Pereiti prie turinio

Katalano kūnas

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Rombinis dodekaedras ir jo sienos konfigūracija.
„Disdyakis“ triakontaedras, kurio sienos konfigūracija V4.6.10, yra didžiausias Katalano kūnas, turintis 120 sienų.

Matematikoje Katalano kūnas – atitinkamo Archimedo kūno dualusis briaunainis. Katalano kūnai taip vadinami pagal juos 1865 m. pirmą kartą aprašiusį belgų matematiką Euženą Katalaną (Eugène Catalan).

Katalano kūnai yra iškilieji briaunainiai. Jie yra tranzityvūs sienų atžvilgiu, bet netranzityvūs briaunų atžvilgiu. Taip yra todėl, kad šių kūnų dualai, Archimedo kūnai, yra tranzityvūs briaunų atžvilgiu, bet netranzityvūs sienų atžvilgiu. Reikia pastebėti, kad skirtingai negu Platono kūnai ir Archimedo kūnai, Katalano kūnų sienos nėra taisyklingieji daugiakampiai. Kita vertus, Katalano kūnų viršūnių planai yra taisyklingieji daugiakampiai ir jie turi pastovius dvisienius kampus. Kadangi jų sienos yra tranzityvios, Katalano kūnai yra izoedrai.

Be to, du Katalano kūnai yra dar tranzityvūs ir briaunų atžvilgiu: rombinis dodekaedras ir rombinis triakontaedras. Šiuodvi figūros yra dviejų kvazitaisykligų Archimedo kūnų dualai.

Lygiai, kaip prizmės ir antiprizmės bendruoju atveju nėra priskiriamos prie Archimedo kūnų, taip bipiramidės ir trapecoedrai nepriskiriami prie Katalano kūnų, nors abiejų klasių figūros yra tranzityvios sienų atžvilgiu.

Dviem Katalano kūnams būdingas chirališkumas: penkiakampiam ikositetraedrui ir penkiakampiam heksakontaedrui, kurie yra atitinkamai dualūs su nusklembtu kubu ir nusklembtu dodekaedru. Kiekvienas šių dualų iš tiesų yra enantiomorfų pora. Bet neskaičiuojant šių enantiomorfų ir bipiramidžių bei trapecoedrų iš viso turime 13 Katalano kūnų.

nr. Archimedo kūnai Katalano kūnai
1 Nupjautinis tetraedras
„Triakis“ tetraedras
2 Nupjautinis kubas
„Triakis“ oktaedras
3 Nupjautinis kuboktaedras
„Disdyakis“ dodekaedras
4 Nupjautinis oktaedras
„Tetrakis“ heksaedras
5 Nupjautinis dodekaedras
„Triakis“ ikosaedras
6 Nupjautinis ikosidodekaedras
„Disdyakis“ triakontaedras
7 Nupjautinis ikosaedras
„Pentakis“ dodekaedras
8 Kuboktaedras Rombinis ddodekaedras
9 Ikosidodekaedras Rombinis triakontaedras
10 Rombinis kuboktaedras
Deltoidinis ikositetraedras
11 Rombinis ikosidodekaedras
Deltoidinis heksakontaedras
12 Nusklembtas kubas
Penkiakampis ikositetraedras
13 Nusklembtas dodekaedras
Penkiakampis heksakontaedras

„Triakis“ (ir kitos panašios Katalano kūnų pavadinimo dalys) yra hibridinis darinys iš graikų τρι, tri – „trys“ ir lotynų acis „ketera“, „smailė“; taigi „triakis“ tetraedras yra tetraedras, kurio kiekvienoje sienoje iškilusios trys briaunos („keteros“). Atitinkamai „tetrakis“ reiškia sieną, kurioje iškilusios keturios (tetra), „pentakis“ – penkios briaunos, sudarančios lygiašonius trikampius, o „disdyakis“ – briaunos sudaro įvairiakraščius trikampius.

