Archimedo kūnų bei prizmių ir antiprizmių.

Pavadinime:

  • Bi- reiškia, kad imamos dvi tam tikro kūno kopijos ir sudedamos pagrindas prie pagrindo. Kupolų ir rotondų atveju du vienodi kūnai gali būti suglausti taip, kad glaustųsi vienodos sienos, tada atsiranda priešdėlis orto- (gr. ortho- 'vietoje'), arba skirtingos, – tada atsiranda priešdėlis giro- (gr. gyro 'ratas, pasukta'). Pagal šią taisyklę oktaedras būtų kvadratrinė bipiramidė, kuboktaedras – trikampis girobikupolas, o ikosidodekaedras – penkiakampė girobirotonda.
  • Pailgėjęs reiškia, kad prie bazinio kūno pagrindo yra priglausta prizmė, arba ji įterpta tarp dviejų aukščiau aprašytu būdu suglaudžiamų kūnų. Šiuo atveju rombinis kuboktaedras būtų pailgėjęs kvadratinis ortobikupolas
  • Giropailgėjęs reiškia, kad prie bazinio kūno pagrindo priglausta antiprizmė, arba ji įterpta tarp dviejų aukščiau aprašytu būdu suglaudžiamų kūnų. Pagal tokią formuluotę ikosaedras būtų giropailgėjusi penkiakampė bipiramidė.
  • Priaugintas reiškia, kad iš briaunainio sienos yra iškelta (išauginta) primadė arba kupolas.
  • Pažemintas reiškia, kad nuo briaunainio sienos pašalinta piramidė arba kupolas.
  • Pasuktas reiškia, kad kupolas ant bazinio briaunainio buvo pasuktas taip, kad briaunoje sutaptų skirtingų daugiakampių kraštinės, taip, kaip ortobikupolo ir girobikupolo atveju.

Paskutiniai trys veiksmai (priauginimas, pažeminimas ir pasukimas), kai bazinis kūnas yra didelis (susideda iš daugelio daugiakampių), gali būti atlikti daugiau kaip vieną kartą. Tada, kad būtų parodytas pasukimo laipsnis pridedamas atitinkamas priešdėlis prie veiksmo pavadinimo: bi-, jei veiksmas atliktas dukart (bipasuktas kūnas – abu jo kupolai pasukti); tri-, jei veiksmas atliktas triskart (tripažemintas kūnas – nuo trijų sienų pašalintos piramidės ar kupolai).

Kartais nepakanka vien priešdėlio bi-. Reikalinga galimybė pažymėti skirtumą, kai yra pakeistos dvi lygiagrečios sienos arba dvi įstrižai išsidėsčiusios sienos. Tada naudojami šie priešdėliai: para-, kai veiksmas atliktas su lygiagrečiomis sienomis (parabipriaugintas kūnas turi dvi lygiagrečias sienas, kuriose iškeltos piramidės); meta-, kai veiksmas atliekamas su nelygiagrečiomis sienomis (metabipriaugintas kūnas turi dvi įžambiai išsidėsčiusias sienas, kuriose yra iškeltos piramidės).

Kelių paskutinių Džonsono kūnų pavadinimai sudaromi iš tam tikrų specifiškai daugiakampių junginių, iš kurių jie sudaryti. Kaip nurodo pats Džonsonas[2]:

lune (angl. lune 'pusmėnulis') vadinsime kompleksą iš dviejų trikampių priglaustų prie priešingų kvadrato pusių, sfeno (angl. spheno 'pleištas') vadinsime pleišto pavidalo kompleksą, sudarytą iš dviejų suglaustų pusmėnulių. Disfeno (angl. dispheno) žymėsime du pleištus, o hebesfeno (angl. hebespheno) bukesnį darinį iš dviejų pusmėnulių, tarp kurių įsiterpia trečias pusmėnulis. Dūrinio kamienas korona (angl. corona 'vainikas') nusako vainiko pavidalo kompleksą iš aštuonių trikampių, o megakorona – panašus kompleksas iš 12 trikampių. Kamienas singulum (angl. cingulim 'apvadas') žymi juostą iš 12 trikampių.

Džonsono kūnų suskirstymas grupėmis

[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Pirmi du Džonsono kūnai, J1 ir J2, yra piramidės. Trikampė piramidė yra taisyklingas tetraedras, kuris nėra Džonsono kūnas.

