Kvazitaisyklingasis briaunainis

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Jump to navigation Jump to search
Kvazitaisyklingosios geometrinės figūros
(3.3)2 (3.4)2 (3.5)2 (3.6)2 (3.7)2 (3.8)2 (3.∞)2
r{3,3} r{3,4} r{3,5} r{3,6} r{3,7} r{3,8} r{3,∞}
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 7.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 8.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform polyhedron-33-t1.png Uniform polyhedron-43-t1.png Uniform polyhedron-53-t1.png Uniform polyhedron-63-t1.png Uniform tiling 73-t1.png Uniform tiling 83-t1.png Uniform tiling infin32-t1.png
Kvazitaisyklingasis briaunainis bei klojinys turi tik dvejopas taisyklingas sienas, kurios yra išsidėsčiusios aplink viršūnę pakaitomis. Jų viršūnės planas yra stačiakampis.

Geometrijoje, kvazitaisyklingasis briaunainis yra toks pustaisyklingis briaunainis, kurio sienos griežtai yra tik dvejopi taisyklingi daugiakampiai, kurie yra išsidėstę aplinkui viršūnę pakaitomis. Šių briaunainių briaunos yra tranzityvios, todėl jie yra taisyklingesni (artimesni taisyklingiems briaunainiams) negu pustaisyklingiai, kurių tik viršūnės yra tranzityvios.

Egzistuoja tik du iškili kvazitaisyklingieji briaunainiai: kuboktaedras ir ikosidodekaedras. Juos taip pavadino Johanas Kepleris, nustatęs, jog šios figūros turi abiejų susijusių dualų sienas – pirmu atveju, kubo ir oktaedro, antru, ikosaedro ir dodekaedro.

Šiems briaunainiams, kadangi juose yra išreikšta visa taisyklingų briaunainių duali pora, galima suteikti vertikalų Šlėfli simbolį arba r{p, q}, iš kurio matyti, kad figūra turi sienas atitinkančias taisyklingą briaunainį {p, q} ir taisyklingą jo dualą {q, p}. Tokiu simboliu žymimas kvazitaisyklingasis briaunainis turės viršūnės planą p.q.p.q (arba (p.q)2).

Apibendrintai, kvazitaisyklingosios figūros viršūnės planas yra (p.q)r, kuriame r (=2 ar daugiau) rodo, kiek kartų abiejų sienų pora pasikartoja aplinkui viršūnę.

Klojiniai, išdėstyti plokštumoje, taip pat gali būti kvazitaisyklingieji, ypač dažniau sutinkami euklidinės erdvės triheksagoniniai klojiniai, kurių viršūnės planas yra (3.6)2 – trikampio ir šešiakampio pora aplinkui viršūnę pasikartoja du kartus. Plačiai nagrinėjami ir atitinkami hiperbolinių plokštumų dariniai, pavyzdžiui, triheptagoniniai klojiniai (3.7)2. Apibendrintai, klojinių viršūnės planas taip pat yra (p.q)2, tik yra apribojimas 1/p+1/q<1/2 (kitaip jie nebebus klojiniai).

Kai kuriuos taisyklingus briaunainius ir klojinius (tuos, kurie turi lyginį sienų skaičių) galima laikyti kvazitaisyklingais, kadangi gretimas sienas teoriškai galima laikyti skirtingomis, pavyzdžiui, dažyti skirtinga spalva, nes jokios paviršiaus savybės nekeis jų vienodo išsidėstymo aplinkui viršūnę. Taigi, taisyklingą figūrą, kurios Šlėfli simbolis yra {p, q}, galima laikyti kvazitaisyklinga, kurios viršūnės planas yra (p.p)q/2, jeigu tik q yra lyginis.

Oktaedrą galima laikyti kvazitaisyklinguoju tetratetraedru (du rinkiniai po keturis trikampius – po trikampę išorinę tetraedro sieną), (3a.3b)2, ir trikampes sienas galima pakaitomis nudažyti dviem spalvomis. Panašiai, kvadratų klojinį (4a.4b)2 galima laikyti kvazitaisyklinguoju ir nudažyti kaip šachmatų lentą. Lygiai taip pat trikampių klojinys (3a.3b)3 gali būti nudažytas dviejomis spalvomis.

