Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Kompleksinis skaičius gali būti vaizduojamas kaip skaičių a ir b pora, kuri sudaro vektorių kompleksinėje plokštumoje „Re“ – realioji ašis, „Im“ – menamoji ašis, o i yra
menamasis vienetas .
Kompleksinis skaičius yra dviejų realiųjų skaičių pora z:
z
=
(
a
,
b
)
=
a
+
b
⋅
i
=
Re
(
z
)
+
i
Im
(
z
)
{\displaystyle z=(a,b)=a+b\cdot i=\operatorname {Re} (z)+i\operatorname {Im} (z)}
,
kur a ir b – realieji skaičiai ,
o
i
=
(
0
,
1
)
{\displaystyle i=(0,1)}
– menamasis vienetas tenkinantis sąlygą:
i
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=-1}
Dažnai daroma klaida, kai sakoma, jog
i
=
−
1
{\displaystyle i={\sqrt {-1}}}
. Tokio teiginio naudoti negalima (plačiau apie tai skaitykite straipsnyje apie menamąjį vienetą ).
Skaičius a vadinamas realiąja z dalimi, žymima a = Re(z), skaičius b vadinamas menamąja z dalimi, žymima b = Im(z).
Kompleksinių skaičių aibė žymima C :
C
=
{
a
+
b
⋅
i
;
a
,
b
∈
R
}
{\displaystyle \mathbb {C} =\{a+b\cdot i;a,b\in \mathbb {R} \}}
Sudėtis
(
a
,
b
)
+
(
c
,
d
)
=
(
a
+
b
i
)
+
(
c
+
d
i
)
=
(
a
+
c
)
+
(
b
+
d
)
⋅
i
=
(
a
+
c
,
b
+
d
)
{\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)\cdot i=(a+c,b+d)\,}
Atimtis
(
a
,
b
)
−
(
c
,
d
)
=
(
a
+
b
i
)
−
(
c
+
d
i
)
=
(
a
−
c
)
+
(
b
−
d
)
⋅
i
=
(
a
−
c
,
b
−
d
)
{\displaystyle (a,b)-(c,d)=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)\cdot i=(a-c,b-d)}
,
Daugyba
(
a
,
b
)
⋅
(
c
,
d
)
=
(
a
+
b
i
)
(
c
+
d
i
)
=
(
a
c
−
b
d
)
+
(
a
d
+
b
c
)
⋅
i
=
(
a
c
−
b
d
,
a
d
+
b
c
)
{\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)\cdot i=(ac-bd,ad+bc)\,}
a
⋅
(
1
,
0
)
=
(
a
,
0
)
⋅
(
1
,
0
)
=
(
a
,
0
)
=
a
{\displaystyle a\cdot (1,0)=(a,0)\cdot (1,0)=(a,0)=a}
b
⋅
(
0
,
1
)
=
(
b
,
0
)
⋅
(
0
,
1
)
=
(
b
+
0
)
⋅
(
0
+
i
)
=
0
+
b
i
=
(
0
,
b
)
=
b
i
{\displaystyle b\cdot (0,1)=(b,0)\cdot (0,1)=(b+0)\cdot (0+i)=0+bi=(0,b)=bi}
Dalyba
(
a
,
b
)
(
c
,
d
)
=
a
+
b
i
c
+
d
i
=
a
c
+
b
d
c
2
+
d
2
+
(
b
c
−
a
d
)
c
2
+
d
2
⋅
i
=
(
a
c
+
b
d
c
2
+
d
2
,
b
c
−
a
d
c
2
+
d
2
)
,
{\displaystyle {\frac {(a,b)}{(c,d)}}={\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {(bc-ad)}{c^{2}+d^{2}}}\cdot i=\left({\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}},{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}\right),}
(
a
,
b
)
(
a
,
b
)
=
a
+
b
i
a
+
b
i
=
1
+
0
i
=
(
1
,
0
)
=
1
{\displaystyle {\frac {(a,b)}{(a,b)}}={\frac {a+bi}{a+bi}}=1+0i=(1,0)=1}
.