Piramidės
Taisyklinga J1 J2
Trikampė piramidė
(Tetraedras)
Kvadratinė piramidė Penkiakampė piramidė

Kupolai ir rotondos

[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Kiti keturi Džonsono kūnai yra trys kupolai ir viena rotonda. Jie yra tolygiųjų briaunainių nuopjovos.

Kupolai Rotonda
Tolygūs J3 J4 J5 J6
Trikampė prizmė Trikampis kupolas Kvadratinis kupolas Penkiakampis kupolas Penkiakampė rotonda
Susiję tolygieji briaunainiai
Kuboktaedras Rombinis kuboktaedras Rombinis ikosidodekaedras Ikosidodekaedras

Pailgėjusios ir giropailgėjusios piramidės

[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Kiti penki Džonsono kūnai yra pailgėjusios ir giropailgėjusios piramidės. Jos yra dviejų briaunainių kompozicija arba priaugimas. Giropailgėjusios trikampės piramidės atveju susidaro trys poros gretimų trikampių, kurie išsidėsto vienoje plokštumoje ir sudaro nekvadratinį rombą, tad ši figūra nėra Džonsono kūnas.

Pailgėjusios piramidės
(arba priaugintos prizmės)
Giropailgėjusios piramidės
(arba priaugintos antiprizmės)
J7 J8 J9 Koplanarinė J10 J11
Pailgėjusi trikampė piramidė Pailgėjusi kvadratinė piramidė Pailgėjusi penkiakampė piramidė Giropailgėjusi trikampė piramidė Giropailgėjusi kvadratinė piramidė Giropailgėjusi penkiakampė piramidė
Priauginta trikampė prizmė Priaugintas kubas Priauginta penkiakampė prizmė Priaugintas oktaedras Priauginta kvadratinė antiprizmė Priauginta penkiakampė antiprizmė
Priauginta iš briaunainių
tetraedras
trikampė prizmė
kvadratinė piramidė
kubas
penkiakampė piramidė
penkiakampė prizmė
tetraedras
oktaedras
kvadratinė piramidė
kvadratinė antiprizmė
penkiakampė piramidė
penkiakampė antiprizmė

Kiti penki Džonsono kūnai yra bipiramidės, pailgėjusios bipiramidės ir giropailgėjusios bipiramidės:

Bipiramidės pailgėjusios bipiramidės giropailgėjusios bipiramidės
J12 Taisyklingas J13 J14 J15 J16 Koplanarus J17 Taisyklingas
Trikampė bipiramidė Kvadratinė bipiramidė
(oktaedras)
Penkiakampė bipiramidė Pailgėjusi trikampė bipiramidė Pailgėjusi kvadratinė bipiramidė Pailgėjusi penkiakampė bipiramidė Giropailgėjusi trikampė bipiramidė
(romboedras)
Giropailgėjusi kvadratinė bipiramidė Giropailgėjusi penkiakampė bipiramidė
(ikosaedras)
Priauginta iš briaunainių
tetraedras kvadratinė piramidė penkiakampė piramidė tetraedras
trikampė prizmė
kvadratinė piramidė
kubas
penkiakampė piramidė
penkiakampė prizmė
tetraedras
oktaedras
kvadratinė piramidė
kvadratinė antiprizmė
penkiakampė piramidė
penkiakampė antiprizmė

Pailgėję kupolai ir rotondos

[redaguoti | redaguoti vikitekstą]
Pailgėję kupolai Pailgėjusios rotondos Giropailgėję kupolai Giropailgėjusios rotondos
Koplanarus J18 J19 J20 J21 Įgaubtas J22 J23 J24 J25
Pailgėjęs įstrižinis kupolas Pailgėjęs trikampis kupolas Pailgėjęs kvadratinis kupolas Pailgėjęs penkiakampis kupolas Pailgėjusi penkiakampė rotonda Giropailgėjęs įstrižinis kupolas Giropailgėjęs trikampis kupolas Giropailgėjęs kvadratinis kupolas Giropailgėjęs penkiakampis kupolas Giropailgėjusi penkiakampė rotonda
Priauginta iš briaunainių
Kvadratinė prizmė
Trikampė prizmė
Šešiakampė prizmė
Trikampis kupolas
Aštuoniakampė prizmė
Kvadratinis kupolas
Dešimtkampė prizmė
Penkiakampis kupolas
Dešimtkampė prizmė
Penkiakampė rotonda
Kvadratinė antiprizmė
Trikampė prizmė
Šešiakampė antiprizmė
Trikampis kupolas
Aštuoniakampė antiprizmė
Kvadratinis kupolas
Dešimtkampė antiprizmė
Penkiakampis kupolas
Dešimtkampė antiprizmė
Penkiakampė rotonda

Trikampis girobikupolas yra pustaisyklingis briaunainis (šiuo atveju jis yra Archimedo, o ne Džonsono kūnas).