Katalano kūnus, kaip ir jiems dualius Archimedo kūnus galima sugrupuoti pagal simetrijos klases: tetraedrines, oktaedrines, ikosaedrines simetrijos kūnus. Kiekvienoje simetrijos klasėje yra po šešis kūnus, o kadangi tetraedrinės simetrijos grupės kūnams būdinga simetrija pačiam sau, čia yra tik trys kūnai, du iš kurių dubliuoja oktaedrinės simetrijos kūnai. Taigi 6+6+3-2=13.

Tetraedrinė simetrija
Archimedo kūnai
Katalano kūnai
Oktaedrinė simetrija
Archimedo kūnai
Katalano kūnai
Ikosaedrinė simetrija
Archimedo kūnai
Katalano kūnai
Pavadinimas

(Dvigubas)
Konvėjaus žymėjimas

Vaizdas Ortogonalinis

karkasas

Sienos

daugiakampis

Sienos Briaunos Viršūnės Simetrija
„Triakis“ tetraedras

(nupjautinis tetraedras)
„kT“

„Triakis“ tetraedras„Triakis“ tetraedras Lygiašonis


V3.6.6

12 18 8 Td
Rombinis dodekaedras

(kuboktaedras)
„jC“

Rombinis dodekaedrasRombinis dodekaedras Rombas


V3.4.3.4

12 24 14 Oh
„Triakis“ oktaedras

(nupjautinis kubas)
„kO“

„Triakis“ oktaedras„Triakis“ oktaedras Lygiašonis


V3.8.8

24 36 14 Oh
„Tetrakis“ heksaedras

(nupjautinis oktaedras)
„kC“

„Tetrakis“ heksaedras„Tetrakis“ heksaedras Lygiašonis


V4.6.6

24 36 14 Oh
Deltoidinis ikositetraedras

(rombinis kuboktaedras)
„oC“

Deltoidinis ikositetraedrasDeltoidinis ikositetraedras Aitvaras


V3.4.4.4

24 48 26 Oh
„Disdyakis“ dodekaedras

(nupjautinis kuboktaedras)
„mC“

„Disdyakis“ dodekaedras„Disdyakis“ dodekaedras Įvairiakraštis


V4.6.8

48 72 26 Oh
Penkiakampis ikositetraedras

(nusklembtas kubas)
„gC“

Penkiakampis ikositetraedrasPenkiakampis ikositetraedras (Ccw) Penkiakampis


V3.3.3.3.4

24 60 38 O
Rombinis triakontaedras

(ikosidodekaedras)
„jD“

Rombinis triakontaedrasRombinis triakontaedras Rombas


V3.5.3.5

30 60 32 Ih
„Triakis“ ikosaedras

(nupjautinis dodekaedras)
„kI“

„Triakis“ ikosaedras„Triakis“ ikosaedras Lygiašonis


V3.10.10

60 90 32 Ih
„Pentakis“ dodekaedras

(nupjautinis ikosaedras)
„kD“

Pentakis dodecahedronPentakis dodecahedron Lygiašonis


V5.6.6

60 90 32 Ih
Deltoidinis heksakontaedras

(rombinis ikosidodekaedras)
„oD“

Deltoidinis heksakontaedrasDeltoidinis heksakontaedras Aitvaras


V3.4.5.4

60 120 62 Ih
„Disdyakis“ triakontaedras

(nupjautinis ikosidodekaedras)
„mD“

„Disdyakis“ triakontaedras„Disdyakis“ triakontaedras Įvairiakraštis


V4.6.10

120 180 62 Ih
Penkiakampis heksakontaedras

(nusklembtas dodekaedras)
„gD“

Penkiakampis heksakontaedrasPenkiakampis heksakontaedras (Ccw) Penkiakampis


V3.3.3.3.5

60 150 92 I
  • Eugène Catalan Mémoire sur la Théorie des Polyèdres. J. l'École Polytechnique (Paris) 41, 1-71, 1865.
  • Alan Holden Shapes, Space, and Symmetry. New York: Dover, 1991.
  • Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54325-5  (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals)
  • Williams, Robert (1979). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.  (Section 3-9)
  • Anthony Pugh (1976). Polyhedra: A visual approach. California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7. Chapter 4: Duals of the Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms