Deltaedras

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Jump to navigation Jump to search
Didžiausias griežtai iškilas deltaedras yra ikosaedras.
Nupjautinio tetraedro šešiakampės sienos suskirstytos į trikampius. Tokia figūra nebegali būti laikoma griežtai iškilu deltaedru, kadangi pagal apibrėžimą sienos negali būti išsidėsčiusios vienoje plokštumoje.

Deltaedras yra briaunainis, kurio sienos yra lygiakraščiai trikampiai. Figūros pavadinimas kilęs iš graikų abėcėlės mažosios raidės delta (Δ), kuri primena lygiakraštį trikampį. Egzistuoja be galo daug deltaedrų, bet tik aštuoni yra iškilieji briaunainiai, turintys 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 ir 20 sienų.[1] Šie deltaedrai aprašyti žemiau pateikiamoje lentelėje.

Aštuoni iškilieji deltaedrai[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Iš viso egzistuoja tik aštuoni griežtai iškilūs deltaedrai: trys taisyklingieji briaunainiai ir penki Džonsono kūnai.

Taisyklingieji deltaedrai
Vaizdas Pavadinimas Sienos Briaunos Viršūnės Viršūnės planas Simetrijos grupė
Tetrahedron.jpg tetraedras 4 6 4 4 × 33 Td, [3,3]
Octahedron.svg oktaedras 8 12 6 6 × 34 Oh, [4,3]
Icosahedron.jpg ikosaedras 20 30 12 12 × 35 Ih, [5,3]
Džonsono deltaedrai
Vaizdas Pavadinimas Sienos Briaunos Viršūnės Viršūnės planas Simetrijos grupė
Triangular dipyramid.png trikampė bipiramidė 6 9 5 2 × 33
3 × 34
D3h, [3,2]
Pentagonal dipyramid.png penkiakampė bipiramidė 10 15 7 5 × 34
2 × 35
D5h, [5,2]
Snub disphenoid.png nusklembtas disfenoidas 12 18 8 4 × 34
4 × 35
D2d, [2,2]
Triaugmented triangular prism.png tetrakaidekadeltaedras 14 21 9 3 × 34
6 × 35
D3h, [3,2]
Gyroelongated square dipyramid.png hekkaidekadeltaedras 16 24 10 2 × 34
8 × 35
D4d, [4,2]

Kai kurios šešiasienių deltaedrų viršūnės yra trečio laipsnio, o kai kurios – ketvirto. Kai kurių 10, 12, 14 ir 16 sienų turinčių deltaedrų viršūnės yra ketvirto laipsnio, o kai kurios – penkto. Penki netaisyklingieji deltaedrai yra Džonsono kūnai: iškilūs briaunainiai, kurių sienos yra taisyklingi daugiakampiai.

Deltaedrai išsaugo savo pavidalą net jei briaunoms leidžiama laisvai suktis apie savo viršūnę taip, kad kampai tarp briaunų gali būti neišsaugoti. Ne visi briaunainiai turi šią savybę: pavyzdžiui, jei atpalaiduotume kai kuriuos kubo kampus, jį galėtume deformuoti į nestačiąją stačiakampę prizmę.

Griežtai iškilas 18 sienų deltaedras negali būti sudarytas.[2] Nors leidžiant sutrumpinti kai kurias ikosaedro briaunas, galima gauti tam tikrą oktadekaedrą, kurio iškilumas gali būti išsaugotas, jei visos 18 sienų bus įvairiakraščiai trikampiai, arba išsaugant lygiakraščius trikampius, bet tada dvi plokštumoje išsidėsčiusios grupės po tris trikampius.

Negriežtai iškili deltaedrai[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Galima sudaryti begalinę aibę briaunainių, kurių visos ar kai kurios sienos būtų koplanariniai trikampiai (išsidėstę vienoje plokštumoje), kitaip tariant kurių sienas sudarytų trikampiai klojiniai. Koplanarinių trikampių sienos gali jungtis į rombines, trapecines, šešiakampes ir kitokias lygiakraščių daugiakampių sienas[3] Jeigu koplanarinių ttrikampių grupes laikysime viena siena, pavyzdžiui: Polyiamond-1-1.svg, Polyiamond-2-1.svg, Polyiamond-3-1.svg, Polyiamond-4-2.svg, Polyiamond-4-3.svg, Polyiamond-5-1.svg, Polyiamond-6-1.svg ir Polyiamond-6-11.svg, ..., tokius briaunainius turėtume laikyti negriežtai iškilais deltaedrais.