Ortobikupolai Girobikupolai
Koplanarus J27 J28 J30 J26 Pustaisyklingis J29 J31
Digonalinis ortobikupolas Trikampis ortobikupolas Kvadratinis ortobikupolas Penkiakampis ortobikupolas Digonalinis girobikupolas
girobifastigijus (lot. fastigium 'dvišlaitis stogas')
Trikampis girobikupolas
(kuboktaedras)
Kvadratinis girobikupolas Penkiakampis girobikupolas
Priauginta iš briaunainių

Kupolrotondos ir birotondos

[redaguoti | redaguoti vikitekstą]
Kupolai-rotondos Birotondos
J32 J33 J34 Pustaisyklingis
Penkiakampė ortokupolrotonda Penkiakampė girokupolrotonda Penkiakampė ortobirotonda Penkiakampė girobirotonda
ikosidodekaedras
Priauginta iš briaunainių
Penkiakampis kupolas
Penkiakampė rotonda
Penkiakampė rotonda

Pailgėję bikupolai

[redaguoti | redaguoti vikitekstą]
Pailgėję ortobikupolai Pailgėję girobikupolai
Koplanarus J35 Pustaisyklingis J38 Koplanarus J36 J37 J39
Pailgėjęs digonalinis ortobikupolas Pailgėjęs trikampis ortobikupolas Pailgėjęs kvadratinis ortobikupolas
(rombinis kuboktaedras)
Pailgėjęs penkiakampis ortobikupolas Pailgėjęs digonalinis girobikupolas Pailgėjęs trikampis girobikupolas Pailgėjęs kvadratinis girobikupolas Pailgėjęs penkiakampis girobikupolas

Pailgėjusios kupolrotondos ir birotondos

[redaguoti | redaguoti vikitekstą]
Pailgėjusios kupolai-rotondos Pailgėjusios birotondos
J40 J41 J42 J43
Pailgėjusi penkiakampė ortokupolrotonda Pailgėjusi penkiakampė girokupolrotonda Pailgėjusi penkiakampė ortobirotonda Pailgėjusi penkiakampė girobirotonda

Giropailgėję kupolai, giropailgėjusios kupolrotondos ir birotondos

[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Šie Džonsono kūnai turi dvi chiralines formas.

Giropailgėję bikupolai Giropailgėjusios kupolrotondos Giropailgėjusios birotondos
Įgaubtas J44 J45 J46 J47 J48
Giropailgėjęs digonalinis bikupolas Giropailgėjęs trikampis bikupolas Giropailgėjęs kvadratinis bikupolas Giropailgėjęs penkiakampis bikupolas Giropailgėjusi penkiakampė kupolrotonda Giropailgėjusi penkiakampė birotonda
Priauginta iš briaunainių
Trikampė prizmė
Kvadratinė antiprizmė
Trikampis kupolas
Šešiakampė antiprizmė
Kvadratinis kupolas
Aštuoniakampė antiprizmė
Penkiakampis kupolas
Dešimtkampė antiprizmė
Penkiakampis kupolas
Penkiakampė rotonda
Dešimtkampė antiprizmė
Penkiakampė rotonda
Dešimtkampė antiprizmė

Priaugintos trikampės prizmės

[redaguoti | redaguoti vikitekstą]
J7
(kartojasi)
J49 J50 J51
Pailgėjusi trikampė piramidė Priauginta trikampė prizmė Bipriauginta trikampė prizmė Tripriauginta trikampė prizmė
Priauginta iš briaunainių
Trikampė prizmė
tetraedras
Trikampė prizmė
Kvadratinė piramidė

