Archimedo kūnas

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Peršokti į: navigacija, paiešką
Uniform polyhedron-53-t012.png
Nupjautinis ikosidodekaedras, turintis 120 viršūnių, yra didžiausias Archimedo briaunainis.

Archimedo briaunainiai yra labai simetriški pustaisyklingiai iškilieji briaunainiai, sudaryti iš dviejų ar daugiau rūšių taisyklingų daugiakampių, kurie susieina identiškose viršūnėse. Jie skiriasi nuo Platono kūnų tuo, kad pastaruosius sudaro išimtinai vienodi ir tarpusavyje lygūs daugiakampiai, susieinantys į vienodas viršūnes, o nuo Džonsono kūnų tuo, kad šių sienas sudarantys taisyklingi daugiakampiai sudaro nevienodas viršūnes.

Sąvoka vienodos viršūnės paprastai reiškia, kad bet kurioms dviems viršūnėms galima pritaikyti izometrinę transformaciją, tinkančią visai figūrai, kad vieną viršūnę sutapdintume su kita. Kartais pasitenkinama reikalavimu, kad sienos susieinančios vienoje viršūnėje būtų izometriškai susijusios su sienomis, kurios susieina kitoje. Šis apibrėžimų skirtumas ypač svarbus, kai kalbama apie pseudorombinį kuboktaedrą: tai unikalus iškilas briaunainis, kurio taisyklingi sienų daugiakampiai vienodu būdu susieina kiekvienoje viršūnėje, bet jis neturi globalios simetrijos, pagal kurią kiekvieną viršūnę būtų galima sutapdinti su kitomis. Remdamasis šiuo faktu, Branko Grünbaumas pasiūlė (2009 m.) terminologiškai skirti šias dvi briaunainių šeimas ir Archimedo briaunainius apibrėžti kaip kiekvienoje viršūnėje turinčius vienodą viršūnės planą (įskaitant ir pseudorombinį kuboktaedrą), o tolygiuosius briaunainius apibrėžti kaip turinčius simetriškas viršūnes (vadinasi, neapimančius pseudorombinio kuboktaedro).

Prizmės ir antiprizmės, kurių simetrijos grupės yra dvisienės, bendru atveju nelaikomos Archimedo briaunainiais, nors jos ir atitinka tik ką pateiktą apibrėžimą. Taikant tokį apribojimą, turime tik baigtinę aibę Archimedo kūnų. Visus juos (išskyrus pseudorombinį kuboktaedrą), taikant Vithofo konstrukcijas (Wythoff constructions), galima sukurti iš Platono kūnų, kuriems būdinga tetraedrinė, oktaedrinė ir ikosaedrinė simetrija.

Pavadinimo kilmė[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Šie briaunainiai pavadinti Archimedo vardu, kuris aprašė juos savo dabar jau prarastame veikale. Bet šį veikalą cituoja Papus Aleksandriškis, kuris teigia, kad Archimedas nurodė 13 briaunainių.[1] Renesanso periodu menininkai ir matematikai labai vertino grynas formas ir jas tyrinėjo bei atrado iš naujo. Šias paieškas beveik galutinai užbaigė Johanas Kepleris[2], kuris apibrėžė prizmes, antiprizmes ir neiškilius briaunainius vėliau imtus vadinti Keplerio-Puanso biriaunainiais.

Kepleris, tikėtina, atrado ir prailgintą kvadratinį girobikupolą (pseudorombinį kuboktaedrą): bent vieną kartą jis tikrai paminėjo, kad yra 14 Archimedo briaunainių. Deja, jo pateiktuose sąrašuose yra tik 13 tolygių briaunainių, o pirmą aikvaizdų liudijimą apie pseudorombinį kuboktaedrą sutinkame 1905 metais, Dunkano Somervilio (Duncan Sommerville) darbe.[1]

Klasifikacija[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Iš viso yra: 13 Archimedo briaunainių (pagal moderniausią apibrėžimą neįtraukiant pseudorombinio kuboktaedro, arba pailgo stačiakampio girobikupolo, kaip jis neretai vadinamas); 15 Archimedo briaunainių, jei dviejų enantiamorfiškų briaunainių veidrodinius atspindžius laikysime skirtingais kūnais.

