Trikampis

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Peršokti į: navigaciją, paiešką
Trikampis

Trikampis – paprasčiausias daugiakampis, turintis tris viršūnes ir tris jas jungiančias kraštines. Visų trikampio vidinių kampų suma lygi 180 laipsnių.

Euklido geometrijoje bet kokie trys ne vienoje linijoje esantys taškai nusako unikalų trikampį ir unikalią plokštumą

Trikampio perimetras apskaičiuojamas pagal formulę P = a+b+c

Trikampių rūšys pagal kraštines

Pagal kraštines trikampiai skirstomi į tris rūšis: įvairiakraščius, lygiašonius ir lygiakraščius.

Įvairiakraštis trikampis – trikampis, kurio visos kraštinės skirtingo ilgio.

Lygiašonis trikampis – trikampis, kurio dvi kraštinės tokio pat ilgio. Jos vadinamos šoninėmis kraštinėmis, o trečioji – pagrindu. Lygiašonio trikampio kampai prie pagrindo lygūs. Lygiašonio trikampio aukštinė, pusiaukampinė ir pusiaukraštinė, nubrėžtos į pagrindą sutampa.

Lygiakraštis trikampis – trikampis, kurio visos kraštinės lygios. Visi lygiakraščio trikampio kampai taip pat lygūs.

Žinant lygiakraščio trikampio kraštinės ilgį a, jo plotas randamas pagal formulę

 S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} . \;

Trikampių rūšys pagal kampus

Pagal kampus trikampiai gali būti smailieji, statieji arba bukieji.

Statusis trikampis

Statusis trikampis ir jo elementai

Statusis trikampis – trikampis, kurio vienas kampas yra status.

Dešinėje pavaizduoto stačiojo trikampio ABC elementai:

α, β – smailieji trikampio kampai;
a, b -statiniai;
c – įžambinė;
h_c aukštinė, nuleista iš stačiojo kampo viršūnės C į įžambinę;
a_c statinio a projekcija įžambinėje;
b_c statinio b projekcija įžambinėje;
\angle CAD=\angle BCD= \alpha\;; \angle CBD=\angle ACD= \beta\;

Stačiojo trikampio statinis yra įžambinės ir to statinio projekcijos įžambinėje geometrinis vidurkis:

 a^2=ca_c\;;  b^2=cb_c\;

Stačiojo trikampio aukštinė, nubrėžta iš stačiojo kampo viršūnės, yra statinių projekcijų įžambinėje geometrinis vidurkis:

h_c^2=a_cb_c\;

Prieš statųjį kampą esanti stačiojo trikampio kraštinė vadinama įžambine. Statųjį kampą sudarančios stačiojo trikampio kraštinės vadinamos statiniais. Stačiojo trikampio kraštinių ilgius sieja sąryšis, vadinamas Pitagoro teorema:

 c^2 = a^2 + b^2 . \;

Stačiojo trikampio ploto formulės:

 S = \frac{c h_c}{2} \;;  S = \frac{a b}{2} . \;

Jeigu trikampis yra status, tai jam galioja tokia taisyklė. Aukštinė, pakelta kvadratu, padalinusi trikampio pagrindą į dvi dalis yra lygi tų dviejų dalių sandaugai.

h_c^2=a_c\cdot b_c.

Smailusis ir bukasis trikampiai

Trikampis, kurio visi trys kampai smailieji, vadinamas smailiuoju trikampiu; trikampis, turintis vieną bukąjį kampą, vadinamas bukuoju trikampiu.


Trikampių savybės

Jeigu du trikampiai turi 2 vienodus kampus tuomet jie yra panašus (skiriasi tik mastelis). Jeigu trikampiai turi du vienodus kampus ir viena vienodo ilgio krastinę, kuri yra ilgiausiau, vidutine arba trumpiausia pas abu trikampius, tada trikampiai yra tokie patys.


Jei trikampio vienas kampas yra C=90 laipsniu, o kitas kampas yra A=30 laipsniu, tai kraštinė a esanti priešais 30 laipsnių kampą yra dvigubai trumpesnė už ižambinę c, t. y. a=c/2. Pavyzdžiui, jei c=1, tai a=0,5. O kraštinė b=(c^2-a^2)^{\frac{1}2}=(1^2-0.5^2)^{\frac{1}2}=0.866, esanti priešais kampą a.

Trikampio ploto apskaičiavimas

Trikampio plotas yra lygus pusei tokį patį aukštį ir pagrindo ilgį turinčio lygiagretainio ploto.

Geriausiai žinoma ir paprasčiausia trikampio ploto formulė yra

S=\frac{1}{2}bh

Čia S yra plotas, b – trikampio pagrindo ilgis, h – trikampio aukštinė.

Triangle.TrigArea.svg

Trikampio aukštinė h gali būti randama panaudojant trigonometriją. Vartojant tokį patį žymėjimą kaip dešinėje esančiame brėžinyje, trikampio aukštinės formulė yra h = a sin γ. Formulėje S = ½bh vietoje h įrašę a sin γ gauname kitą trikampio ploto formulę:

S =  \frac{1}{2}ab\sin \gamma = \frac{1}{2}bc\sin \alpha  = \frac{1}{2}ca\sin \beta,
h=a\cdot \sin\gamma,

Čia α yra vidinis trikampio viršūnės A kampas, β – viršūnės B kampas ir γ – viršūnės C kampas.