Priaugintos penkiakampės ir šešiakampės prizmės

[redaguoti | redaguoti vikitekstą]
Priaugintos penkiakampės prizmės Priaugintos šešiakampės prizmės
J52 J53 J54 J55 J56 J57
Priauginta penkiakampė prizmė Bipriauginta penkiakampės prizmė Priauginta šešiakampė prizmė Parabipriauginta šešiakampė prizmė Metabipriauginta šešiakampė prizmė Tripriauginta šešiakampė prizmė
Priauginta iš briaunainių
Penkiakampė prizmė
Kvadratinė piramidė
Šešiakampė prizmė
Kvadratinė piramidė

Priauginti dodekaedrai

[redaguoti | redaguoti vikitekstą]
Taisyklingas J58 J59 J60 J61
Dodekaedras Priaugintas dodekaedras Parabipriaugintas dodekaedras Metabipriaugintas dodekaedras Tripriaugintas dodekaedras
Priauginta iš briaunainių
Dodekaedras ir penkiakampė piramidė

Pažeminti ikosaedrai

[redaguoti | redaguoti vikitekstą]
J63 J62 J11
(kartojasi)
Taisyklingas J64
Tripažemintas ikosaedras Metabipažemintas ikosaedras Pažemintas ikosaedras
(Giropailgėjusi penkiakampė piramidė)
Ikosaedras Priaugintas tripažemintas ikosaedras
Priauginta iš briaunainių
Tripažemintas ikosaedras, penkiakampė piramidė ir tetraedras

Priaugintas nupjautinis tetraedras ir nupjautiniai kubai

[redaguoti | redaguoti vikitekstą]
J65 J66 J67
Priaugintas nupjautinis tetraedras Priaugintas nupjautinis kubas Bipriaugintas nupjautinis kubas
Priauginta iš briaunainių
nupjautinis tetraedras
trikampis kupolas
nupjautinis kubas
kvadratinis kupolas

Priauginti nupjautiniai dodekaedrai

[redaguoti | redaguoti vikitekstą]
Pustaisyklingis J68 J69 J70 J71
Nupjautinis dodekaedras Priaugintas nupjautinis dodekaedras Parabipriaugintas nupjautinis dodekaedras Metabipriaugintas nupjautinis dodekaedras Tripriaugintas nupjautinis dodekaedras

Pasukti rombiniai ikosidodekaedrai

[redaguoti | redaguoti vikitekstą]
J72 J73 J74 J75
Pasuktas rombinis ikosidodekaedras Parabipasuktas rombinis ikosidodekaedras Metabipasuktas rombinis ikosidodekaedras Tripasuktas rombinis ikosidodekaedras

Pažeminti rombiniai ikosidodekaedrai

[redaguoti | redaguoti vikitekstą]
J76 J77 J78 J79
Pažemintas rombinis ikosidodekaedras Parapasuktas pažemintas rombinis ikosidodekaedras Metapasuktas pažemintas rombinis ikosidodekaedras Bipasuktas pažemintas rombinis ikosidodekaedras
 
J80 J81 J82 J83
Parabipažemintas rombinis ikosidodekaedras Metabipažemintas rombinis ikosidodekaedras Pasuktas bipažemintas rombinis ikosidodekaedras Tripažemintas rombinis ikosidodekaedras

Nusklembtos antiprizmės

[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Nusklembtos (angl. snub) antiprizmės konstruojamos kaip pakeistos nupjautinės antiprizmės. Dvi iš jų yra Džonsono kūnai, o kitos negali būti sudarytos iš taisyklingų trikampių.

J84 Taisyklingas J85 Netaisyklingas
Džonsono kūnas Taisyklingas Džonsono kūnas Įgaubtas…

nusklembtas disfenoidas
ss{2,4}

ikosaedras
ss{2,6}

nusklembta kvadratinė antiprizmė
ss{2,8}

ss{2,10}…
J86 J87 J88
Sfenokorona Priauginta sfenokorona Sfenomegakorona
J89 J90 J91 J92
Hebesfenomegakorona Disfenocingulum Bilunabirotonda Trikampė hebesfenorotonda

Klasifikavimas pagal sienų tipus

[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Džonsono kūnai trikampėmis sienomis

[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Penki Džonsono kūnai yra deltaedrai, nes visos jų sienos yra lygiakraščiai trikampiai:

J12 Trikampė bipiramidė
J13 Penkiakampė bipiramidė
J17 Giroailgėjusi kvadratinė bipiramidė
J51 Tripriauginta trikampė prizmė
J84 Nusklembtas disfenoidas

