Rymano integralas

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Peršokti į: navigacija, paiešką
 Broom icon.svg  Šį puslapį ar jo dalį reikia sutvarkyti pagal Vikipedijos standartus – neenciklopedinis stilius
Jei galite, sutvarkykite.
Įvairiai sudarytų Rymano sumų geometrinė prasmė

Rymano integralas (angl. Riemann integral) – vienas iš apibrėžtinio integralo apibrėžimų, pasiūlytas vokiečių matematiko Georgo Rymano. Kaip ir kiti apibrėžtinio integralo variantai, Rymano integralas naudojamas skaičiuoti plotui, tūriui, masei ir kitiems adityviems dydžiams.

Apibrėžimas[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Integralinė suma[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Funkcijos f(x) integralinės sumos geometrinė interpretacija.

Pirmiausia sudaroma funkcija, vadinama Rymano integralinė suma. Ji apibrėžiama labai panašiai kaip ir Darbu sumos.

Tegul funkcija apibrėžta intervale . Intervalas suskaidomas tokiu būdu:

Gautų intervalų ilgiai žymimi . Jų iš viso yra . Ilgiausio gabaliuko ilgį pažymėkime , t. y. . Toks intervalo skaidinys vadinamas .

Kiekviename skaidinio gabaliuke bet kur parenkami taškai:

.

Toks taškų parinkimą simboliškai žymimas . Sudaroma suma:

.

Geometriškai, ši suma reiškia stačiakampių, besikertančių (besiliečiančių) su kreivine trapecija, plotų sumą. Šių stačiakampių kraštinės yra ir . Priešingai, nei Darbu sumos, ši suma priklauso ne tik nuo to, kaip skaidomas intervalas, bet ir nuo taškų parinkimo, t. y. yra ir funkcija.

Integralinė suma pasižymi tokiomis savybėmis:

  • ir galioja nelygybė:
.

Čia ir yra Darbu sumos.

  • Galioja sąryšiai:

t. y. minimali integralinės sumos vertė keičiant taškų parinkimą yra apatinė Darbu suma, maksimali vertė – viršutinė Darbu suma.

Geometriškai šios savybės akivaizdžios, nes pagal apibrėžimą, ir yra atitinkamai mažiausia ir didžiausia įmanoma integralinės sumos vertės.

Integralo apibrėžimas[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Sudaroma funkcijos integralinė suma. Jeigu riba, kai intervalo gabaliukų maksimalus ilgis artėja į nulį, turi baigtinę vertę ir nepriklauso nei nuo taškų parinkimo, nei nuo intervalo skaidymo būdo, sakoma, kad funkcija yra integruojama intervale Rymano prasme ir žymima:

Dydžiai ir vadinami integravimo rėžiai.

Geometriškai Rymano integralas reiškia plotą, po kreivine trapecija, kuri apribota tiesėmis , x ašimi ir funkcija (apie kitus taikymus žr. taikymų skyrelyje).

Būtina integruojamumo sąlyga[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Iš integralinės sumos apibrėžimo aišku, kad, jeigu intervale yra neaprėžta, tai kažkuriame skaidinio gabaliuke galime imti tašką , su kuriuo dydis bus kiek norima didelis. Taigi ir integralinės sumos riba bus neapibrėžta, t. y. augs į begalybę. Geometriškai tai reiškia, kad funkcija, kuri bent viename intervalo taške artėja į begalybę, neriboja baigtinio ploto – plotas po ja yra begalinis.

Būtina ir pakankama integruojamumo sąlyga[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Jeigu funkcija intervale yra aprėžta, t. y. tenkina būtiną integruojamumo sąlygą, tai dar nereiškia, kad ji yra integruojama Rymano prasme. Kaip pavyzdį galime pateikti funkciją , kuri yra apibrėžta, bet nėra integruojama intervale [-1; 1].


Kad funkcija būtų integruojama, ji turi tenkinti tokią sąlygą:

Čia ir yra Darbu sumos. Jei tenkinama ši sąlyga, tai funkcija yra integruojama Rymano prasme ir atvirkščiai: jeigu funkcija yra integruojama Rymano prasme – teisinga ši sąlyga.