Vithofo konstravimas[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Vythofo-konstrukciju-diagrama.png
Taisyklingas (p | 2 q) ir kvazitaisyklingasis briaunainis (2 | p q) yra konstruojami pagal Vithofo konstrukcinę schemą, kai konstravimo taškas yra prie vieno iš 3 fundamentinės srities kampų.

Kokseteris (Coxeter) kvazitaisyklingąjį briaunainį apibrėžia kaip tą, kurio Vithofo simbolis yra p | q r, o jei q=2 arba q=r, šis briaunainis yra taisyklingas.[1]

Kokseterio-Dinkino diagrama yra kitas simbolinis žymėjimo būdas, iš kurio galima matyti kvazitaisyklingą ryšį tarp dualios taisyklingų briaunainių poros:

Šlėfli simbolis Kokseterio diagrama Withofo simbolis
{p, q} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png q | 2 p
{q, p} CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png p | 2 q
r{p, q} CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png 2 | p q

Iškili kvazitaisyklingieji briaunainiai ir klojiniai[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Egzistuoja tik du iškili kvazitaisyklingieji briaunainiai:

  1. Kuboktaedras , kurio viršūnės planas yra (3.4)2, o Kokseterio-Dinkino diagrama CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
  2. Ikosidodekaedras , kurio viršūnės planas yra (3.5)2, o Kokseterio-Dinkino diagrama CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png

Dera pridurti, kad oktaedras, kuris įprastai laikomas taisyklingu, , kurio viršūnės planas yra (3.3)2, lygia greta gali būti laikomas ir kvazitaisyklingu, jeigu kas antrą sieną nudažysime dviem skirtingomis spalvomis. Toks oktaedras paprastai vadinamas tetratetraedru. Visų kitų taisyklingųjų briaunainių viršūnės plane yra nelyginis skaičius daugiakampių, tad jų neįmanoma taip nudažyti, kad jų briaunos taptų tranzityvios. Kvazitaisyklingųjų briaunainių Kokseterio-Dinkino diagrama yra CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png .

Kiekvienas jų atspindi taisyklingų briaunainių dualią porą. Abiejų kvazitaisyklingų briaunainių pavadinimuose yra užuomina į susijusią dualią porą: kuboktaedras = kubas + oktaedras, o ikosidodekaedras = ikosaedras + dodekaedras. Oktaedras atitinka tetratetraedrą, kuris atspindi du pačius sau dualius tetraedrus, sudarančius figūrą, vadinamą stella octangula.

Taisyklingas Dualus taisyklingas Kvazitaisyklingasis Viršūnės planas
Uniform polyhedron-33-t0.png
Tetraedras
{3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
3 | 2 3
Uniform polyhedron-33-t2.png
Tetraedras
{3,3}
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
3 | 2 3
Uniform polyhedron-33-t1.png
Tetratetraedras
r{3,3}
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
2 | 3 3
Tetratetrahedron vertfig.png
3.3.3.3
Uniform polyhedron-43-t0.png
Kubas
{4,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
3 | 2 4
Uniform polyhedron-43-t2.png
Oktaedras
{3,4}
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
4 | 2 3
Uniform polyhedron-43-t1.png
Kuboktaedras
r{3,4}
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
2 | 3 4
Cuboctahedron vertfig.png
3.4.3.4
Uniform polyhedron-53-t0.png
Dodekaedras
{5,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
3 | 2 5
Uniform polyhedron-53-t2.png
Ikosaedras
{3,5}
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
5 | 2 3
Uniform polyhedron-53-t1.png
Ikosidodekaedras
r{3,4}
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
2 | 3 5
Icosidodecahedron vertfig.png
3.5.3.5

Kiekvienas iš šių kvazitaisyklingųjų briaunainių gali būti sukonstruotas rektifikuojant kurį nors taisyklingą pirminį briaunainį, tai yra visiškai nupjaunant briaunas, kol pirminės briaunos virsta tašku (rektifikuojamos į tašką).