Džonsono kūnai trikampėmis ir kvadratinėmis sienomis

[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Dvidešimt keturių Džonsono kūnų sienos yra vien trikampiai ir kvadratai:

J1 Kvadratinė piramidė
J7 Pailginta triangular pyramid]]
J8 Pailginta square pyramid]]
J10 Giropailginta square pyramid]]
J14 Pailginta triangular bipyramid]]
J15 Pailginta square bipyramid]]
J16 Pailginta pentagonal bipyramid]]
J26 Girobifastigijus
J27 Trikampis ortobikupolas
J28 Kvadratinis ortobikupolas
J29 Kvadratinis girobikupolas
J35 Pailgėjęs trikampis ortobikupolas
J36 Pailgėjęs trikampis girobikupolas
J37 Pailgėjęs kvadratinis girobikupolas
J44 Giropailgėjęs trikampis bikupolas
J45 Giropailgėjęs kvadratinis bikupolas
J49 Priauginta trikampė prizmė
J50 Bipriauginta trikampė prizmė
J85 Nusklembta kvadratinė antiprizmė
J86 Sfenokorona
J87 Priauginta sfenokorona
J88 Sfenomegakorona
J89 Hebesfenomegakorona
J90 Disfenocingulum

Džonsono kūnai trikampėmis ir penkiakampėmis sienomis

[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Vienuolikos Džonsono kūnų sienos yra vien trikampiai ir taisyklingieji penkiakampiai:

J2 Penkiakampė piramidė
J11 Giropailgėjusi penkiakampė piramidė
J34 Penkiakampė ortobirotonda
J48 Giropailgėjusi penkiakampė birotonda
J58 Priaugintas dodekaedras
J59 Parabipriaugintas dodekaedras
J60 Metabipriaugintas dodekaedras
J61 Tripriaugintas dodekaedras
J62 Metabipamažintas ikosaedras
J63 Tripamažintas ikosaedras
J64 Priaugintas tripamažintas ikosaedras

Džonsono kūnai trikampėmis, kvadratinėmis ir šešiakampėmis sienomis

[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Aštuonių Džonsono kūnų sienos yra vien trikampiai, kvadratai ir taisyklingieji šešiakampiai:

J3 Trikampis kupolas
J18 Pailgėjęs trikampis kupolas
J22 Girpailgėjęs trikampis kupolas
J54 Priauginta šešiakampė prizmė
J55 Parabipriauginta šešiakampė prizmė
J56 Metabipriauginta šešiakampė prizmė
J57 Tripriauginta šešiakampė prizmė
J65 Priaugintas nupjautinis tetraedras

Džonsono kūnai trikampėmis, kvadratinėmis ir aštuoniakampėmis sienomis

[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Penkių Džonsono kūnų sienos yra vien trikampiai, kvadratai ir taisyklingieji aštuoniakampiai:

J4 Kvadratinis kupolas
J19 Pailgėjęs kvadratinis kupolas
J23 Giropailgėjęs kvadratinis kupolas
J66 Priaugintas nupjautinis kubas
J67 Bipriaugintas nupjautinis kubas

Apibrėžtiniai Džonsono kūnai

[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Dvidešimt penkių Džonsono kūnų viršūnės yra išsidėsčiusios apibrėžrtinės sferos paviršiuje: 1-6, 11, 19, 27, 34, 37, 62, 63, 72-83. Visus juos galima laikyti susijusiais su taisyklingaisiais arba tolygiaisiais briaunainiais pasukimo, sumažinimo ar perkirtimo veiksmais[3].

Oktaedras Kuboktaedras Rombinis kuboktaedras
J1
J3
J27
J4
J19
J37
Ikosaedras Ikosidodekahedras
J2
J63
J62
J11
J6
J34
Rombinis ikosidodekahedras (pamažintas)
J5
J76
J80
J81
J83
Rombinis ikosidodekahedras (+ pasukimas)
J72
J73
J74
J75
J77
J78
J79
J82
  1. http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/pseudo-rhombicuboctahedra.html
  2. George Hart (quoting Johnson) (1996). „Johnson Solids“. Virtual Polyhedra. Nuoroda tikrinta 2014-02-05.
  3. http://bendwavy.org/klitzing/explain/johnson.htm