Ši sąlyga reiškia, kad intervalo skaidinio gabaliukams be galo mažėjant, apatinė ir viršutinė Darbu sumos tampa lygios kreivinės trapecijos plotui.

Tačiau dažniausiai literatūroje minima būtina ir pakankama funkcijos tam tikrame intervale integruojamumo sąlyga yra ta, kad funkcija turi būti tame intervale dalimis tolydi.

Rymano integralo savybės[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Rymano integralas pasižymi tokiomis savybėmis, kurias gana lengva suprasti, laikant integralą plotu.

  • Stačiakampio, kurio viena kraštinė lygi 0, plotas lygus 0.
  • Jei , tai . T. y. integruojant iš dešinės į kairę, plotas laikomas neigiamu. Taip yra todėl, kad dydžiai integralinėje sumoje yra neigiami.
  • Jei , tai . Plotus galima sudėti, jei jie nesikerta. Dėl praeitos savybės, taip sudėti galima net ir tada, kai yra už intervalo galų, jei tik ten funkcija yra integruojama.
  • Jei ir yra integruojamos kažkokiame intervale, tai integruojama ir šių funkcijų sandauga . Atvirkščias teiginys yra neteisingas.

Skaičiavimas[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Skaičiuoti Rymano integralą naudojantis apibrėžimu ne visada įmanoma, be to, tai yra labai sudėtinga. Dažniausiai praktikoje naudojama Niutono-Leibnico formulė, kuri sieja neapibrėžtinį integralą su apibrėžtiniu, nors iš esmės tai yra visiškai skirtingi dalykai:

Čia yra viena iš pirmykščių funkcijų. Pavyzdžiui, rasime integralą , t. y. plotą po parabolės šaka, apribota tiesėmis :

Iš pradžių surandame:
Tada į šitą formulę įstatome a ir b reikšmes:

Tada atimame F(a) iš F(b):

Radome plotą esantį po dešine parabolės šaka, kuris apribotas, šiuo atveju, tik viena iš dešinės pusės statmena x ašiai tiese (kurios ilgis yra ).

kur Apibrėžtinio integralo integravimas dalimis:

  • kur
  • Apskaičiuosime 100 cm ilgio strypo masę, kai jo ilginis tankis

  • Keičiame Kadangi , kai ir kai tai

Parabolės.
  • Apskaičiuosime figūros, apribotos kreivių ir plotą.
Pirmiausia turime rasti tų kreivių susikirtimo taškų abscises. Tuo tikslu sprendžiame lygtį iš čia Tuomet

Elipsė.
  • Apskaičiuokime figūros, apribotos elipse plotą.
Apskaičiuokime plotą tos figūros dalies, kuri yra pirmajame ketvirtyje, po to gautą rezultatą padauginsime iš 4. Elipsės kanonine lygtį pakeičiame parametrinėmis lygtimis Piramjame ketvirtyje x kinta nuo 0 iki a, todėl t kinta nuo iki 0 (tokias t reikšmes gavome, įrašę į lygtį vietoje x jo reikšmes 0 ir a). Į formulę vietoje y įrašykime o vietoje įrašykime kadangi Tuomet

  • Apskaičiuosime kūno, apriboto paraboloido ir plokštumos , tūrį.
Jei paraboloidą kirstume plokštuma tai jo pjūvyje gautume elipsę

kurios kanoninė lygtis Tos elipsės pusašės lygios Kadangi (iš ankstesnio pavyzdžio), tai Tuomet

Plotas apribotas parabolės ir tiesės.
  • Apskaičiuosime plotą figūros, apribotos grafikais funkcijų ir
Rasime abscises taškų susikirtimo tiesės su prabole Išsprendę lygtį

gauname Tai ir yra integravimo ribos. Ieškomas figūros plotas pagal formulę toks:

  • Tą patį plotą apribota parabole ir tiese apskaičiuosime paprastu budu. Surandame su x ašimi susikirtimo tašką parabolės Surandame plotą po parabole kai
Dabar surandame plotą po parabole nuo iki

Dabar iš pirmo ploto po parabole atimame trikampio plotą:
Apatinį (ieškomą) plotą trečiajame ketvirtyje gauname atėmę iš trikampio ploto:
Susumavę viršutinį (virš ašies Ox) ieškomą plotą ir apatinį (po ašimi Ox) ieškomą plotą gauname visą ieškomą plotą apribotą parabolės ir tiesės:

Taikymai[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Integralai labai plačiai naudojami praktikoje, ypač tiksliuosiuose moksluose, kaip fizika. Visų apibrėžtinių integralų prasmė yra kažkokia masė, pvz.: plotas, tūris, mechaninis darbas ir t. t.

Bendra integralo taikymo schema[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Tarkime, kad turime kažkokį pastovų dydį , kuris susietas su kažkokiu intervalu taip, kad skaidant intervalą, skaidosi dydis : . Pvz., jei laikysime plotu po kreivine trapecija, tai šią savybę aiškiname taip: du nesikertančius plotus galime sudėti ir gausime bendrą plotą. T. y. dydis yra adityvus. Taip pat tarkime, kad paėmę gana mažą intervalo gabaliuką galime užrašyti apytikslę lygybę:

Pavyzdyje su plotu, , t. y. jeigu paimsime ganėtinai mažą intervalą, tai plotą po kreive jame galime užrašyti kaip stačiakampio plotą. Dydžio nuokrypis neturėtų būti didesnis, nei pirmos eilės nykstamas dydis, t. y.:

Pavyzdyje su plotu taip ir yra – nedarome klaidos didesnės už .

Kadangi dydis yra adityvus, visą jo vertę gausime sumuodami:

Perėje prie ribos, kai maksimalus skaidymo gabaliuko ilgis nyksta, gauname:

Kairėje pusėje ribos galime ir nerašyti, nes yra pastovus dydis.

Dydis pagal apibrėžimą yra Rymano integralas.

Taigi gavome universalią formulę adityviems dydžiams skaičiuoti:

Toliau pateikiama keletas tokių adityvių dydžių pavyzdžių.

Plotai[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Plotas po kreivine trapecija yra adityvus dydis, o mažas jo gabaliukas apytikriai užrašomas formule:

,

taigi:

Tūriai[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Integralo naudojimas tūriui skaičiuoti.

Tarkime turime kažkokį kūną erdvėje. Pjaustome jį plokštumomis statmenomis ašiai. Gauto pjūvio plotą galime užrašyti kaip koordinatės funkciją . Tada, pjaustant kūną gana plonais sluoksniais, galime apytikriai užrašyti tokio sluoksnio tūrį:

Taigi visas tūris:

Kūną nebūtina pjaustyti statmenai ašiai – tinka bet kuri. S(x) ne visada būna konkreti analiziniu būdu užrašoma funkcija (pavyzdžiui, ). Kartais tai būna nereguliari kreivė (kaip parodytas kaulas paveiksliuke - tokio kitimo analiziškai neįmanoma suintegruoti, tačiau visada galima suintegruoti skaitmeniškai).

Mechaninis darbas[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Jei kūnas juda išilgai ašies veikiant jėgai , tai jėgos atliktą darbą gana mažame intervale galime užrašyti lygybe:

Tada visas darbas:

Kai jėga yra pastovi, gauname klasikinę formulę . Jeigu kūnas juda ne tiese, o kažkokia žinoma kreive, reikia naudoti kreivinį integralą.

Kiti taikymai[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Integralas taikomas labai plačiai, juo dar galima suskaičiuoti: masę, inercijos momentus, statinius momentus, kūnų paviršiaus plotus ir t. t. Taikant integralą, svarbiausia nepadaryti klaidos, didesnės nei pirmos eilės nykstamas dydis.

Taip pat skaitykite[redaguoti | redaguoti vikitekstą]