Lentelės viršūnės plano langelyje įrašytos skaitinės reikšmės rodo, kokio tipo taisyklingi daugiakampiai susieina šioje viršūnėje. Pavyzdžiui, viršūnės plano skaitinės reikšmės (4,6,8) reiškia, kad viršūnėje susieina kvadratas, šešiakampis ir aštuoniakampis (daugiakampiai surašomi pagal laikrodžio rodyklę).

Pavadinimas

(Alternatyvus pavad.)

Schläfli

Coxeter

Skaidrus Tankus Išklotinė Viršūnės

planas

Sienos Briaunos Viršūnės Taškinės

simetr. grupė

nupjautinis tetraedras {3,3}

CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png

Truncated tetrahedron
(Animacija)
Truncated tetrahedron.png Truncated tetrahedron flat.svg 3.6.6
Truncated tetrahedron vertfig.png
8 4 trikampiai

4 šešiakampiai

18 12 Td
kuboktaedras

(rombtetratetraedras)

r{4,3} or rr{3,3}

CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png or CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png

Cuboctahedron
(Animacija)
Cuboctahedron.png Cuboctahedron flat.svg 3.4.3.4
Cuboctahedron vertfig.png
14 8 trikampiai

6 kvadratai

24 12 Oh
nupjautinis kubas t{4,3}

CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png

Truncated hexahedron
(Animacija)
Truncated hexahedron.png Truncated hexahedron flat.svg 3.8.8

Truncated cube vertfig.png

14 8 trikampiai

6 aštuoniakampiai

36 24 Oh
nupjautinis oktaedras

(nupjautinis tetratetraedras)

t{3,4} or tr{3,3}

CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png or CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png

Truncated octahedron
(Animacija)
Truncated octahedron.png Truncated octahedron flat.png 4.6.6

Truncated octahedron vertfig.png

14 6 kvadratai

8 šešiakampiai

36 24 Oh
rombinis kuboktaedras

(mažasis rombinis kuboktaedras)

rr{4,3}

CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png

Rhombicuboctahedron
(Animacija)
Small rhombicuboctahedron.png Rhombicuboctahedron flat.png 3.4.4.4

Small rhombicuboctahedron vertfig.png

26 8 trikampiai

18 kvadratų

48 24 Oh
nupjautinis kuboktaedras

(didysis rombinis kuboktaedras)

tr{4,3}

CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png

Truncated cuboctahedron
(Animacija)
Great rhombicuboctahedron.png Truncated cuboctahedron flat.svg 4.6.8

Great rhombicuboctahedron vertfig.png

26 12 kvadratų

8 šešiakampiai
6 aštuoniakampiai

72 48 Oh
nusklembtas (angl. snub) kubas

(nusklembtas kuboktaedras)

sr{4,3}
CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Snub hexahedron (Ccw)
(Animacija)
Snub hexahedron.png Snub cube flat.svg 3.3.3.3.4

Snub cube vertfig.png

38 32 trikampiai

6 kvadratai

60 24 O
ikosidodekaedras r{5,3}

CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png

Icosidodecahedron
(Animacija)
Icosidodecahedron.png Icosidodecahedron flat.svg 3.5.3.5

Icosidodecahedron vertfig.png

32 20 trikampių

12 penkiakampių

60 30 Ih
nupjautinis dodekaedras t{5,3}

CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png

Truncated dodecahedron
(Animacija)
Truncated dodecahedron.png Truncated dodecahedron flat.png 3.10.10

Truncated dodecahedron vertfig.png

32 20 trikampių

12 dešimtkampių

90 60 Ih
nupjautinis ikosaedras t{3,5}

CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.png

Truncated icosahedron
(Animacija)
Truncated icosahedron.png Truncated icosahedron flat-2.svg 5.6.6

Truncated icosahedron vertfig.png

32 12 penkiakampių

20 šešiakampių

90 60 Ih
rombinis ikosidodekaedras

(mažasis rombinis ikosidodekaedras)

rr{5,3}

CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png

Rhombicosidodecahedron
(Animacija)
Small rhombicosidodecahedron.png Rhombicosidodecahedron flat.png 3.4.5.4

Small rhombicosidodecahedron vertfig.png

62 20 trikampiai

30 kvadratų
12 penkiakampių

120 60 Ih
nupjautinis ikosidodekaedras

(didysis rombinis ikosidodekaedras)

tr{5,3}

CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png

Truncated icosidodecahedron
(Animacija)
Great rhombicosidodecahedron.png Truncated icosidodecahedron flat.svg 4.6.10

