Džonsono kūnas

Džonsono kūnas – tai geometrinė figūra, kuri yra griežtai iškilas briaunainis, kurio kiekviena siena yra taisyklingasis daugiakampis, bet kuris nėra tolygusis briaunainis (vadinasi, Džonsono kūnais nėra nei Platono, nei Archimedo kūnai, nei prizmės, nei antiprizmės. Šios klasės briaunainiams nekeliamas reikalavimas, kad visos sienos būtų tokie patys daugiakampiai, nei kad prie viršūnės susieitų vienodi daugiakampiai. Paprastas Džonsono kūno pavyzdys yra keturkampė lygiašonė piramidė, kuri kaip Džonsono kūnas žymima J₁; jos viena siena yra kvadratas, o kitos keturios sienos – trikampiai.

Kaip ir kiekvienam griežtai iškilam geometriniam kūnui, viršūnėje turi susieiti ne mažiau kaip trys sienos ir jų kampų prie viršūnės suma turi būti mažesnė nei 360 laipsnių. Kadangi mažiausias taisyklingo daugiakampio kampas yra lygus 60 laipsnių, vadinasi, vienoje viršūnėje gali sueiti ne daugiau, kaip penkios sienos. Penkiakampė piramidė (J₂) yra figūros, turinčios penkto laipsnio viršūnę (t. y. viršūnę, į kurią sueina 5 sienos), pavyzdys.

Nors nėra jokių akivaizdžių apribojimų, neleidžiančių bet kokiam taisyklingam daugiakampiui būti Džonsono kūno siena, bet reikalavimas, kad kiekviena siena būtų taisyklingas daugiakampis sukuria tokias sąlygas, kad šių kūnų sienos visada būna tik taisyklingi trikampiai, keturkampiai, penkiakampiai, šešiakampiai, aštuonkampiai ir dešimtkampiai, t. y. sienų daugiakampiai turi 3, 4, 5, 6, 8 arba 10 kraštinių.

1966 metais JAV matematikas Normanas Džonsonas (Norman Johnson) publikavo sąrašą, į kurį buvo įtraukti 92 kūnai, kuriems buvo suteikti pavadinimai ir nomenklatūriniai numeriai (J₁, J₂ ir t. t.). Nors Džonsonas neįrodė, kad šios klasės figūros yra tik 92, bet jis numatė, kad taip turėtų būti. 1969 metais tuometinis TSRS mokslininkas (dabar Izraelio) Viktoras Zalgaleris (Виктор Абрамович Залгаллер) įrodė, kad egzistuoja tik 92 Džonsono kūnai.

Vienas Džonsono kūnų, pailgėjęs kvadratinis girobikupolas (J₃₇), dar vadinamas pseudorombiniu kuboktaedru^[1] yra unikalus tuo, kad pasižymi vietiniu viršūnių tolygumu: kiekvienoje viršūnėje sueina 4 sienos ir jos išsidėsčiusios vienodai po 3 kvadratus ir vieną trikampį. Bet šis briaunainis nėra tranzityvus viršūnių atžvilgiu, kadangi viršūnių izometrija yra skirtinga, todėl, nors ir labai artimas, jis negali būti Archimedo kūnas.

Pavadinimai

Džonsono kūnų pavadinimai atrodo painūs, bet jie yra informatyvūs. Daugelis šių kūnų yra konstruojami iš piramidžių, kupolų ir rotondų, taip pat iš Platono ir Archimedo kūnų bei prizmių ir antiprizmių.

Pavadinime:

Bi- reiškia, kad imamos dvi tam tikro kūno kopijos ir sudedamos pagrindas prie pagrindo. Kupolų ir rotondų atveju du vienodi kūnai gali būti suglausti taip, kad glaustųsi vienodos sienos, tada atsiranda priešdėlis orto- (gr. ortho- 'vietoje'), arba skirtingos, – tada atsiranda priešdėlis giro- (gr. gyro 'ratas, pasukta'). Pagal šią taisyklę oktaedras būtų kvadratrinė bipiramidė, kuboktaedras – trikampis girobikupolas, o ikosidodekaedras – penkiakampė girobirotonda.
Pailgėjęs reiškia, kad prie bazinio kūno pagrindo yra priglausta prizmė, arba ji įterpta tarp dviejų aukščiau aprašytu būdu suglaudžiamų kūnų. Šiuo atveju rombinis kuboktaedras būtų pailgėjęs kvadratinis ortobikupolas
Giropailgėjęs reiškia, kad prie bazinio kūno pagrindo priglausta antiprizmė, arba ji įterpta tarp dviejų aukščiau aprašytu būdu suglaudžiamų kūnų. Pagal tokią formuluotę ikosaedras būtų giropailgėjusi penkiakampė bipiramidė.
Priaugintas reiškia, kad iš briaunainio sienos yra iškelta (išauginta) primadė arba kupolas.
Pažemintas reiškia, kad nuo briaunainio sienos pašalinta piramidė arba kupolas.
Pasuktas reiškia, kad kupolas ant bazinio briaunainio buvo pasuktas taip, kad briaunoje sutaptų skirtingų daugiakampių kraštinės, taip, kaip ortobikupolo ir girobikupolo atveju.

Paskutiniai trys veiksmai (priauginimas, pažeminimas ir pasukimas), kai bazinis kūnas yra didelis (susideda iš daugelio daugiakampių), gali būti atlikti daugiau kaip vieną kartą. Tada, kad būtų parodytas pasukimo laipsnis pridedamas atitinkamas priešdėlis prie veiksmo pavadinimo: bi-, jei veiksmas atliktas dukart (bipasuktas kūnas – abu jo kupolai pasukti); tri-, jei veiksmas atliktas triskart (tripažemintas kūnas – nuo trijų sienų pašalintos piramidės ar kupolai).

Kartais nepakanka vien priešdėlio bi-. Reikalinga galimybė pažymėti skirtumą, kai yra pakeistos dvi lygiagrečios sienos arba dvi įstrižai išsidėsčiusios sienos. Tada naudojami šie priešdėliai: para-, kai veiksmas atliktas su lygiagrečiomis sienomis (parabipriaugintas kūnas turi dvi lygiagrečias sienas, kuriose iškeltos piramidės); meta-, kai veiksmas atliekamas su nelygiagrečiomis sienomis (metabipriaugintas kūnas turi dvi įžambiai išsidėsčiusias sienas, kuriose yra iškeltos piramidės).

Kelių paskutinių Džonsono kūnų pavadinimai sudaromi iš tam tikrų specifiškai daugiakampių junginių, iš kurių jie sudaryti. Kaip nurodo pats Džonsonas^[2]:

lune (angl. lune 'pusmėnulis') vadinsime kompleksą iš dviejų trikampių priglaustų prie priešingų kvadrato pusių, sfeno (angl. spheno 'pleištas') vadinsime pleišto pavidalo kompleksą, sudarytą iš dviejų suglaustų pusmėnulių. Disfeno (angl. dispheno) žymėsime du pleištus, o hebesfeno (angl. hebespheno) bukesnį darinį iš dviejų pusmėnulių, tarp kurių įsiterpia trečias pusmėnulis. Dūrinio kamienas korona (angl. corona 'vainikas') nusako vainiko pavidalo kompleksą iš aštuonių trikampių, o megakorona – panašus kompleksas iš 12 trikampių. Kamienas singulum (angl. cingulim 'apvadas') žymi juostą iš 12 trikampių.

Džonsono kūnų suskirstymas grupėmis

Piramidės

Pirmi du Džonsono kūnai, J1 ir J2, yra piramidės. Trikampė piramidė yra taisyklingas tetraedras, kuris nėra Džonsono kūnas.

Piramidės
Taisyklinga	J1	J2
Trikampė piramidė (Tetraedras)	Kvadratinė piramidė	Penkiakampė piramidė

Kupolai ir rotondos

Kiti keturi Džonsono kūnai yra trys kupolai ir viena rotonda. Jie yra tolygiųjų briaunainių nuopjovos.

