Archimedo kūnas
 Nupjautinis ikosidodekaedras, turintis 120 viršūnių, yra didžiausias Archimedo briaunainis. |
Archimedo briaunainiai – labai simetriški pustaisyklingiai iškilieji briaunainiai, sudaryti iš dviejų ar daugiau rūšių taisyklingųjų daugiakampių, kurie susieina identiškose viršūnėse. Jie skiriasi nuo Platono kūnų tuo, kad pastaruosius sudaro išimtinai vienodi ir tarpusavyje lygūs daugiakampiai, susieinantys į vienodas viršūnes, o nuo Džonsono kūnų tuo, kad šių sienas sudarantys taisyklingi daugiakampiai sudaro nevienodas viršūnes.
Sąvoka vienodos viršūnės paprastai reiškia, kad bet kurioms dviem viršūnėms galima pritaikyti izometrinę transformaciją, tinkančią visai figūrai, kad vieną viršūnę sutapdintume su kita. Kartais pasitenkinama reikalavimu, kad sienos susieinančios vienoje viršūnėje būtų izometriškai susijusios su sienomis, kurios susieina kitoje. Šis apibrėžimų skirtumas ypač svarbus, kai kalbama apie pseudorombinį kuboktaedrą: tai unikalus iškilas briaunainis, kurio taisyklingi sienų daugiakampiai vienodu būdu susieina kiekvienoje viršūnėje, bet jis neturi globalios simetrijos, pagal kurią kiekvieną viršūnę būtų galima sutapdinti su kitomis. Remdamasis šiuo faktu, Branko Grünbaumas pasiūlė (2009 m.) terminologiškai skirti šias dvi briaunainių šeimas ir Archimedo briaunainius apibrėžti kaip kiekvienoje viršūnėje turinčius vienodą viršūnės planą (įskaitant ir pseudorombinį kuboktaedrą), o tolygiuosius briaunainius apibrėžti kaip turinčius simetriškas viršūnes (vadinasi, neapimančius pseudorombinio kuboktaedro).
Prizmės ir antiprizmės, kurių simetrijos grupės yra dvisienės, bendru atveju nelaikomos Archimedo briaunainiais, nors jos ir atitinka tik ką pateiktą apibrėžimą. Taikant tokį apribojimą, turime tik baigtinę aibę Archimedo kūnų. Visus juos (išskyrus pseudorombinį kuboktaedrą), taikant Vithofo konstrukcijas (Wythoff constructions), galima sukurti iš Platono kūnų, kuriems būdinga tetraedrinė, oktaedrinė ir ikosaedrinė simetrija.
Pavadinimo kilmė[redaguoti | redaguoti vikitekstą]
Šie briaunainiai pavadinti Archimedo vardu, kuris aprašė juos savo dabar jau prarastame veikale. Bet šį veikalą cituoja Papus Aleksandriškis, kuris teigia, kad Archimedas nurodė 13 briaunainių.[1] Renesanso periodu menininkai ir matematikai labai vertino grynas formas ir jas tyrinėjo bei atrado iš naujo. Šias paieškas beveik galutinai užbaigė Johanas Kepleris[2], kuris apibrėžė prizmes, antiprizmes ir neiškilius briaunainius vėliau imtus vadinti Keplerio-Puanso biriaunainiais.
Kepleris, tikėtina, atrado ir prailgintą kvadratinį girobikupolą (pseudorombinį kuboktaedrą): bent vieną kartą jis tikrai paminėjo, kad yra 14 Archimedo briaunainių. Deja, jo pateiktuose sąrašuose yra tik 13 tolygių briaunainių, o pirmą aikvaizdų liudijimą apie pseudorombinį kuboktaedrą sutinkame 1905 metais, Dunkano Somervilio (Duncan Sommerville) darbe.[1]
Klasifikacija[redaguoti | redaguoti vikitekstą]
Iš viso yra: 13 Archimedo briaunainių (pagal moderniausią apibrėžimą neįtraukiant pseudorombinio kuboktaedro, arba pailgo stačiakampio girobikupolo, kaip jis neretai vadinamas); 15 Archimedo briaunainių, jei dviejų enantiamorfiškų briaunainių veidrodinius atspindžius laikysime skirtingais kūnais.