Be to, sin α = sin (π – α) = sin (β + γ) ir t. t., todėl:

S = \frac{1}{2}ab\sin (\alpha+\beta) = \frac{1}{2}bc\sin (\beta+\gamma) = \frac{1}{2}ca\sin (\gamma+\alpha).

Herono formulė

Žinant visas tris trikampio kraštines a, b ir c, trikampio plotą galima paskaičiuoti pagal formulę:

S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} . \;

Čia p yra trikampio pusperimetris. Jis lygus pusei trikampio perimetro:

p = \frac{P}{2}=\frac{a+b+c}{2}. \;

Trikampio kraštinių ir kampų apskaičiavimas

Trigonometrinės funkcijos

Trigonometrinės funkcijos gali būti naudojamos stataus trikampio kraštinės ilgiui apskaičiuoti, kai yra žinomi trikampio kampai ir kuri nors viena kraštinė. Trigonometrines funkcijas galima apibrėžti taip (žymėjimai naudojami pagal dešinėje esantį trikampį):

Sinusas yra kraštinės esančios prieš kampą ir įžambinės santykis:

Rtriangle.png

\sin {A} = \frac{a}{c} \; ; \ sin {B} = \frac{b}{c} \;

Kosinusas yra kraštinės esančios šalia kampo ir įžambinės santykis:

\cos {A} = \frac{b}{c} \; ; \ cos {B} = \frac{a}{c} \;

Tangentas yra statinio esančio priešais kampą santykis su statiniu esančiu prie kampo:

tg {A} = \frac{a}{b} \; ; \ tg {B} = \frac{b}{a} \;

Taigi, jeigu, pavyzdžiui, žinome, kad kampas B = 60° ir kraštinė a = 5 cm, įžambinės c ilgį galime rasti pasinaudoję formule cos B = a/c, nes iš jos išplaukia, kad c = a/cos B = 5 cm/cos(60°) = 5 cm/0,5 = 10 cm.

Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos

Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos gali būti naudojamos vidiniams stačių trikampių kampams apskaičiuoti, kai yra žinomos bet kurios dvi trikampio kraštinės.

Triangulo rectangulo.PNG

Arksinusas gali būti naudojamas apskaičiuoti kampui, kai yra žinomas stataus trikampio įžambinės ilgis ir kraštinės prieš ieškomą kampą ilgis. Kampas α yra lygus kraštinės prieš kampą α ir įžambinės santykio arksinusui:

\alpha = \arcsin\frac{b}{c}

Atitinkamai, kampas β lygus kraštinės prieš kampą β ir įžambinės santykio arksinusui:

\beta = \arcsin\frac{a}{c}

Kampas α taip pat yra lygus kraštinės šalia kampo α ir įžambinės santykio arkkosinusui:

\alpha = \arccos\frac{a}{c}

Arktangentas gali būti naudojamas apskaičiuoti kampams, kai yra žinomi abejų statinių ilgiai:

\alpha = \arctan\frac{b}{a} ; \ \beta = \arctan\frac{a}{b}

Kartais įžangoje į trigonometriją vietoje arcsin, arcos ir arctan rašoma atitinkamai sin−1, cos−1 ir tan−1. Aukštojoje matematikoje toks žymėjimas paprastai nenaudojamas, nes užrašą sin−1 (α) galima interpretuoti ir kaip 1/sin (α).

Kosinusų teorema

Triangle with notations 2.svg

Kosinusų teorema dažniausiai naudojama rasti bet kokio trikampio kraštinėms ir (arba) kampus žinant dvi kraštines ir kampą tarp jų arba visas tris kraštines:

a^2\ = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\alpha)
b^2\ = a^2 + c^2 - 2ac\cos(\beta)
c^2\ = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma)

a, b ir c – kraštinių ilgiai, α – kampas tarp kraštinių b ir c, β – kampas tarp kraštinių a ir c, γ – kampas tarp kraštinių a ir b.

Jei trikampis statusis, tai vienanaris

2ab \cos (\alpha) \;

virsta nuliu, nes 90 laipsnių kosinusas lygus nuliui. Tuomet kosinusų teorema tampa Pitagoro teorema. Dėl to ji kartais vadinama apibendrintąja Pitagoro teorema.

Jei yra žinomi visų trijų trikampio kraštinių ilgiai, kampai gali būti apskaičiuoti pagal formules:

\alpha=\arccos\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)
\beta=\arccos\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)
\gamma=\arccos\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)

Šios formulės yra nesunkiai išvedamos iš kosinusų teoremos.

Sinilause1.jpg

Sinusų teorema

Pagal sinusų teoremą galima rasti trikampio kraštines ir kampus žinant du kampus ir bent vieną kraštinę:

\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R

a, b ir c – kraštinių ilgiai,α, β ir γ – prieš jas esančių kampų dydžiai, o r- spindulys apibrėžtinio apskritimo.

Nuorodos

Vikiteka