Kupolai				Rotonda
Tolygūs	J3	J4	J5	J6
Trikampė prizmė	Trikampis kupolas	Kvadratinis kupolas	Penkiakampis kupolas	Penkiakampė rotonda


Susiję tolygieji briaunainiai
	Kuboktaedras	Rombinis kuboktaedras	Rombinis ikosidodekaedras	Ikosidodekaedras

Pailgėjusios ir giropailgėjusios piramidės

Kiti penki Džonsono kūnai yra pailgėjusios ir giropailgėjusios piramidės. Jos yra dviejų briaunainių kompozicija arba priaugimas. Giropailgėjusios trikampės piramidės atveju susidaro trys poros gretimų trikampių, kurie išsidėsto vienoje plokštumoje ir sudaro nekvadratinį rombą, tad ši figūra nėra Džonsono kūnas.

Pailgėjusios piramidės (arba priaugintos prizmės)			Giropailgėjusios piramidės (arba priaugintos antiprizmės)
J7	J8	J9	Koplanarinė	J10	J11
Pailgėjusi trikampė piramidė	Pailgėjusi kvadratinė piramidė	Pailgėjusi penkiakampė piramidė	Giropailgėjusi trikampė piramidė	Giropailgėjusi kvadratinė piramidė	Giropailgėjusi penkiakampė piramidė
Priauginta trikampė prizmė	Priaugintas kubas	Priauginta penkiakampė prizmė	Priaugintas oktaedras	Priauginta kvadratinė antiprizmė	Priauginta penkiakampė antiprizmė


Priauginta iš briaunainių
tetraedras trikampė prizmė	kvadratinė piramidė kubas	penkiakampė piramidė penkiakampė prizmė	tetraedras oktaedras	kvadratinė piramidė kvadratinė antiprizmė	penkiakampė piramidė penkiakampė antiprizmė

Bipiramidės

Kiti penki Džonsono kūnai yra bipiramidės, pailgėjusios bipiramidės ir giropailgėjusios bipiramidės:

Bipiramidės			pailgėjusios bipiramidės			giropailgėjusios bipiramidės
J12	Taisyklingas	J13	J14	J15	J16	Koplanarus	J17	Taisyklingas
Trikampė bipiramidė	Kvadratinė bipiramidė (oktaedras)	Penkiakampė bipiramidė	Pailgėjusi trikampė bipiramidė	Pailgėjusi kvadratinė bipiramidė	Pailgėjusi penkiakampė bipiramidė	Giropailgėjusi trikampė bipiramidė (romboedras)	Giropailgėjusi kvadratinė bipiramidė	Giropailgėjusi penkiakampė bipiramidė (ikosaedras)


Priauginta iš briaunainių
tetraedras	kvadratinė piramidė	penkiakampė piramidė	tetraedras trikampė prizmė	kvadratinė piramidė kubas	penkiakampė piramidė penkiakampė prizmė	tetraedras oktaedras	kvadratinė piramidė kvadratinė antiprizmė	penkiakampė piramidė penkiakampė antiprizmė

Pailgėję kupolai ir rotondos

Pailgėję kupolai				Pailgėjusios rotondos	Giropailgėję kupolai				Giropailgėjusios rotondos
Koplanarus	J18	J19	J20	J21	Įgaubtas	J22	J23	J24	J25
Pailgėjęs įstrižinis kupolas	Pailgėjęs trikampis kupolas	Pailgėjęs kvadratinis kupolas	Pailgėjęs penkiakampis kupolas	Pailgėjusi penkiakampė rotonda	Giropailgėjęs įstrižinis kupolas	Giropailgėjęs trikampis kupolas	Giropailgėjęs kvadratinis kupolas	Giropailgėjęs penkiakampis kupolas	Giropailgėjusi penkiakampė rotonda


Priauginta iš briaunainių
Kvadratinė prizmė Trikampė prizmė	Šešiakampė prizmė Trikampis kupolas	Aštuoniakampė prizmė Kvadratinis kupolas	Dešimtkampė prizmė Penkiakampis kupolas	Dešimtkampė prizmė Penkiakampė rotonda	Kvadratinė antiprizmė Trikampė prizmė	Šešiakampė antiprizmė Trikampis kupolas	Aštuoniakampė antiprizmė Kvadratinis kupolas	Dešimtkampė antiprizmė Penkiakampis kupolas	Dešimtkampė antiprizmė Penkiakampė rotonda

Bikupolai

Trikampis girobikupolas yra pustaisyklingis briaunainis (šiuo atveju jis yra Archimedo, o ne Džonsono kūnas).