Great rhombicosidodecahedron vertfig.png

62 30 kvadratų

20 šešiakampių
12 dešimtkampių

180 120 Ih
nusklembtas dodekaedras

(nusklembtas ikosidodekaedras)

sr{5,3}

CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png

Snub dodecahedron (Ccw)
(Animacija)
Snub dodecahedron ccw.png Snub dodecahedron flat.svg 3.3.3.3.5

Snub dodecahedron vertfig.png

92 80 trikampių

12 penkiakampių

150 60 I

Pagal kai kuriuos pustaisyklingių briaunainių apibrėžimus, į šią šeimą įtraukiamas dar vienas briaunainis, pseudorombinio kuboktaedro, arba dar kitaip vadinamas pailgas stačiakampis girobikupolas.[3]

Savybės[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Archimedo kūnų viršūnių skaičius apskaičiuojamas 720° dalijant iš viršūnės kampo defekto.

Kuboktaedras ir ikosidodekaedas yra izotoksai (turi viebodas briaunas) ir priskiriami kvazitaisyklingiams briaunainiams.

Archimedo kūnų dualai yra vadinami Katalano kūnais. Kartu su bipiramidėmis ir trapecoedrais, jie yra tokie izoedrai, kurie turi taisyklingas viršūnes.

Chirališkumas[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Nusklembtas (angl. snub) kubas ir nusklembtas dodekaedras yra chirališki, nes jie būna kairinės ir dešininės formos, todėl kūno trimatis pavidalas nesutampa su jo veidrodiniu atspindžiu. Kūno savybė turėti kairinę ir dešininę formą vadinama enantiomorfizmu, o patys kūnai gali būti vadinami enantiomorfais. Taigi minėtos dvi figūros (nusklembtas kubas ir nusklembtas dodekaedras) yra enantiomorfinės, arba tiesiog, enantiomorfai.

Archimedo kūnų konstravimas[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Taip pat skaitykite – Tolygusis briaunainis, Konvėjaus briaunainio formulė.

Archimedo kūnus galima konstruoti naudojant Vithofo konstravimo schemos pakopas.

Tarp atskirų Archimedo ir Platono kūnų egzistuoja sąryšiai, kuriuos galima aptikti, taikant bendras jų konstravimo pakopas. Pradžioje nupjauname Platono kūnų viršūnes. Kad būtų išlaikoma simetrija, pjovimo plokštuma turi būti statmena tiesei, jungiančiai viršūnę su briaunainio centru (visos viršūnės nupjaunamos vienodai). Pagal tai, kiek nupjaunama (žr. lentelę žemiau), susidaro įvairūs Platono ir Archimedo kūnai (taip pat, ir kitokie „tarpiniai“ briaunainiai). Pailgėjimas ir kanteliacija (angl. cantellation) yra tokios operacijos, kai briaunainio sienos tolinamos nuo jo centro (visos sienos vienodu atstumu, kad nebūtų pažeista Platono kūno simetrija) ir išgaubiant iš jų iškilus kupolus. Tempimas su pasukimu reiškia, kad sienos dar ir pasukamos, taip prie briaunų besišliejantys stačiakampiai palaipsniui virsta trikampiais. Paskutinė čia taikoma konstravimo pakopa – nupjauti kartu viršūnes ir briaunas. Kai tempimo metu nekeičiami pradiniai sienų matmenys (sienos tiesiog tolinamos viena nuo briaunainio centro), tokį tempimą galima laikyti nupjovimu, kai kartu pjaunamos viršūnės ir briaunos, išlaikant tam tikrą proporciją tarp kampo ir briaunų pokyčio.


