Būlio algebra

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Peršokti į: navigaciją, paiešką

Matematikoje bei informatikoje Būlio algebra (arba Logikos algebra) – sritis, tirianti loginius kintamuosius bei funkcijas. Loginės algebros svarbiausias taikymas – elektroninėse schemose.

Istorija[taisyti | redaguoti kodą]

Būlio algebra Džordžas Būlis (George Boole, 1815-1864) vardu, nes šis anglų matematikas pirmasis ją apibrėžė kaip loginės sistemos dalį, bandant panaudoti algebrines technikas loginiams skaičiavimams.

Būlio algebra matematikoje[taisyti | redaguoti kodą]

Matematikoje Būlio algebra apibrėžiama kaip algebra (B, *, +, ¬, 0, 1), kurią sudaro aibė B, turinti mažiausiai 2 elementus (0, 1), kurioje apibrėžtos tokios 3 operacijos: IR operacija (konjunkcija, loginė daugyba), ARBA operacija (disjunkcija, loginė sudėtis), NE operacija (inversija, neigimas).

Šiandien Būlio algebra turi daugybę pritaikymų elektroninėse schemose. Pirmą kartą Klodas Šenonas ją pritaikė XX amžiuje komutatoriuose.

Loginiai kintamieji[taisyti | redaguoti kodą]

Loginiai kintamieji (dar vadinami binariniais) gali turėti tik dvi reikšmes – 1 (taip) ir 0 (ne). Su jais galima atlikti logines operacijas. Elementarios loginės operacijos su vienu, dviem loginiais kintamaisiais yra vadinamos unarinėmis (vieno kintamojo) ar binarinėmis (dviejų kintamųjų) loginėmis operacijomis. Loginė operacija paprastai užrašoma formule arba jai sudaroma funkcijos būvio (teisingumo) lentelė.

Loginės (Būlio) funkcijos[taisyti | redaguoti kodą]

Logine (Būlio) funkcija vadinama funkcija, kurios argumentai yra Būlio kintamieji ir kuri gali įgyti tik dvi reikšmes – 0 ir 1.

x f0(x) f1(x) f2(x) f3(x)
0 0 0 1 1
1 0 1 0 1

Funkcijos f0(x) ir f3(x) vadinamos išsigimusiomis, nes nepriklauso nuo kintamojo reikšmės

Loginės operacijos[taisyti | redaguoti kodą]

Pagrindinės operacijos yra:

Visos kitos operacijos gali būti išreikštos šiomis pagrindinėmis operacijomis. Visoms operacijoms išreikšti pakanka ir dviejų pagrindinių veiksmų (būtina operacija NE, viena iš likusių dviejų operacijų (IR arba ARBA) yra perteklinė. Tačiau tuomet formulės tampa sudėtingesnės.

Galimų dviejų kintamųjų Būlio operacijų rezultatų lentelė:

Nr. reikšmės: x1 0 0 1 1 Aprašymas
x2 0 1 0 1
  Rezultatas
0 0 0 0 0 0 Konstanta 0
1 IR 0 0 0 1 Konjunkcija, loginė daugyba (IR). Žymima &,
2 x1∆x2 0 0 1 0 Draudimas
3 x1 0 0 1 1 Kintamasis x1
4 x2∆x1 0 1 0 0 Draudimas
5 x2 0 1 0 1 Kintamasis x2
6 ¬(x1≡x2) 0 1 1 0 Sudėtis moduliu 2, neekvivalentiškumas (angl. XOR), dar vad. IŠSKIRTINIS (GRIEŽTAS) ARBA
7 ARBA 0 1 1 1 disjunkcija, loginė sudėtis (ARBA). Žymima
8 ¬(x1∨x2) 1 0 0 0 disjunkcijos neigimas, Pirso rodyklė. Žymima
9 x1≡x2 1 0 0 1 Ekvivalentiškumas. Žymima
10 ¬x2 1 0 1 0 x2 neigimas, inversija.
11 x2→x1 1 0 1 1 Implikacija
12 ¬x1 1 1 0 0 x1 neigimas, inversija.
13 x1→x2 1 1 0 1 Implikacija
14 ¬(x1∧x2) 1 1 1 0 konjunkcijos neigimas, Šeferio štrichas. Žymima |
15 1 1 1 1 1 Konstanta 1

Dualumo dėsnis[taisyti | redaguoti kodą]

Būlio algebroje galioja dualumo dėsnis, kuris teigia: išraiškoje pakeitus disjunkciją konjunkcija, konkunkciją disjunkciją, nulį vienetu, vienetą nuliu ir skliaustais išlaikius tą pačią skaičiavimo tvarką, bus gauta nauja išraiška vadinama dualia. T. y.


x * 1 = x

\Downarrow

x + 0 = x


taip pat


x + yz = (x + y)(x + z)

\Downarrow

x(y + z) = xy + xz



Dar žr. Loginis elementas