Oilerio charakteristika

Matematikoje, ypač algebrinėje topologijoje ir briaunainių kombinatorikoje, Oilerio charakteristika (arba Euler–Poincaré charakteristika) – topologinis invariantas, skaičius, nusakantis topologinės erdvės pavidalą arba struktūrą, nepriklausomai nuo jos sulenkimo būdo. Šį dydį įprasta žymėti graikų kalbos mažąja raide „chi“ $\chi$.

Pirmiausia Oilerio charakteristika buvo nustatyta briaunainiams ir buvo naudojama įvairių teoremų, susijusių su briaunainias, įrodymams, įskaitant Platono kūnų skaičių. Leonhardas Euleris, kurio vardu ir vadinama aptariama savybė, daug prisidėjo prie šių pradinių tyrimų. Modernioje matematikoje Oilerio charakteristika kildinama iš homologijos, o abstrakti jos formuluotė pateikiama homologinėje algebroje.

Briaunainiai

Oilerio charakteristika $\chi$ buvo pirmiausia apibrėžta briaunainių paviršiui ir jos pradinis pavidalas buvo toks:

$\chi =V-E+F\,\!$

kur V, E ir F atitinkamai yra konkretaus briaunainio viršūnių (kampų), briaunų ir sienų skaičius. Bet kurio iškilojo btiaunainio paviršiaus Oilerio savybės reikšmė yra 2:

$V-E+F=2.\,\!$

Šią lygybę priimta vadinti briaunainio Oilerio formule. Jos reikšmė atitinka Oilerio charakteristiką rutuliui (χ = 2) ir visiškai tokią pat reikšmę turi visi sferiniai briaunainiai. Kaip šią savybę išreiškiančios formulės elementai susiję su kai kuriais briaunainiais galima susipažinti žemiau pateiktose lentelėse.

Briaunainis	Vaizdas	Viršūnės V	Briaunos E	Sienos F	Oilerio charakteristika V - E + F
Tetraedras		4	6	4	2
Heksaedras arba kubas		8	12	6	2
Oktaedras		6	12	8	2
Dodekaedras		20	30	12	2
Ikosaedras		12	30	20	2

Neiškilių briaunainių paviršiai gali turėti įvairias Oilerio charakteristikos reikšmes:

Briaunainis	Vaizdas	Viršūnės V	Briaunos E	Sienos F	Oilerio charakteristika V - E + F
Tetrahemiheksaedras		6	12	7	1
Oktahemioktaedras		12	24	12	0
Kubohemioktaedras		12	24	10	−2
Didysis ikosaedras		12	30	20	2

Taisyklingiems briaunainiams Arthur Cayley modifikavo Oilerio formulę panaudodamas politopo tankį $D$, viršūnės plano tankį $d_{v}$ ir sienos tankį $d_{f}$:

$d_{v}V-E+d_{f}F=2D.$

Ši formulės modifikacija leidžia ją taikyti tiek iškiliems briaunainiams (kurių tankiai yra 1), tiek neiškiliems Keplerio-Poinsot briaunaniams.

Visų projektuojamųjų briaunainių (klojinių) Oilerio savybė yra 1, kaip kiekvienos vienpusės plokštumos, o visų toroidinių briaunainių Oilerio savybės reikšmė yra 0, taip kaip toro.

Šaltiniai

• Richeson, David S.; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology. Princeton University Press 2008.