Lentelės viršūnės plano langelyje įrašytos skaitinės reikšmės rodo, kokio tipo taisyklingi daugiakampiai susieina šioje viršūnėje. Pavyzdžiui, viršūnės plano skaitinės reikšmės (4,6,8) reiškia, kad viršūnėje susieina kvadratas, šešiakampis ir aštuoniakampis (daugiakampiai surašomi pagal laikrodžio rodyklę).
| Pavadinimas (Alternatyvus pavad.) |
Schläfli Coxeter |
Skaidrus | Tankus | Išklotinė | Viršūnės planas |
Sienos | Briaunos | Viršūnės | Taškinės simetr. grupė | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| nupjautinis tetraedras | {3,3}
|
 (Animacija) |
|
|
3.6.6
|
8 | 4 trikampiai 4 šešiakampiai |
18 | 12 | Td |
| kuboktaedras (rombtetratetraedras) |
r{4,3} or rr{3,3}
|
 (Animacija) |
|
|
3.4.3.4
|
14 | 8 trikampiai 6 kvadratai |
24 | 12 | Oh |
| nupjautinis kubas | t{4,3}
|
 (Animacija) |
|
|
3.8.8
|
14 | 8 trikampiai 6 aštuoniakampiai |
36 | 24 | Oh |
| nupjautinis oktaedras (nupjautinis tetratetraedras) |
t{3,4} or tr{3,3}
|
 (Animacija) |
|
|
4.6.6
|
14 | 6 kvadratai 8 šešiakampiai |
36 | 24 | Oh |
| rombinis kuboktaedras (mažasis rombinis kuboktaedras) |
rr{4,3}
|
 (Animacija) |
|
|
3.4.4.4
|
26 | 8 trikampiai 18 kvadratų |
48 | 24 | Oh |
| nupjautinis kuboktaedras (didysis rombinis kuboktaedras) |
tr{4,3}
|
 (Animacija) |
|
|
4.6.8
|
26 | 12 kvadratų 8 šešiakampiai |
72 | 48 | Oh |
| nusklembtas (angl. snub) kubas (nusklembtas kuboktaedras) |
sr{4,3}  
|
 (Animacija) |
|
|
3.3.3.3.4
|
38 | 32 trikampiai 6 kvadratai |
60 | 24 | O |
| ikosidodekaedras | r{5,3}
|
 (Animacija) |
|
|
3.5.3.5
|
32 | 20 trikampių 12 penkiakampių |
60 | 30 | Ih |
| nupjautinis dodekaedras | t{5,3}
|
 (Animacija) |
|
|
3.10.10
|
32 | 20 trikampių 12 dešimtkampių |
90 | 60 | Ih |
| nupjautinis ikosaedras | t{3,5}
|
 (Animacija) |
|
|
5.6.6
|
32 | 12 penkiakampių 20 šešiakampių |
90 | 60 | Ih |
| rombinis ikosidodekaedras (mažasis rombinis ikosidodekaedras) |
rr{5,3}
|
 (Animacija) |
|
|
3.4.5.4
|
62 | 20 trikampiai 30 kvadratų |
120 | 60 | Ih |
| nupjautinis ikosidodekaedras (didysis rombinis ikosidodekaedras) |
tr{5,3}
|
 (Animacija) |
|
|
4.6.10
|
62 | 30 kvadratų 20 šešiakampių |
180 | 120 | Ih |
| nusklembtas dodekaedras (nusklembtas ikosidodekaedras) |
sr{5,3}
|
 (Animacija) |
|
|
3.3.3.3.5
|
92 | 80 trikampių 12 penkiakampių |
150 | 60 | I |
Pagal kai kuriuos pustaisyklingių briaunainių apibrėžimus, į šią šeimą įtraukiamas dar vienas briaunainis, pseudorombinio kuboktaedro, arba dar kitaip vadinamas pailgas stačiakampis girobikupolas.[3]
Savybės[redaguoti | redaguoti vikitekstą]
Archimedo kūnų viršūnių skaičius apskaičiuojamas 720° dalijant iš viršūnės kampo defekto.
Kuboktaedras ir ikosidodekaedas yra izotoksai (turi viebodas briaunas) ir priskiriami kvazitaisyklingiams briaunainiams.
Archimedo kūnų dualai yra vadinami Katalano kūnais. Kartu su bipiramidėmis ir trapecoedrais, jie yra tokie izoedrai, kurie turi taisyklingas viršūnes.
Chirališkumas[redaguoti | redaguoti vikitekstą]
Nusklembtas (angl. snub) kubas ir nusklembtas dodekaedras yra chirališki, nes jie būna kairinės ir dešininės formos, todėl kūno trimatis pavidalas nesutampa su jo veidrodiniu atspindžiu. Kūno savybė turėti kairinę ir dešininę formą vadinama enantiomorfizmu, o patys kūnai gali būti vadinami enantiomorfais. Taigi minėtos dvi figūros (nusklembtas kubas ir nusklembtas dodekaedras) yra enantiomorfinės, arba tiesiog, enantiomorfai.
Archimedo kūnų konstravimas[redaguoti | redaguoti vikitekstą]
- Taip pat skaitykite – Tolygusis briaunainis, Konvėjaus briaunainio formulė.
Tarp atskirų Archimedo ir Platono kūnų egzistuoja sąryšiai, kuriuos galima aptikti, taikant bendras jų konstravimo pakopas. Pradžioje nupjauname Platono kūnų viršūnes. Kad būtų išlaikoma simetrija, pjovimo plokštuma turi būti statmena tiesei, jungiančiai viršūnę su briaunainio centru (visos viršūnės nupjaunamos vienodai). Pagal tai, kiek nupjaunama (žr. lentelę žemiau), susidaro įvairūs Platono ir Archimedo kūnai (taip pat, ir kitokie „tarpiniai“ briaunainiai). Pailgėjimas ir kanteliacija (angl. cantellation) yra tokios operacijos, kai briaunainio sienos tolinamos nuo jo centro (visos sienos vienodu atstumu, kad nebūtų pažeista Platono kūno simetrija) ir išgaubiant iš jų iškilus kupolus. Tempimas su pasukimu reiškia, kad sienos dar ir pasukamos, taip prie briaunų besišliejantys stačiakampiai palaipsniui virsta trikampiais. Paskutinė čia taikoma konstravimo pakopa – nupjauti kartu viršūnes ir briaunas. Kai tempimo metu nekeičiami pradiniai sienų matmenys (sienos tiesiog tolinamos viena nuo briaunainio centro), tokį tempimą galima laikyti nupjovimu, kai kartu pjaunamos viršūnės ir briaunos, išlaikant tam tikrą proporciją tarp kampo ir briaunų pokyčio.
Atkreipkite dėmesį į dualumą tarp kubo ir oktaedro bei tarp dodekaedro ir ikosaedro. O taip pat į tai, kad tetraedrinę simetriją turi tik vienas Archimedo kūnas, iš dalies dėl to, kad tetraedras yra dualus pats sau.
Išnašos[redaguoti | redaguoti vikitekstą]
- ↑ 1,0 1,1 Grünbaum (2009).
- ↑ Field J., Rediscovering the Archimedean Polyhedra: Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer, Daniele Barbaro, and Johannes Kepler, Archive for History of Exact Sciences, 50, 1997, 227
- ↑ Malkevitch (1988), p. 85
- ↑ Šiems Conway’aus įvestiems angliškiems terminams nepavyksta rasti terminologinių lietuviškų atitikmenų (tikrinta 2015 m.); angliškai žr.[1]
Šaltiniai[redaguoti | redaguoti vikitekstą]
- Jayatilake, Udaya (2005 m. kovo mėn.). „Calculations on face and vertex regular polyhedra“. Mathematical Gazette. 89 (514): 76–81.
- Grünbaum, Branko (2009), "An enduring error", Elemente der Mathematik 64(3): 89–101, doi:. Reprinted in Pitici, Mircea, ed. (2011), The Best Writing on Mathematics 2010, Princeton University Press, p. 18–31.
- Williams, Robert (1979). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.
- Malkevitch, Joseph (1988), "Milestones in the history of polyhedra", in Senechal, M. & Fleck, G., Shaping Space: A Polyhedral Approach, Boston: Birkhäuser, p. 80–92.
- Pugh, Anthony (1976). Polyhedra: A visual approach. California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7. 2 skyrius