Kvazitaisyklingieji klojiniai[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Kvazitaisyklingiesiems briaunainiams galima priskirti ir klojinius iš dviejų skirtingų taisyklingų daugiakampių. Tokie yra triheksagonaliniai klojiniai, kurių viršūnės planas yra 3.6.3.6 – tai kvazitaisyklingieji klojiniai sudaryti iš taisyklingų trikampių ir šešiakampių sujungtų į plokščią klojinį.

Taisyklingas Dualus taisyklingas Kvazitaisyklingasis Viršūnės planas
Uniform tiling 63-t0.png
Šešiakampis klojinys
{6,3}
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
6 | 2 3
Uniform tiling 63-t2.png
Trikampis klojinys
{3,6}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
3 | 2 6
Uniform tiling 63-t1.png
Triheksagoninis klojinys
r{5,3}
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
2 | 3 6
Trihexagonal tiling vertfig.png
3.6.3.6

Šachmatų lentos raštas yra kvazitaisyklingas spalvinimas, pritaikytas taisyklingam kvadratų klojiniui, kurio viršūnės planas yra 4.4.4.4:

Taisyklingas Dualus taisyklingas Kvazitaisyklingasis Viršūnės planas
Uniform tiling 44-t0.svg
{4,4}
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.png
4 | 2 4
Uniform tiling 44-t2.png
{4,4}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
4 | 2 4
Uniform tiling 44-t1.png
r{4,4}
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
2 | 4 4
Square tiling vertfig.png
4.4.4.4

Trikampį klojinį taip pat galima laikyti kvazitaisyklingu, kuriame aplinkui kiekvieną viršūnę išsidėsto trys dvispalvių trikampių rinkiniai – (3.3)3:

Uniform tiling 333-t1.png
h{6,3}
3 | 3 3
CDel branch 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.png = CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

Hiperbolinėje plokštumoje šių figūrų seka plečiasi, pavyzdžiui, prisideda triheptagoniniai klojiniai (viršūnės planas 3.7.3.7) ir pan.

Taisyklingas Dualus taisyklingas Kvazitaisyklingasis Viršūnės planas
Uniform tiling 73-t0.png
Heptagonal tiling
{7,3}
CDel node.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
7 | 2 3
Uniform tiling 73-t2.png
Triangular tiling
{3,7}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
3 | 2 7
Uniform tiling 73-t1.png
Triheptagonal tiling
r{3,7}
CDel node.pngCDel 7.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
2 | 3 7
Triheptagonal tiling vertfig.png
3.7.3.7

Neiškili pavyzdžiai[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Kokseteris[2] kai kuriuos žvaigždinius briaunainius priskiria prie kvazitaisyklingųjų:

Du yra vediniai iš dualių Keplerio-Puanso kūnų porų, panašiai, kaip iškilųjų – tai didysis ikosidodekaedras ir dodekadodekaedras :

Taisyklingas Dualus taisyklingas Kvazitaisyklingasis Viršūnės planas
Great stellated dodecahedron.png
Didysis žvaigždinis dodekaedras
{5/2,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
3 | 2 5/2
Great icosahedron.png
Didysis ikosaedras
{3,5/2}
CDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
5/2 | 2 3
Great icosidodecahedron.png
Didysis ikosidodekaedras
r{3,5/2}
CDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
2 | 3 5/2
Great icosidodecahedron vertfig.png
3.5/2.3.5/2
Small stellated dodecahedron.png
Mažasis žvaigždinis dodekaedras
{5/2,5}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
5 | 2 5/2
Great dodecahedron.png
Didysis dodekaedras
{5,5/2}
CDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.png
5/2 | 2 5
Dodecadodecahedron.png
Dodekadodekaedras
r{5,5/2}
CDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.png
2 | 5 5/2
Dodecadodecahedron vertfig.png
5.5/2.5.5/2

