Katalano kūnas

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Peršokti į: navigacija, paiešką
Rombinis dodekaedras ir jo sienos konfigūracija.
„Disdyakis“ triakontaedras, kurio sienos konfigūracija V4.6.10, yra didžiausias Katalano kūnas, turintis 120 sienų.

Matematikoje Katalano kūnas yra atitinkamo Archimedo kūno dualusis briaunainis. Katalano kūnai taip vadinami pagal juos 1865 m. pirmą kartą aprašiusį belgų matematiką Euženą Katalaną (Eugène Catalan).

Katalano kūnai yra iškilieji briaunainiai. Jie yra tranzityvūs sienų atžvilgiu, bet netranzityvūs briaunų atžvilgiu. Taip yra todėl, kad šių kūnų dualai, Archimedo kūnai, yra tranzityvūs briaunų atžvilgiu, bet netranzityvūs sienų atžvilgiu. Reikia pastebėti, kad skirtingai negu Platono kūnai ir Archimedo kūnai, Katalano kūnų sienos nėra taisyklingieji daugiakampiai. Kita vertus, Katalano kūnų viršūnių planai yra taisyklingieji daugiakampiai ir jie turi pastovius dvisienius kampus. Kadangi jų sienos yra tranzityvios, Katalano kūnai yra izoedrai.

Be to, du Katalano kūnai yra dar tranzityvūs ir briaunų atžvilgiu: rombinis dodekaedras ir rombinis triakontaedras. Šiuodvi figūros yra dviejų kvazitaisykligų Archimedo kūnų dualai.

Lygiai, kaip prizmės ir antiprizmės bendruoju atveju nėra priskiriamos prie Archimedo kūnų, taip bipiramidės ir trapecoedrai nepriskiriami prie Katalano kūnų, nors abiejų klasių figūros yra tranzityvios sienų atžvilgiu.

Dviems Katalano kūnams būdingas chirališkumas: penkiakampiam ikositetraedrui ir penkiakampiam heksakontaedrui, kurie yra atitinkamai dualūs su nusklembtu kubu ir nusklembtu dodekaedru. Kiekvienas šių dualų iš tiesų yra enantiomorfų pora. Bet neskaičiuojant šių enantiomorfų ir bipiramidžių bei trapecoedrų iš viso turime 13 Katalano kūnų.

nr. Archimedo kūnai Katalano kūnai
1 Nupjautinis tetraedras
„Triakis“ tetraedras
2 Nupjautinis kubas
„Triakis“ oktaedras
3 Nupjautinis kuboktaedras
„Disdyakis“ dodekaedras
4 Nupjautinis oktaedras
„Tetrakis“ heksaedras
5 Nupjautinis dodekaedras
„Triakis“ ikosaedras
6 Nupjautinis ikosidodekaedras
„Disdyakis“ triakontaedras
7 Nupjautinis ikosaedras
„Pentakis“ dodekaedras
8 Kuboktaedras Rombinis ddodekaedras
9 Ikosidodekaedras Rombinis triakontaedras
10 Rombinis kuboktaedras
Deltoidinis ikositetraedras
11 Rombinis ikosidodekaedras
Deltoidinis heksakontaedras
12 Nusklembtas kubas
Penkiakampis ikositetraedras
13 Nusklembtas dodekaedras
Penkiakampis heksakontaedras

„Triakis“ (ir kitos panašios Katalano kūnų pavadinimo dalys) yra hibridinis darinys iš graikų τρι, tri – „trys“ ir lotynų acis „ketera“, „smailė“; taigi „triakis“ tetraedras yra tetraedras, kurio kiekvienoje sienoje iškilusios trys briaunos („keteros“). Atitinkamai „tetrakis“ reiškia sieną, kurioje iškilusios keturios (tetra), „pentakis“ – penkios briaunos, sudarančios lygiašonius trikampius, o „disdyakis“ – briaunos sudaro įvairiakraščius trikampius.

Simetrija[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Katalano kūnus, kaip ir jiems dualius Archimedo kūnus galima sugrupuoti pagal simetrijos klases: tetraedrines, oktaedrines, ikosaedrines simetrijos kūnus. Kiekvienoje simetrijos klasėje yra po šešis kūnus, o kadangi tetraedrinės simetrijos grupės kūnams būdinga simetrija pačiam sau, čia yra tik trys kūnai, du iš kurių dubliuoja oktaedrinės simetrijos kūnai. Taigi 6+6+3-2=13.

Tetraedrinė simetrija
Archimedo kūnai
Uniform polyhedron-33-t01.png Uniform polyhedron-33-t02.png Uniform polyhedron-33-t012.png
Katalano kūnai
Triakistetrahedron.jpg Rhombicdodecahedron.jpg Tetrakishexahedron.jpg
Oktaedrinė simetrija
Archimedo kūnai
Uniform polyhedron-43-t01.svg Uniform polyhedron-43-t1.svg Uniform polyhedron-43-t12.svg Uniform polyhedron-43-t02.png Uniform polyhedron-43-t012.png Uniform polyhedron-43-s012.png
Katalano kūnai
Triakisoctahedron.jpg Rhombicdodecahedron.jpg Tetrakishexahedron.jpg Deltoidalicositetrahedron.jpg Disdyakisdodecahedron.jpg Pentagonalicositetrahedronccw.jpg
Ikosaedrinė simetrija
Archimedo kūnai
Uniform polyhedron-53-t01.png Uniform polyhedron-53-t1.svg Uniform polyhedron-53-t12.svg Uniform polyhedron-53-t02.png Uniform polyhedron-53-t012.png Uniform polyhedron-53-s012.png
Katalano kūnai
Triakisicosahedron.jpg Rhombictriacontahedron.svg Pentakisdodecahedron.jpg Deltoidalhexecontahedron.jpg Disdyakistriacontahedron.jpg Pentagonalhexecontahedronccw.jpg

