Politopas

Daugiakampis yra 2-politopas (dvimatis politopas).

Elementarioje geometrijoje politopas – geometrinis objektas, turintis plokščias sienas ir egzistuojantis n matavimuose kaip  n-matis politopas arba n-politopas. Pavyzdžiui, dvimatis daugiakampis yra 2-politopas, o trimatis briaunainis yra 3-politopas.

Kai kurios teorijos apibendrina plačiau ir įtraukia tokius objektus, kaip beribes aibes (apeirotopus ir plokštumos klojinius), kreivųjų daugdarų dekompozicijas ar plokštumos klojinius, tarp kurių yra sferiniai briaunainiai, taip pat, aibių teorijoje nagrinėjami, abstraktūs politopai.

Politopus, turinčius daugiau nei tris matavimus, pirmasis aprašė Ludwigas Schläfli. Patį terminą "politopas" sukūrė matematikas Reinholdas Hoppe, rašęs vokiškai, o į anglų kalbą šį terminą įvedė anglų matematikė Alicia Boole Stott.

Apibrėžimo problema

Politopas šiuo metu yra terminas, apimantis didelę objektų klasę, ir matematikos šaltiniuose jis apibrėžiamas nevienodai. Yra apibrėžimų, kurie net nėra ekvivalentiški vienas kitam, tad susiduriama su problema, kad politopais vadinamos skirtingos objektų aibės.

Pradiniai politopo apibrėžimai rėmėsi Liudvigu Šlafli, Thoroldu Gossetu (Thorold Gosset) ir kitais autoriais, grindusiais politopą kaip figūrą, užimančią keturmatę ar n-matę erdvę, kai požiūris į matavimus buvo plečiamas pagal dvimačio daugiakampio ir trimačio briaunainio analogiją į keturmatę ir aukštesnių dimensijų erdvę.

Mėginimai apibendrinti briaunainių Oilerio charakteristiką aukštesnių matavimų politopams paskatino topologijos raidą, taip pat, dekompozicijų, arba CW kompleksų (angl. CW-complex), prilyginimą politopams. Tada politopą galima laikyti klojiniu arba tam tikros daugdaros dekompozicija. Taigi politopą (šiuo atveju) galima apibrėžti kaip aibę taškų, leidžiančių simpleksinę dekompoziciją. Pagal šį apibrėžimą, politopas yra suskaičiuojamos simpleksų aibės junginys, kuriame simpleksai įgyja papildomą savybę: bet kuriems dviem simpleksams, turintiems netuščią sankirtą, ta sankirta yra jų abiejų viršūnė, briauna arba aukštesnio matavimo siena. Bet šis apibrėžimas neleidžia kalbėti apie žvaigždinius politopus, turinčius vidinę struktūrą, todėl jo taikymas yra ribotas.

Pradėjus intensyviai tyrinėti žvaigždinius briaunainius ir kitas neįprastas figūras, imta samprotauti, kad briaunainis yra tik ribinis paviršius, tad jo vidų galima ignoruoti. Taip vertinant, iškilas p-matės erdvės politopas yra ekvivalentiškas klojiniui ant (p−1)-sferos, o kitokie (neiškili) politopai gali būti klojiniai ant kitokių (p−1)-paviršių: eliptinių, plokščių ar toroidinių. Tada briaunainis laikomas paviršiumi, kurio sienos yra daugiakampiai; keturmatis politopas (4-politopas) – hiperpaviršiumi, kurio sienos (celės) yra briaunainiai ir t. t.

Mintis, kad aukštesnio matavimo politopą galima konstruoti iš žemesnio matavimo figūrų, kartais yra išplečiama ir priešinga, dimensijų mažėjimo kryptimi, kai briaunos laikomos vienmačiu politopu (1-politopu), kurį riboja taškų pora, o taškas, arba viršūnė, yra 0-politopas. Tokia prieiga taikoma, pavyzdžiui, abstrakčiųjų politopų teorijoje.

Elementai

Politopą sudaro skirtingo matavimų skaičiaus elementai, kaip viršūnės, briaunos, sienos, ląstelės ir panašiai. Šių elementų terminologija dar nėra galutinai nusistovėjusi. Pavyzdžiui, kai kurie autoriai (n − 1)-matį elementą vadina siena, o kiti siena vadina išimtinai tik dvimačius elementus. Be to, j-mačiai elementai gali būti vadinami j-siena arba j-fasetu (angl. j-facet). Pasitaiko, kad briaunos vadinamos keteromis (angl. ridge). Vienas vedančių šios srities matematikų, Kokseteris (Coxeter), (n − 1)-dimensinius elementus nuosekliai vadina „ląstele“ (angl. cell).