Archimedo kūnų konstravimas
Simetrija Tetraedrinė simetrija
Tetrahedral reflection domains.png
Oktaedrinė simetrija
Octahedral reflection domains.png
Ikosaedrinė simetrija
Icosahedral reflection domains.png
Pradinis kūnas
Operacija
Simbolis
{p, q}
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png
Tetraedras
{3,3}
Uniform polyhedron-33-t0.png
Kubas
{4,3}
Uniform polyhedron-43-t0.png
Oktaedras
{3,4}
Uniform polyhedron-43-t2.png
Dodekaedras
{5,3}
Uniform polyhedron-53-t0.png
Ikosaedras
{3,5}
Uniform polyhedron-53-t2.png
Nupjovimas (t) t{p, q}
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png
nupjautinis tetraedras
Uniform polyhedron-33-t01.png
nupjautinis kubas
Uniform polyhedron-43-t01.png
nupjautinis oktaedras
Uniform polyhedron-43-t12.png
nupjautinis dodekaedras
Uniform polyhedron-53-t01.png
nupjautinis ikosaedras
Uniform polyhedron-53-t12.png
Rektifikavimas (r)
Konvėjaus[4]: Ambo (a)
r{p, q}
CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png
tetratetraedras
Uniform polyhedron-33-t1.png
kuboktaedras
Uniform polyhedron-43-t1.png
ikosidodekaedras
Uniform polyhedron-53-t1.png
Dvigubas nupjovimas (2t)
Konvėjaus: Dual kis (dk)
2t{p, q}
CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png
nupjautinis tetraedras
Uniform polyhedron-33-t12.png
nupjautinis oktaedras
Uniform polyhedron-43-t12.png
nupjautinis kubas
Uniform polyhedron-43-t01.png
nupjautinis ikosaedras
Uniform polyhedron-53-t12.png
nupjautinis dodekaedras
Uniform polyhedron-53-t01.png
Dvigubas rektifikavimas (2r)
Dualas (d)
2r{p, q}
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png
tetraedras
Uniform polyhedron-33-t2.png
oktaedras
Uniform polyhedron-43-t2.png
kubas
Uniform polyhedron-43-t0.png
ikosaedras
Uniform polyhedron-53-t2.png
dodekaedras
Uniform polyhedron-53-t0.png
Kanteliacija (rr)
Pailgėjimas (e)
rr{p, q}
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png
rombinis tetratetraedras
Uniform polyhedron-33-t02.png
rombinis kuboktaedras
Uniform polyhedron-43-t02.png
rombinis ikosidodekaedras
Uniform polyhedron-53-t02.png
Nusklembimas ir rektifikavimas (sr)
Nusklembtas (s)
sr{p, q}
CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel q.pngCDel node h.png
nusklembtas tetratetraedras
Uniform polyhedron-33-s012.png
nusklembtas kuboktaedras
Uniform polyhedron-43-s012.png
nusklembtas ikosidodekaedras
Uniform polyhedron-53-s012.png
Kanteliacija su nupjovimu (tr)
Konvėjaus: Bevel (b)
tr{p, q}
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png
nupjautinis tetratetraedras
Uniform polyhedron-33-t012.png
nupjautinis kuboktaedras
Uniform polyhedron-43-t012.png
nupjautinis ikosidodekaedras
Uniform polyhedron-53-t012.png

Atkreipkite dėmesį į dualumą tarp kubo ir oktaedro bei tarp dodekaedro ir ikosaedro. O taip pat į tai, kad tetraedrinę simetriją turi tik vienas Archimedo kūnas, iš dalies dėl to, kad tetraedras yra dualus pats sau.

Išnašos[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

  1. 1,0 1,1 Grünbaum (2009).
  2. Field J., Rediscovering the Archimedean Polyhedra: Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer, Daniele Barbaro, and Johannes Kepler, Archive for History of Exact Sciences, 50, 1997, 227
  3. Malkevitch (1988), p. 85
  4. Šiems Conway’aus įvestiems angliškiems terminams nepavyksta rasti terminologinių lietuviškų atitikmenų (tikrinta 2015 m.); angliškai žr.[1]

Šaltiniai[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

  • Jayatilake, Udaya. „Calculations on face and vertex regular polyhedra“. Mathematical Gazette, 89 (514), 76–81 (2005 m. kovas). 
  • Grünbaum, Branko (2009), "An enduring error", Elemente der Mathematik 64(3): 89–101, doi:10.4171/EM/120 . Reprinted in Pitici, Mircea, ed. (2011), The Best Writing on Mathematics 2010, Princeton University Press, p. 18–31 .
  • Williams, Robert (1979). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc.. ISBN 0-486-23729-X.
  • Malkevitch, Joseph (1988), "Milestones in the history of polyhedra", in Senechal, M. & Fleck, G., Shaping Space: A Polyhedral Approach, Boston: Birkhäuser, p. 80–92 .
  • Pugh, Anthony (1976). Polyhedra: A visual approach. California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7. 2 skyrius