Trečias yra ditrigoninės formos briaunainis, kurio viršūnės planą sudaro triskart pasikartojanti dviejų sienų pora:

Vaizdas Briaunainio pavadinimas
Withofo simbolis
Kokseterio diagrama
Viršūnės planas
Ditrigonal dodecadodecahedron.png Ditrigoninis dodekadodekaedras
3 | 5/3 5
Ditrigonal dodecadodecahedron cd.png or CDel node.pngCDel 5.pngCDel node h3.pngCDel 5-2.pngCDel node.png
Ditrigonal dodecadodecahedron vertfig.png
(5.5/3)3
Small ditrigonal icosidodecahedron.png Mažasis ditrigoninis ikosidodekaedras
3 | 5/2 3
Small ditrigonal icosidodecahedron cd.png or CDel node h3.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Small ditrigonal icosidodecahedron vertfig.png
(3.5/2)3
Great ditrigonal icosidodecahedron.png Didysis ditrigoninis ikosidodekaedras
3/2 | 3 5
Great ditrigonal icosidodecahedron cd.png or CDel node h3.pngCDel 5-2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Great ditrigonal icosidodecahedron vertfig.png
((3.5)3)/2

Kvazitaisyklingieji dualai[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Kai kurie autoriai teigia, kad kvazitaisyklingųjų briaunainių dualai, kadangi turi tą pačią simetriją, kaip pirminiai kūnai, irgi turi būti kvazitaisyklingi. Bet ne visi su tuo sutinka. Šie dualai turi tranzityvias briaunas ir sienas (bet netranzityvias viršūnes); tad jie yra Katalano kūnai su tranzityviomis briaunomis. Iškilieji kvazitaisyklingųjų briaunainių dualai, atitinkamai aukščiau pateiktai tvarkai, yra:

  1. Rombinis dodekaedras, turintis dviejų tipų pakaičiui einančias viršūnes, iš kurių 8 turi tris rombines sienas ir 6 – keturias rombines sienas.
  2. Rombinis triakontaedras, turintis dviejų tipų pakaičiui einančias viršūnes, iš kurių 20 turi tris rombines sienas ir 12 – penkias rombines sienas.

Papildomai, atsižvelgiant į „dvispalvio“ oktaedro dualumą, kvazitaisyklinguoju galima laikyti kubą, kuris įprastai yra taisyklingasis briaunainis, jei jo viršūnes pakaičiui nuspalvinsime dviem skirtingomis spalvomis.

sienų konfigūracija turės pavidalą V3.n.3.n, o Kokseterio-Dinkino diagrama bus CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel n.pngCDel node.png.

Hexahedron.svg Rhombicdodecahedron.jpg Rhombictriacontahedron.svg Rhombic star tiling.png Order73 qreg rhombic til.png Uniform dual tiling 433-t01-yellow.png
Kubas
V(3.3)2
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Rombinis dodekaedras
V(3.4)2
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.png
Rombinis triakontaedras
V(3.5)2
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node.png
Rombinis klojinys
V(3.6)2
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 6.pngCDel node.png
V(3.7)2
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 7.pngCDel node.png
V(3.8)2
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 8.pngCDel node.png

Visi trys kvazitaisyklingieji dualai turi jiems būdingas rombines sienas.

Tas pats rombinių sienų išsidėstymas kartojasi klojinyje kaip V(3.6)2.

Nuorodos[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

  1. Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S. and Miller, J.C.P. Uniform Polyhedra, Philosophical Transactions of the Royal Society of London 246 A (1954), pp. 401–450. (Section 7, The regular and quasiregular polyhedra p | q r)
  2. Coxeter, H.S.M. et al. (1954)

Šaltiniai[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

  • Cromwell, P. Polyhedra, Cambridge University Press (1977).
  • Coxeter, Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8, 2.3 Quasi-Regular Polyhedra. (p. 17), Quasi-regular honeycombs p.69