Dažniausiai sutinkami politopo elementus apibūdinantys terminai apibūdinti lentelėje:

Elemento matmenų skaičius	Terminas (n-politopo dalis)
−1	Nulinis politopas (neišvengimai reikalingas abstrakčiųjų politopų teorijoje)
0	Viršūnė
1	Briauna
2	Siena
3	Ląstelė
$\vdots$	$\vdots$
j	j-siena – elementas, kurio rangas j = −1, 0, 1, 2, 3, ..., n
$\vdots$	$\vdots$
n − 2	Ketera arba subfasetas – (n − 2)-siena
n − 1	Fasetas – (n − 1)-siena
n	Kūnas – n-siena

n-matį politopą riboja tam tikras skaičius (n − 1)-mačių fasetų. Šie fasetai patys yra politopai, kurių fasetai yra pradinio politopo (n − 2)-matės keteros (arba briaunos). Kiekviena ketera yra dviejų fasetų sankirta (reikia pastebėti, kad dviejų fasetų sankirta nebūtinai yra ketera). Keteros, ir vėl, yra politopai, kurių fasetai turi (n − 3)-mačius kontūrus (pirminio politopo elementus) ir taip toliau. Šie „kontūriniai“ subpolitopai gali būti vadinami sienomis, specifiškai, j-matėmis sienomis arba tiesiog j-sienomis. 0-matė siena yra vadinama viršūne ir ją sudaro vienintelis taškas. Vienmatė siena vadinama briauna ir ją sudaro tiesės atkarpa. Dvimatė siena yra daugiakampis, o trimatė siena, dažnai vadinama ląstele, yra briaunainis.

Svarbios politopų klasės

Iškilieji politopai

Politopas (kaip ir briaunainis) gali būti iškilas. Iškilieji politopai yra paprasčiausia politopų atmaina ir jų pagrindu kuriami apibendrinimai visiems politopams. Iškilas politopas kartais yra laikomas puserdvių (angl. half-space) aibės elementų sankirta. Toks apibrėžimas leidžia traktuoti politopą kartu ir kaip neaprėžtą, ir kaip aprėžtą objektą. Toks politopo apibrėžimas naudingai naudojamas tiesinėje geometrijoje. Politopas yra aprėžtas, jei egzistuoja toks baigtinio spindulio rutulys, į kurį jis telpa. Politopas vadinamas smailiu, jei jis turi bent vieną viršūnę. Kiekvienas aprėžtas nenulinio matavimo politopas yra smailus. Nesmailaus politopo pavyzdys yra aibė $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x\geq 0\}$. Politopas yra aprėžtas, jei jį galima nusakyti baigtiniu objektų skaičiumi, pavyzdžiui, kaip baigtinio skaičiaus puserdvių sankirtą.

Taisyklingieji politopai

Taisyklingasis politopas yra visų simetriškiausia politopų atmaina, kurios visos elementų grupės yra tranzityvios politopo simetrijos atžvilgiu. Taisyklingojo politopo dualas taip pat yra taisyklingasis politopas.

Yra trys pagrindinės taisyklingųjų politopų klasės, kurių objektai yra taisyklingi bet kurioje n-matėje erdvėje:

• Simpleksai, įskaitant lygiakraščius trikampius ir taisyklinguosius tetraedrus.
• Hiperkubai, įskaitant kvadratus ir kubus.
• Ortopleksai, įskaitant kvadratus ir taisyklinguosius oktaedrus.

Dviejų, trijų ir keturių matavimų erdvėse apimamos taisyklingos figūros, kurioms būdinga penkialinkė simetrija ir kurių dalis yra neiškilios žvaigždės. O dviejų matavimų erdvėje yra begalybė taisyklingų daugiakampių, kuriems būdinga n-linkė simetrija ir kurie yra arba iškilieji, arba (kai n ≥ 5) žvaigždės. Bet aukštesnio matavimų skaičiaus erdvėse taisyklingųjų politopų daugiau nėra.

Trimačiai iškilieji Platono kūnai apima penkialinkės simetrijos dodekaedrus ir ikosaedrus, taip pat šią simetriją turi keturios žvaigždės (Keplerio - Puanso kūnai), tad iš viso turime devynis taisyklinguosius briaunainius (3-politopus).

Keturmačiai taisyklingi 4-politopai apima dar vieną iškiląjį kūną, kuriam būdinga keturlinkė simetrija, ir du, kuriems būdinga penkialinkė simetrija. Be to, yra dešimt žvaigždinių Schläfli-Hesso 4-politopų, kurių visiems būdinga penkialinkė simetrija, tad iš viso yra šešiolika taisyklingųjų 4-politopų.

Žvaigždiniai politopai

Neiškilieji politopai gali kirsti patys save; ši politopų klasė apima žvaigždinius politopus, kartu reikia nepamiršti, kad keletas žvaigždinių politopų yra taisyklingieji.

Istorija

Daugiakampiai ir briaunainiai yra žinomi nuo seniausių laikų.