Sąrašas[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Pavadinimas

(Dvigubas)
Konvėjaus žymėjimas

Vaizdas Ortogonalinis

karkasas

Sienos

daugiakampis

Sienos Briaunos Viršūnės Simetrija
„Triakis“ tetraedras

(nupjautinis tetraedras)
„kT“

„Triakis“ tetraedras„Triakis“ tetraedras Dual tetrahedron t01 ae.pngDual tetrahedron t01 A2.pngDual tetrahedron t01.png Lygiašonis

DU02 facets.png
V3.6.6

12 18 8 Td
Rombinis dodekaedras

(kuboktaedras)
„jC“

Rombinis dodekaedrasRombinis dodekaedras Dual cube t1 v.png Dual cube t1.pngDual cube t1 B2.png Rombas

DU07 facets.png
V3.4.3.4

12 24 14 Oh
„Triakis“ oktaedras

(nupjautinis kubas)
„kO“

„Triakis“ oktaedras„Triakis“ oktaedras Dual truncated cube t01 e88.pngDual truncated cube t01.pngDual truncated cube t01 B2.png Lygiašonis

DU09 facets.png
V3.8.8

24 36 14 Oh
„Tetrakis“ heksaedras

(nupjautinis oktaedras)
„kC“

„Tetrakis“ heksaedras„Tetrakis“ heksaedras Dual cube t12 e66.pngDual cube t12.pngDual cube t12 B2.png Lygiašonis

DU08 facets.png
V4.6.6

24 36 14 Oh
Deltoidinis ikositetraedras

(rombinis kuboktaedras)
„oC“

Deltoidinis ikositetraedrasDeltoidinis ikositetraedras Dual cube t02 f4b.pngDual cube t02.pngDual cube t02 B2.png Aitvaras

DU10 facets.png
V3.4.4.4

24 48 26 Oh
„Disdyakis“ dodekaedras

(nupjautinis kuboktaedras)
„mC“

„Disdyakis“ dodekaedras„Disdyakis“ dodekaedras Dual cube t012 f4.pngDual cube t012.pngDual cube t012 B2.png Įvairiakraštis

DU11 facets.png
V4.6.8

48 72 26 Oh
Penkiakampis ikositetraedras

(nusklembtas kubas)
„gC“

Penkiakampis ikositetraedrasPenkiakampis ikositetraedras (Ccw) Dual snub cube e1.pngDual snub cube A2.pngDual snub cube B2.png Penkiakampis

DU12 facets.png
V3.3.3.3.4

24 60 38 O
Rombinis triakontaedras

(ikosidodekaedras)
„jD“

Rombinis triakontaedrasRombinis triakontaedras Dual dodecahedron t1 e.pngDual dodecahedron t1 A2.pngDual dodecahedron t1 H3.png Rombas

DU24 facets.png
V3.5.3.5

30 60 32 Ih
„Triakis“ ikosaedras

(nupjautinis dodekaedras)
„kI“

„Triakis“ ikosaedras„Triakis“ ikosaedras Dual dodecahedron t12 exx.pngDual dodecahedron t12 A2.pngDual dodecahedron t12 H3.png Lygiašonis

DU26 facets.png
V3.10.10

60 90 32 Ih
„Pentakis“ dodekaedras

(nupjautinis ikosaedras)
„kD“

Pentakis dodecahedronPentakis dodecahedron Dual dodecahedron t01 e66.pngDual dodecahedron t01 A2.pngDual dodecahedron t01 H3.png Lygiašonis

DU25 facets.png
V5.6.6

60 90 32 Ih
Deltoidinis heksakontaedras

(rombinis ikosidodekaedras)
„oD“

Deltoidinis heksakontaedrasDeltoidinis heksakontaedras Dual dodecahedron t02 f4.pngDual dodecahedron t02 A2.pngDual dodecahedron t02 H3.png Aitvaras

DU27 facets.png
V3.4.5.4

60 120 62 Ih
„Disdyakis“ triakontaedras

(nupjautinis ikosidodekaedras)
„mD“

„Disdyakis“ triakontaedras„Disdyakis“ triakontaedras Dual dodecahedron t012 f4.pngDual dodecahedron t012 A2.pngDual dodecahedron t012 H3.png Įvairiakraštis

DU28 facets.png
V4.6.10

120 180 62 Ih
Penkiakampis heksakontaedras

(nusklembtas dodekaedras)
„gD“

Penkiakampis heksakontaedrasPenkiakampis heksakontaedras (Ccw) Dual snub dodecahedron e1.pngDual snub dodecahedron A2.pngDual snub dodecahedron H2.png Penkiakampis

DU29 facets.png
V3.3.3.3.5

60 150 92 I

Šaltiniai[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

  • Eugène Catalan Mémoire sur la Théorie des Polyèdres. J. l'École Polytechnique (Paris) 41, 1-71, 1865.
  • Alan Holden Shapes, Space, and Symmetry. New York: Dover, 1991.
  • Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54325-5  (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals)
  • Williams, Robert (1979). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.  (Section 3-9)
  • Anthony Pugh (1976). Polyhedra: A visual approach. California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7. Chapter 4: Duals of the Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms

Išorinės nuorodos[redaguoti | redaguoti vikitekstą]