Ortobikupolai				Girobikupolai
Koplanarus	J27	J28	J30	J26	Pustaisyklingis	J29	J31
Digonalinis ortobikupolas	Trikampis ortobikupolas	Kvadratinis ortobikupolas	Penkiakampis ortobikupolas	Digonalinis girobikupolas girobifastigijus (lot. fastigium 'dvišlaitis stogas')	Trikampis girobikupolas (kuboktaedras)	Kvadratinis girobikupolas	Penkiakampis girobikupolas


Priauginta iš briaunainių

Kupolrotondos ir birotondos

Kupolai-rotondos		Birotondos
J32	J33	J34	Pustaisyklingis
Penkiakampė ortokupolrotonda	Penkiakampė girokupolrotonda	Penkiakampė ortobirotonda	Penkiakampė girobirotonda ikosidodekaedras


Priauginta iš briaunainių
Penkiakampis kupolas Penkiakampė rotonda		Penkiakampė rotonda

Pailgėję bikupolai

Pailgėję ortobikupolai				Pailgėję girobikupolai
Koplanarus	J35	Pustaisyklingis	J38	Koplanarus	J36	J37	J39
Pailgėjęs digonalinis ortobikupolas	Pailgėjęs trikampis ortobikupolas	Pailgėjęs kvadratinis ortobikupolas (rombinis kuboktaedras)	Pailgėjęs penkiakampis ortobikupolas	Pailgėjęs digonalinis girobikupolas	Pailgėjęs trikampis girobikupolas	Pailgėjęs kvadratinis girobikupolas	Pailgėjęs penkiakampis girobikupolas

Pailgėjusios kupolrotondos ir birotondos

Pailgėjusios kupolai-rotondos		Pailgėjusios birotondos
J40	J41	J42	J43
Pailgėjusi penkiakampė ortokupolrotonda	Pailgėjusi penkiakampė girokupolrotonda	Pailgėjusi penkiakampė ortobirotonda	Pailgėjusi penkiakampė girobirotonda

Giropailgėję kupolai, giropailgėjusios kupolrotondos ir birotondos

Šie Džonsono kūnai turi dvi chiralines formas.

Giropailgėję bikupolai				Giropailgėjusios kupolrotondos	Giropailgėjusios birotondos
Įgaubtas	J44	J45	J46	J47	J48
Giropailgėjęs digonalinis bikupolas	Giropailgėjęs trikampis bikupolas	Giropailgėjęs kvadratinis bikupolas	Giropailgėjęs penkiakampis bikupolas	Giropailgėjusi penkiakampė kupolrotonda	Giropailgėjusi penkiakampė birotonda


Priauginta iš briaunainių
Trikampė prizmė Kvadratinė antiprizmė	Trikampis kupolas Šešiakampė antiprizmė	Kvadratinis kupolas Aštuoniakampė antiprizmė	Penkiakampis kupolas Dešimtkampė antiprizmė	Penkiakampis kupolas Penkiakampė rotonda Dešimtkampė antiprizmė	Penkiakampė rotonda Dešimtkampė antiprizmė

Priaugintos trikampės prizmės

J7 (kartojasi)	J49	J50	J51
Pailgėjusi trikampė piramidė	Priauginta trikampė prizmė	Bipriauginta trikampė prizmė	Tripriauginta trikampė prizmė


Priauginta iš briaunainių
Trikampė prizmė tetraedras	Trikampė prizmė Kvadratinė piramidė

Priaugintos penkiakampės ir šešiakampės prizmės

Priaugintos penkiakampės prizmės		Priaugintos šešiakampės prizmės
J52	J53	J54	J55	J56	J57
Priauginta penkiakampė prizmė	Bipriauginta penkiakampės prizmė	Priauginta šešiakampė prizmė	Parabipriauginta šešiakampė prizmė	Metabipriauginta šešiakampė prizmė	Tripriauginta šešiakampė prizmė