Pirmosios užuominos apie aukštesnius matavimus sutinkamos nuo 1827 metų, kai Augustas Ferdinandas Mėbijus (August Ferdinand Möbius) atrado, kad du kūnai, kurie yra veidrodiniai vienas kito atspindžiai, gali būti sutapatinti, pasukant vieną iš jų aplinkui matematinio ketvirtojo matavimo ašį. XIX a. šeštame dešimtmetyje visa eilė kitų matematikų (pavyzdžiui, Cayley, Grassman) taip pat nagrinėjo aukštesnius matavimus.

Liudvigas Šlafli buvo pirmasis, kuris pradėjo nagrinėti daugiakampių ir briaunainių analogus aukštesnio matavimo erdvėje. 1852 m. jis aprašė šešis iškilus taisyklingus 4-politopus, bet šis jo darbas buvo publikuotas tik 1901 m., šešeri metai po autoriaus mirties. 1854 metais savo veikale Habilitationsschrift Berhardas Rymanas tvirtai pagrindė daugiamatės geometrijos teoriją ir nuo tada imta naudoti n-mačio politopo sąvoka. Schläfli'o aprašyti politopai buvo net keliskart atrandami iš naujo dar jam esant gyvam.

1882 metais vokiškai rašęs matematikas Reinoldas Hopė (Reinhold Hoppe) sukūrė pačią politopo sąvoką, apibendrinančią daugiakampių ir briaunainių savybes. O panašiai tuo pačiu metu Alisija Būle Stot (Alicia Boole Stott), loginės algebros teoretiko Georgo Būlio (George Boole) dukra, įvedė šį terminą į anglų kalbą.

1895 metais Toroldas Gosetas (Thorold Gosset) ne tik dar kartą „atrado“ Schläfli'o taisyklinguosius politopus, bet taip pat nagrinėjo pustaisyklingius politopus ir daugiamatę erdvę užpildančius klojinius. Lygiagrečiai imta studijuoti politopų savybes neeuklidinėje erdvėje, pavyzdžiui, hiperbolinėje.

Svarbus tyrimų etapas prasidėjo 1948 metais, po to kai buvo publikuota Kokseterio (H. S. M. Coxeter) knyga Regular Polytopes (Taisyklingieji politopai), kurioje buvo apibendrinti ligi to meto atlikti šios srities tyrimai, taip pat juos papildė svarbios paties Kokseterio atrastos naujovės.

Tuo metu prancūzų matematikas Anri Puankarė jau buvo išplėtojęs topologines idėjas apie politopą kaip apie topologinės daugdaros dekompoziciją į dalis, t. y. į CW kompleksus (angl. CW-complex). Kitas matematikas, Branko Griunbaumas (Branko Grünbaum), savo įtakingą veikalą apie išklius politopus išleido 1967 metais.

1952 metais Šeperdas (Shephard) apibendrino kompleksinių politopų idėją kompleksinėje erdvėje, kur kiekvieną realųjį matavimą atitinka menamas. Šią teorinę idėja išplėtojo Kokseteris.

Kompleksinių politopų savybės (neiškilumas, dualumas ir kiti reiškiniai) paskatino Griunbaumą ir kitus mokslininkus ieškoti dar gilesnių apibendrinimų, susijusių su abstrakčiomis kombinatorinėmis savybėmis, būdingomis viršūnėms, briaunoms, sienoms ir kitiems elementams. Kartu buvo išsamiai studijuojama įvairių elementų tarpusavio sąveika. Tai leido sukurti abstrakčiųjų politopų teoriją, pagal kurią politopas yra tokių elementų dalinė sutvarkytoji aibė (angl. partially ordered set, poset). 2002 metais buvo publikuota svarbi Makmuleno (McMullen) ir Šultės (Schulte) knyga Abstract Regular Polytopes (Abstraktūs taisyklingieji politopai).

Šiuo metu svarbi tyrimų problema yra tolygių politopų (iškilių ir neiškilių) nomenklatūros sudarymas.

XXI amžiuje teorinės žinios apie politopus ir su jais susijusius elementus bei savybes yra plačiai taikomos pačiose įvairiausiose srityse: kompiuterinės grafikos, matematinio optimizavimo, paieškos sistemų, kosmologijos, kvantinės mechanikos ir kitose. Čia dar verta paminėti, kad 1913 metais atrastas amplituedras leido žymiai supaprastinti kai kuriuos teorinės fizikos skaičiavimus.

Nuorodos

Šaltiniai

• Coxeter, Harold Scott MacDonald (1973), Regular Polytopes, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-61480-9.
• Grünbaum, Branko (2003), Kaibel, Volker; Klee, Victor; Ziegler, Günter M., eds., Convex polytopes (2nd ed.), New York & London: Springer-Verlag, ISBN 0-387-00424-6.
• Ziegler, Günter M. (1995), Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics 152, Berlin, New York: Springer-Verlag.