Lentelėje pateikiama keletas mažesnių pavyzdžių:

Koplanariniai deltaedrai
Vaizdas Pavadinimas Sienos Briaunos Viršūnės Viršūnės planas Simetrijos grupė
Augmented octahedron.png Priaugintas oktaedras
Priauginimas
1 tetr + 1 okta
10 Polyiamond-1-1.svg 15 7 1 × 33
3 × 34
3 × 35
0 × 36
C3v, [3]
4 Polyiamond-1-1.svg
3 Polyiamond-2-1.svg
12
Gyroelongated triangular bipyramid.png Trikampis trapecoedras
Priauginimas
2 tetr + 1 okta
12 Polyiamond-1-1.svg 18 8 2 × 33
0 × 34
6 × 35
0 × 36
C3v, [3]
6 Polyiamond-2-1.svg 12
Tet2Oct solid.png Priauginimas
2 tetr + 1 okta
12 Polyiamond-1-1.svg 18 8 2 × 33
1 × 34
4 × 35
1 × 36
C2v, [2]
2 Polyiamond-1-1.svg
2 Polyiamond-2-1.svg
2 Polyiamond-3-1.svg
11 7
Triangulated monorectified tetrahedron.png Trikampė nupjautinė piramidė
Priauginimas
3 tetr + 1 okta
14 Polyiamond-1-1.svg 21 9 3 × 33
0 × 34
3 × 35
3 × 36
C3v, [3]
1 Polyiamond-1-1.svg
3 Polyiamond-3-1.svg
1 Polyiamond-4-3.svg
9 6
TetOct2 solid2.png Ištęstas oktaedras
Priauginimas
2 tetr + 2 okta
16 Polyiamond-1-1.svg 24 10 0 × 33
4 × 34
4 × 35
2 × 36
D2h, [2,2]
4 Polyiamond-1-1.svg
4 Polyiamond-3-1.svg
12 6
Triangulated tetrahedron.png Tetraedras
Priauginimas
4 tetr + 1 okta
16 Polyiamond-1-1.svg 24 10 4 × 33
0 × 34
0 × 35
6 × 36
Td, [3,3]
4 Polyiamond-4-3.svg 6 4
Tet3Oct2 solid.png Priauginimas
3 tetr + 2 okta
18 Polyiamond-1-1.svg 27 11 1 × 33
2 × 34
5 × 35
3 × 36
D2h, [2,2]
2 Polyiamond-1-1.svg
1 Polyiamond-2-1.svg
2 Polyiamond-3-1.svg
2 Polyiamond-4-2.svg
14 9
Double diminished icosahedron.png Sutrumpintų briaunų
ikosaedras
18 Polyiamond-1-1.svg 27 11 0 × 33
2 × 34
8 × 35
1 × 36
C2v, [2]
12 Polyiamond-1-1.svg
2 Polyiamond-3-1.svg
22 10
Triangulated truncated triangular bipyramid.png Trikampė nupjautinė bipiramidė
Priauginimas
6 tetr + 2 okta
20 Polyiamond-1-1.svg 30 12 0 × 33
3 × 34
6 × 35
3 × 36
D3h, [3,2]
2 Polyiamond-1-1.svg
6 Polyiamond-3-1.svg
15 9
Augmented triangular cupola.png Trikampis kupolas
Priauginimas
4 tetr + 3 okta
22 Polyiamond-1-1.svg 33 13 0 × 33
3 × 34
6 × 35
4 × 36
C3v, [3]
3 Polyiamond-1-1.svg
3 Polyiamond-3-1.svg
1 Polyiamond-4-3.svg
1 Polyiamond-6-11.svg
15 9
Triangulated bipyramid.png Trikampė bipiramidė
Priauginimas
8 tetr + 2 okta
24 Polyiamond-1-1.svg 36 14 2 × 33
3 × 34
0 × 35
9 × 36
D3h, [3]
6 Polyiamond-4-3.svg 9 5
Augmented hexagonal antiprism flat.png Šešiakampė antiprizmė 24 Polyiamond-1-1.svg 36 14 0 × 33
0 × 34
12 × 35
2 × 36
D6d, [12,2+]
12 Polyiamond-1-1.svg
2 Polyiamond-6-11.svg
24 12
Triangulated truncated tetrahedron.png Nupjautinis tetraedras
Priauginimas
6 tetr + 4 okta
28 Polyiamond-1-1.svg 42 16 0 × 33
0 × 34
12 × 35
4 × 36
Td, [3,3]
4 Polyiamond-1-1.svg
4 Polyiamond-6-11.svg
18 12
Triangulated octahedgon.png Tetrakis kuboktaedras
Oktaedras

