Būlio algebra
Matematikoje bei informatikoje Būlio algebra (arba Logikos algebra) – sritis, tirianti loginius kintamuosius bei funkcijas.
Didelę įtaką Būlio algebros raidai turėjo skaičiavimo mechanizavimas,[1] o svarbiausias taikymas – elektroninėse schemose.
Istorija
[redaguoti | redaguoti vikitekstą]Būlio algebra pavadinta anglų matematiko Džordžo Būlio (1815-1864 m.) vardu, nes jis pirmasis ją apibrėžė kaip loginės sistemos dalį, bandant panaudoti algebrines technikas loginiams skaičiavimams.
Būlio algebra matematikoje
[redaguoti | redaguoti vikitekstą]Matematikoje Būlio algebra apibrėžiama kaip algebra (B, *, +, ¬, 0, 1), kurią sudaro aibė B, turinti mažiausiai 2 elementus (0, 1), kurioje apibrėžtos tokios 3 operacijos: IR operacija (konjunkcija, loginė daugyba), ARBA operacija (disjunkcija, loginė sudėtis), NE operacija (inversija, neigimas).
Šiandien Būlio algebra turi daugybę pritaikymų elektroninėse schemose. Pirmą kartą Klodas Šenonas ją pritaikė XX amžiuje komutatoriuose.
Loginiai kintamieji
[redaguoti | redaguoti vikitekstą]Loginiai kintamieji (dar vadinami binariniais) gali turėti tik dvi reikšmes – 1 (taip) ir 0 (ne). Su jais galima atlikti logines operacijas.[2] Elementarios loginės operacijos su vienu, dviem loginiais kintamaisiais yra vadinamos unarinėmis (vieno kintamojo) ar binarinėmis (dviejų kintamųjų) loginėmis operacijomis. Loginė operacija paprastai užrašoma formule arba jai sudaroma funkcijos būvio (teisingumo) lentelė.
Loginės (Būlio) funkcijos
[redaguoti | redaguoti vikitekstą]Logine (Būlio) funkcija vadinama funkcija, kurios argumentai yra Būlio kintamieji ir kuri gali įgyti tik dvi reikšmes – 0 ir 1.
| 0 | 1 | 2 | 3 | |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Funkcijos 0 ir 3 vadinamos išsigimusiomis, nes nepriklauso nuo kintamojo reikšmės
Loginės operacijos
[redaguoti | redaguoti vikitekstą]Pagrindinės operacijos yra:[2]
- konjunkcija (žymima IR, ·, , &)
- disjunkcija (ARBA, +, , |)
- inversija (NE, ~, ¬, kai kada !)
Visos kitos operacijos gali būti išreikštos šiomis pagrindinėmis operacijomis. Visoms operacijoms išreikšti pakanka ir dviejų pagrindinių veiksmų (būtina operacija NE, viena iš likusių dviejų operacijų (IR arba ARBA) yra perteklinė. Tačiau tuomet formulės tampa sudėtingesnės.
Galimų dviejų kintamųjų Būlio operacijų rezultatų lentelė:
| Nr. | reikšmės: | x1 | 0 | 0 | 1 | 1 | Aprašymas |
| x2 | 0 | 1 | 0 | 1 | |||
| Rezultatas | |||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | Konstanta 0 | |
| 1 | IR | 0 | 0 | 0 | 1 | Konjunkcija, loginė daugyba (IR). Žymima &, ∧ | |
| 2 | x1∆x2 | 0 | 0 | 1 | 0 | Draudimas | |
| 3 | x1 | 0 | 0 | 1 | 1 | Kintamasis x1 | |
| 4 | x2∆x1 | 0 | 1 | 0 | 0 | Draudimas | |
| 5 | x2 | 0 | 1 | 0 | 1 | Kintamasis x2 | |
| 6 | ¬(x1≡x2) | 0 | 1 | 1 | 0 | Neekvivalentiškumas, x1≠x2. Dažnai žymima XOR (pagal angl. exclusive or). | |
| 7 | ARBA | 0 | 1 | 1 | 1 | disjunkcija, loginė sudėtis (ARBA). Žymima ∨ | |
| 8 | ¬(x1∨x2) | 1 | 0 | 0 | 0 | disjunkcijos neigimas, Pirso rodyklė. Žymima ↓ | |
| 9 | x1≡x2 | 1 | 0 | 0 | 1 | Ekvivalentiškumas, x1=x2. Žymima ≡ | |
| 10 | ¬x2 | 1 | 0 | 1 | 0 | x2 neigimas, inversija. | |
| 11 | x2→x1 | 1 | 0 | 1 | 1 | Implikacija | |
| 12 | ¬x1 | 1 | 1 | 0 | 0 | x1 neigimas, inversija. | |
| 13 | x1→x2 | 1 | 1 | 0 | 1 | Implikacija | |
| 14 | ¬(x1∧x2) | 1 | 1 | 1 | 0 | Konjunkcijos neigimas, Šeferio brūkšnelis. Žymima | | |
| 15 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | Konstanta 1 | |
Šaltiniai
[redaguoti | redaguoti vikitekstą]- ↑ Boole’io algebra(parengė Stanislovas Leonas Norgėla). Visuotinė lietuvių enciklopedija (tikrinta 2024-09-17).
- ↑ 2,0 2,1 Gintautas Grigas. Programavimas Paskaliu. Elektroninė knyga Archyvuota kopija 2009-12-07 iš Wayback Machine projekto.
| |||||||||||||||||||||||
|
Šis su matematika susijęs straipsnis yra nebaigtas. Jūs galite prisidėti prie Vikipedijos papildydami šį straipsnį. |