Oilerio charakteristika

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Jump to navigation Jump to search

Matematikoje, ypač algebrinėje topologijoje ir briaunainių kombinatorikoje, Oilerio charakteristika (arba Euler–Poincaré charakteristika) yra topologinis invariantas, skaičius, nusakantis topologinės erdvės pavidalą arba struktūrą, nepriklausomai nuo jos sulenkimo būdo. Šį dydį įprasta žymėti graikų kalbos mažąja raide „chi“ .

Pirmiausia Oilerio charakteristika buvo nustatyta briaunainiams ir buvo naudojama įvairių teoremų, susijusių su briaunainias, įrodymams, įskaitant Platono kūnų skaičių. Leonhardas Euleris, kurio vardu ir vadinama aptariama savybė, daug prisidėjo prie šių pradinių tyrimų. Modernioje matematikoje Oilerio charakteristika kildinama iš homologijos, o abstrakti jos formuluotė pateikiama homologinėje algebroje.

Briaunainiai[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Oilerio charakteristika buvo pirmiausia apibrėžta briaunainių paviršiui ir jos pradinis pavidalas buvo toks:

kur V, E ir F atitinkamai yra konkretaus briaunainio viršūnių (kampų), briaunų ir sienų skaičius. Bet kurio iškilojo btiaunainio paviršiaus Oilerio savybės reikšmė yra 2:

Šią lygybę priimta vadinti briaunainio Oilerio formule.[1] Jos reikšmė atitinka Oilerio charakteristiką rutuliui (χ = 2) ir visiškai tokią pat reikšmę turi visi sferiniai briaunainiai. Kaip šią savybę išreiškiančios formulės elementai susiję su kai kuriais briaunainiais galima susipažinti žemiau pateiktose lentelėse.

Briaunainis Vaizdas Viršūnės

V

Briaunos

E

Sienos

F

Oilerio charakteristika

V - E + F

Tetraedras Tetrahedron.png 4 6 4 2
Heksaedras arba kubas Hexahedron.png 8 12 6 2
Oktaedras Octahedron.png 6 12 8 2
Dodekaedras Dodecahedron.png 20 30 12 2
Ikosaedras Icosahedron.png 12 30 20 2

Neiškilių briaunainių paviršiai gali turėti įvairias Oilerio charakteristikos reikšmes:

Briaunainis Vaizdas Viršūnės

V

Briaunos

E

Sienos

F

Oilerio charakteristika

V - E + F

Tetrahemiheksaedras Tetrahemihexahedron.png 6 12 7 1
Oktahemioktaedras Octahemioctahedron.png 12 24 12 0
Kubohemioktaedras Cubohemioctahedron.png 12 24 10 −2
Didysis ikosaedras Great icosahedron.png 12 30 20 2

Taisyklingiems briaunainiams Arthur Cayley modifikavo Oilerio formulę panaudodamas politopo tankį , viršūnės plano tankį ir sienos tankį :

Ši formulės modifikacija leidžia ją taikyti tiek iškiliems briaunainiams (kurių tankiai yra 1), tiek neiškiliems Keplerio-Poinsot briaunaniams.

Visų projektuojamųjų briaunainių (klojinių) Oilerio savybė yra 1, kaip kiekvienos vienpusės plokštumos, o visų toroidinių briaunainių Oilerio savybės reikšmė yra 0, taip kaip toro.

Išnašos[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

  1. Richeson 2008