Priauginimas
8 tetr + 6 okta
32 Polyiamond-1-1.svg 24 18 0 × 33
12 × 34
0 × 35
6 × 36
Oh, [4,3]
8 Polyiamond-4-3.svg 12 6

Neiškilosios formos[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Egzistuoja begalinė daugybė neiškilųjų deltaedrų.

Keli susikertančių sienų deltaedrai:

Kiti dažniau nagrinėjami neiškilieji deltaedrai gaunami iš visų 5 Platono kūnų, kai prie jų sienų priauginamos lygiakraštės piramidės:

5-cell net.png Pyramid augmented cube.png Stella octangula.png Pyramid augmented dodecahedron.png Tetrahedra augmented icosahedron.png
triakis* tetraedras tetrakis* heksaedras triakis* oktaedras
(stella octangula)
pentakis* dodekaedras triakis* ikosaedras
12 trikampių 24 trikampiai 60 trikampių

* Pastaba: graikų lotynų kalbų hibridai triakis, tetrakis, pentakis reiškia, kad sienoje yra iškilusios atitinkamai 3, 4 ar 5 briaunos, arba „keteros“.

Kai kurie kitokie tetraedro priauginimai:

Pavyzdžiai: Priauginti tetraedrai
Biaugmented tetrahedron.png Triaugmented tetrahedron.png Quadaugmented tetrahedron.png
8 trikampiai 10 trikampių 12 trikampių

Deltaedrai gaunami ne tik priauginant piramides, bet ir atvirkščiu veiksmu – išduobiant sienas piramidėmis:

Third stellation of icosahedron.png
Išduobtas dodekaedras
Toroidal polyhedron.gif
A toroidinis deltaedras
60 trikampių 48 trikampiai

Tarp aukštesnų matavimų figūrų, deltaedrams yra giminingi simpleksiniai politopai, kurių kiekvienas fasetas yra simpleksas.

Nuorodos[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

  1. Freudenthal, 1947
  2. Trigg, Charles W. (1978), "An Infinite Class of Deltahedra", Mathematics Magazine 51(1): 55–57 .
  3. The Convex Deltahedra And the Allowance of Coplanar Faces
  • Freudenthal, H & van der Waerden, B. L. (1947), "Over een bewering van Euclides ("On an Assertion of Euclid")" (in Dutch), Simon Stevin 25: 115–128  (Įrodoma, kad egzistuoja tik 8 iškilieji deltaedrai.)
  • O. Rausenberger Konvexe pseudoreguläre Polyeder. Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht 46, 135-142, 1915.
  • H. Martyn Cundy Deltahedra. Math. Gaz. 36, 263-266, Dec 1952. [1]
  • H. Martyn Cundy and A. Rollett Deltahedra. §3.11 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., pp. 142–144, 1989.
  • Charles W. Trigg An Infinite Class of Deltahedra, Mathematics Magazine, Vol. 51, No. 1 (Jan., 1978), pp. 55–57 [2]
  • M. Gardner Fractal Music, Hypercards, and More: Mathematical Recreations, Scientific American Magazine. New York: W. H. Freeman, pp. 40, 53, and 58-60, 1992.
  • Anthony Pugh (1976). Polyhedra: A visual approach. California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7. pp. 35–36