Priauginta iš briaunainių
Penkiakampė prizmė Kvadratinė piramidė		Šešiakampė prizmė Kvadratinė piramidė

Priauginti dodekaedrai

Taisyklingas	J58	J59	J60	J61
Dodekaedras	Priaugintas dodekaedras	Parabipriaugintas dodekaedras	Metabipriaugintas dodekaedras	Tripriaugintas dodekaedras


Priauginta iš briaunainių
Dodekaedras ir penkiakampė piramidė

Pažeminti ikosaedrai

J63	J62	J11 (kartojasi)	Taisyklingas	J64
Tripažemintas ikosaedras	Metabipažemintas ikosaedras	Pažemintas ikosaedras (Giropailgėjusi penkiakampė piramidė)	Ikosaedras	Priaugintas tripažemintas ikosaedras


Priauginta iš briaunainių
Tripažemintas ikosaedras, penkiakampė piramidė ir tetraedras

Priaugintas nupjautinis tetraedras ir nupjautiniai kubai

J65	J66	J67
Priaugintas nupjautinis tetraedras	Priaugintas nupjautinis kubas	Bipriaugintas nupjautinis kubas


Priauginta iš briaunainių
nupjautinis tetraedras trikampis kupolas	nupjautinis kubas kvadratinis kupolas

Priauginti nupjautiniai dodekaedrai

Pustaisyklingis	J68	J69	J70	J71
Nupjautinis dodekaedras	Priaugintas nupjautinis dodekaedras	Parabipriaugintas nupjautinis dodekaedras	Metabipriaugintas nupjautinis dodekaedras	Tripriaugintas nupjautinis dodekaedras

Pasukti rombiniai ikosidodekaedrai

J72	J73	J74	J75
Pasuktas rombinis ikosidodekaedras	Parabipasuktas rombinis ikosidodekaedras	Metabipasuktas rombinis ikosidodekaedras	Tripasuktas rombinis ikosidodekaedras

Pažeminti rombiniai ikosidodekaedrai

J76	J77	J78	J79
Pažemintas rombinis ikosidodekaedras	Parapasuktas pažemintas rombinis ikosidodekaedras	Metapasuktas pažemintas rombinis ikosidodekaedras	Bipasuktas pažemintas rombinis ikosidodekaedras



J80	J81	J82	J83
Parabipažemintas rombinis ikosidodekaedras	Metabipažemintas rombinis ikosidodekaedras	Pasuktas bipažemintas rombinis ikosidodekaedras	Tripažemintas rombinis ikosidodekaedras

Nusklembtos antiprizmės

Nusklembtos (angl. snub) antiprizmės konstruojamos kaip pakeistos nupjautinės antiprizmės. Dvi iš jų yra Džonsono kūnai, o kitos negali būti sudarytos iš taisyklingų trikampių.

J84	Taisyklingas	J85	Netaisyklingas
Džonsono kūnas	Taisyklingas	Džonsono kūnas	Įgaubtas…
nusklembtas disfenoidas ss{2,4}	ikosaedras ss{2,6}	nusklembta kvadratinė antiprizmė ss{2,8}	ss{2,10}…

Kiti

J86	J87	J88
Sfenokorona	Priauginta sfenokorona	Sfenomegakorona


J89	J90	J91	J92
Hebesfenomegakorona	Disfenocingulum	Bilunabirotonda	Trikampė hebesfenorotonda

Klasifikavimas pagal sienų tipus

Džonsono kūnai trikampėmis sienomis

Penki Džonsono kūnai yra deltaedrai, nes visos jų sienos yra lygiakraščiai trikampiai:

J12 Trikampė bipiramidė J13 Penkiakampė bipiramidė J17 Giroailgėjusi kvadratinė bipiramidė	J51 Tripriauginta trikampė prizmė J84 Nusklembtas disfenoidas

Džonsono kūnai trikampėmis ir kvadratinėmis sienomis

Dvidešimt keturių Džonsono kūnų sienos yra vien trikampiai ir kvadratai:

