Kampas

45° kampas.

Kampas – geometrijoje ir trigonometrijoje figūra, kurią sudaro dvi tiesės, turinčios bendrą susikirtimo tašką, jos dar yra vadinamos kampo kraštinėmis. Plokštuma taip pat gali sudaryti kampą, kai ji susikerta su kita plokštuma.

Kampai yra žymimi graikiškomis raidėmis, pvz $\alpha$ (alfa), $\beta$ (beta), $\gamma$ (gama) ir $\theta$ (teta). Kampas apibūdina tarpą tarp jo kraštų arba sukimosi dydį, kurio reikia, kad viena jo pusė sutaptų su kita.

Kampo dydžiui matuoti naudojamas matavimo vienetas – laipsnis. Laipsnis yra standartinis vienetas ir užrašant konkretų jo dydį šalia skaičiaus naudojamas simbolį °, kad parodyti, jog tai yra laipsnių skaičius. Laipsnio daliai užrašyti yra naudojamas dešimtainis skaičius arba trupmena, laipsnį taip pat galima padalyti į 60 minučių (1° = 60'), o minutę – į 60 sekundžių (1' = 60"). Taigi 22,5°, 22½°° 22°30' yra vienodo dydžio kampai.

Matematikoje kampai dažniausiai yra matuojami radianais, o ne laipsniais, naudojant perskaičiavimo koeficientą $2\pi {\mbox{ rad}}=360^{\circ }$ (pavyzdžiui, $22.5^{\circ }={\tfrac {\pi }{8}}{\mbox{ rad}}$). Dar vienas kampo vienetas yra gradas, kur $100{\text{ grad}}=90^{\circ }$.

Kampas, kuriame susikerta geometrinės figūros tiesės (briaunos), dažnai vadinamas viršūne. Pavyzdžiui, trys trikampio kraštinės yra jo briaunos, o dvi briaunos susitinka kiekvienoje viršūnėje. Analogiškai, dvi iš šešių kubo sienų (arba paviršių) susijungia su kiekviena iš savo dvylikos briaunų, o trys briaunos susijungia kiekviename iš aštuonių kampų (arba viršūnių). Spindulys, kuris nubrėžtas iš kampo viršūnės ir dalija tą kampą pusiau, yra vadinamas kampo pusiaukampine.

Kampams matuoti ir brėžti naudojamas matlankis, navigacijoje ir astronomijoje naudojamas sekstantas.

Istorija

Kampus astronomijos ir inžinerijos srityse jau tyrinėjo babiloniečiai (4000–300 m. pr. m. e.), kurie naudojo šešiasdešimtainę skaičių sistemą. To meto matematikai tris lygiakraščio trikampio kampus dalino į 60 vienetų, kurie atitinka į šiandien naudojamus laipsnius. Laipsnis dar buvo padalintas į 60 minučių, o minutės – į 60 sekundžių.

Senovės graikai, naudodami kampinius matavimus, sugebėjo nustatyti Žemės perimetrą ir atstumą iki Mėnulio. Pitagoras parodė, kad trikampio kampų suma yra lygi 180°. O viena iš trijų gerai žinomų klasikinių graikų matematikos problemų buvo kampo trisekcija.

Klasikinis apibrėžimas

Klasikinis kampo apibrėžimas pagal Euklidą – kampas yra pokrypis tarp dviejų tiesių, esančių toje pačioje plokštumoje. Remiantis Proklu, kampas turi būti kiekybė, kiekis arba santykis. Pirmąją kampo sąvoką kaip kiekybę panaudojo Eudemas Rodietis, apibūdinęs kampą kaip nukrypimą nuo tiesės. Karpas iš Antiochijos, apibūdino remiantis antrąja sąvoka – kokybe, įžvelgdamas kampą kaip intervalą arba tarpą tarp susikertančių tiesių. Euklidas priėmė trečiąją – santykio koncepciją, nors jo stačiojo, smailiojo ir bukojo kampo apibrėžimai buvo aiškiai kiekybiniai.

Kampo matavimas

Čia θ – kampas, s – lanko ilgis ir r – apskritimo spindulys.

Kampui θ išmatuoti nubrėžiamas apskritimo lankas, kurio centras yra kampo viršūnėje. Tada lanko ilgis s dalijamas iš apskritimo spindulio r ir dauginamas iš kintamojo k, kuris priklauso nuo pasirinkto matavimo vieneto (laipsniai arba radianai). Jei vienetas yra radianai, k = 1, jei vienetas – laipsniai, $k\approx 57,29577951^{\circ }.$$$\theta ={\frac {s}{r}}(k).$$

Svarbu paminėti, kad θ reikšmė nepriklauso nuo apskritimo dydžio (išlaikoma proporcija s / r), nes padidėjus apskritimo spinduliui, lanko ilgis taip pat padidėja ta pačia proporcija.

Kampų tipai

Kampai a (smailusis) ir b (bukasis) yra gretutiniai kampai ir kartu sudaro ištiesinį kampą c.

• Nulinis kampas – 0° kampas arba kai linijos guli viena ant kitos.
• Smailusis kampas – kampas, didesnis nei 0°, bet mažesnis nei 90°.
• Statusis kampas – 90° kampas.
• Bukasis kampas – kampas, didesnis nei 90°, bet mažesnis nei 180°.
• Ištiestinis kampas – 180° kampas arba kampas, kurio kraštinės sudaro tiesę.
• Išvirkštinis kampas – kampas, didesnis nei 180° ir mažesnis nei 360°.
• Pilnutinis kampas – kampas, sudarantis pilną apskritimą (lygiai 360°).

Susikertant dviem tiesėms susidaro iš viso 4 kampai ir 2 kampų poros:

• Gretutiniai kampai – kampai, kurių suma sudaro 180°.
• Kryžminiai kampai – kampai, kurie turi bendrą viršūnę, o vieno kampo kraštinės yra kito kampo kraštinių tęsiniuose.

Kampai susiję su apskritimu

• Centrinis kampas – kampas tarp dviejų apskritimo spindulių.
• Įbrėžtinis kampas – kampas tarp dviejų apskritimo stygų turinčių bendrą tašką.

Kampas tarp tiesių

Priklausomai nuo tarpusavio padėties tarp tiesių, kampas tarp tiesių apibrėžiamas skirtingai:

• jei tiesės susikerta, tai kampu tarp tiesių vadinamas mažiausias iš susidariusių keturių kampų.
• jei tiesės lygiagrečios, tai kampas tarp jų lygus nuliui.
• jei tiesės yra prasilenkenčios, tai kampas tarp jų apibrėžiamas taip:

1. per vieną iš duotosios tiesės (a) tašką A išvedama tiesė (c), kuri yra lygiagreti antrajai (b)
2. randamas kampas $\alpha$ tarp susikertančių tiesių (a ir c), kuris ir yra kampas tarp tiesių (a ir b).

Kampas tarp tiesės ir plokštumos

Kampas tarp teisės ir plokštumos yra kampas tarp tiesės ir jos projekcijos toje plokštumoje.

Dvisienis kampas

Dvisienis kampas - kampas tarp dviejų pusplokštumių, turinčių vieną bendrą briauną.