J1 Kvadratinė piramidė J7 Pailginta triangular pyramid]] J8 Pailginta square pyramid]] J10 Giropailginta square pyramid]] J14 Pailginta triangular bipyramid]] J15 Pailginta square bipyramid]] J16 Pailginta pentagonal bipyramid]] J26 Girobifastigijus	J27 Trikampis ortobikupolas J28 Kvadratinis ortobikupolas J29 Kvadratinis girobikupolas J35 Pailgėjęs trikampis ortobikupolas J36 Pailgėjęs trikampis girobikupolas J37 Pailgėjęs kvadratinis girobikupolas J44 Giropailgėjęs trikampis bikupolas J45 Giropailgėjęs kvadratinis bikupolas	J49 Priauginta trikampė prizmė J50 Bipriauginta trikampė prizmė J85 Nusklembta kvadratinė antiprizmė J86 Sfenokorona J87 Priauginta sfenokorona J88 Sfenomegakorona J89 Hebesfenomegakorona J90 Disfenocingulum

Džonsono kūnai trikampėmis ir penkiakampėmis sienomis

Vienuolikos Džonsono kūnų sienos yra vien trikampiai ir taisyklingieji penkiakampiai:

J2 Penkiakampė piramidė J11 Giropailgėjusi penkiakampė piramidė J34 Penkiakampė ortobirotonda J48 Giropailgėjusi penkiakampė birotonda J58 Priaugintas dodekaedras J59 Parabipriaugintas dodekaedras	J60 Metabipriaugintas dodekaedras J61 Tripriaugintas dodekaedras J62 Metabipamažintas ikosaedras J63 Tripamažintas ikosaedras J64 Priaugintas tripamažintas ikosaedras

Džonsono kūnai trikampėmis, kvadratinėmis ir šešiakampėmis sienomis

Aštuonių Džonsono kūnų sienos yra vien trikampiai, kvadratai ir taisyklingieji šešiakampiai:

J3 Trikampis kupolas J18 Pailgėjęs trikampis kupolas J22 Girpailgėjęs trikampis kupolas J54 Priauginta šešiakampė prizmė	J55 Parabipriauginta šešiakampė prizmė J56 Metabipriauginta šešiakampė prizmė J57 Tripriauginta šešiakampė prizmė J65 Priaugintas nupjautinis tetraedras

Džonsono kūnai trikampėmis, kvadratinėmis ir aštuoniakampėmis sienomis

Penkių Džonsono kūnų sienos yra vien trikampiai, kvadratai ir taisyklingieji aštuoniakampiai:

J4 Kvadratinis kupolas J19 Pailgėjęs kvadratinis kupolas J23 Giropailgėjęs kvadratinis kupolas	J66 Priaugintas nupjautinis kubas J67 Bipriaugintas nupjautinis kubas

Apibrėžtiniai Džonsono kūnai

Dvidešimt penkių Džonsono kūnų viršūnės yra išsidėsčiusios apibrėžrtinės sferos paviršiuje: 1-6, 11, 19, 27, 34, 37, 62, 63, 72-83. Visus juos galima laikyti susijusiais su taisyklingaisiais arba tolygiaisiais briaunainiais pasukimo, sumažinimo ar perkirtimo veiksmais^[3].

Oktaedras	Kuboktaedras		Rombinis kuboktaedras
J1	J3	J27	J4	J19	J37

Ikosaedras				Ikosidodekahedras
J2	J63	J62	J11	J6	J34

Rombinis ikosidodekahedras (pamažintas)
J5	J76	J80	J81	J83

Rombinis ikosidodekahedras (+ pasukimas)
J72	J73	J74	J75	J77	J78	J79	J82

Išnašos

↑ http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/pseudo-rhombicuboctahedra.html
↑ George Hart (quoting Johnson) (1996). „Johnson Solids“. Virtual Polyhedra. Nuoroda tikrinta 2014-02-05.
↑ http://bendwavy.org/klitzing/explain/johnson.htm

[1] ttp://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/pseudo-rhombicuboctahedra.html

[2] George Hart (quoting Johnson) (1996). „Johnson Solids“. Virtual Polyhedra. Nuoroda tikrinta 2014-02-05.

[3] ttp://bendwavy.org/klitzing/explain/johnson.htm

[1]

[2]

[3]