1
(
c
,
d
)
=
(
1
,
0
)
(
c
,
d
)
=
1
+
0
i
c
+
d
i
=
c
c
2
+
d
2
+
(
−
d
c
2
+
d
2
)
i
=
(
c
c
2
+
d
2
,
−
d
c
2
+
d
2
)
{\displaystyle {\frac {1}{(c,d)}}={\frac {(1,0)}{(c,d)}}={\frac {1+0i}{c+di}}={\frac {c}{c^{2}+d^{2}}}+\left({\frac {-d}{c^{2}+d^{2}}}\right)i=\left({\frac {c}{c^{2}+d^{2}}},{\frac {-d}{c^{2}+d^{2}}}\right)}
.
Formaliai kompleksinis skaičius gali būti apibrėžtas kaip išrikiuota dviejų realių skaičių (a , b ) pora su įvestomis operacijomis:
(
a
,
b
)
+
(
c
,
d
)
=
(
a
+
c
,
b
+
d
)
{\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\,}
(
a
,
b
)
⋅
(
c
,
d
)
=
(
a
c
−
b
d
,
b
c
+
a
d
)
.
{\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,bc+ad).\,}
Taip apibrėžti kompleksiniai skaičiai sudaro lauką , kompleksinių skaičių lauką, žymimą C (laukas matematikoje yra algebrinė struktūra, kurioje apibrėžtos sudėties, atimties, daugybos ir dalybos operacijos, turinčios tam tikras algebrines savybes. Pvz., realieji skaičiai yra laukas).
Realusis skaičius a yra sutapatinamas su kompleksiniu skaičiumi (a , 0), ir tuo būdu realiųjų skaičių laukas R tampa C dalimi. Menamasis vienetas i apibrėžiamas kaip kompleksinis skaičius (0, 1), kuris tenkina:
(
a
,
b
)
=
a
⋅
(
1
,
0
)
+
b
⋅
(
0
,
1
)
=
a
+
b
i
ir
i
2
=
(
0
,
1
)
⋅
(
0
,
1
)
=
(
−
1
,
0
)
=
−
1.
{\displaystyle (a,b)=a\cdot (1,0)+b\cdot (0,1)=a+bi\quad {\text{ir}}\quad i^{2}=(0,1)\cdot (0,1)=(-1,0)=-1.}
Lauke C mes turime:
vienetinį elementą sudėčiai („nulį“): (0, 0)
vienetinį elementą daugybai („vienetą“): (1, 0)
atvirkštinį elementą sudėties operacijai (a ,b ): (−a , −b )
atvirkštinį elementą sandaugos operacijai nenuliniam (a , b ):
(
a
a
2
+
b
2
,
−
b
a
2
+
b
2
)
.
{\displaystyle \left({a \over a^{2}+b^{2}},{-b \over a^{2}+b^{2}}\right).}
Kiekvienam kompleksiniam skaičiui z = a + bi galima vienareikšmiškai priskirti plokštumos, kurioje yra Dekarto koordinačių sistema, tašką (a; b). Pagrindiniai kompleksinių skaičių veiksmai gali būti interpretuojami geometriškai: kompleksiniai skaičiai a + ib ir c + id gali būti sumuojami kaip dvimačiai vektoriai (a; b) ir (c; d).
Kompleksiniai skaičiai trigonometrijoje.
Greta algebrinės formos (
z
=
(
a
,
b
)
=
a
+
b
⋅
i
{\displaystyle z=(a,b)=a+b\cdot i}
) dar yra trigonometrinė kompleksinių skaičių užrašymo forma:
z
=
r
(
cos
φ
+
i
sin
φ
)
=
r
e
i
φ
{\displaystyle z=r(\cos \varphi \ +i\sin \varphi \ )=re^{i\varphi }}
,
Čia
r
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
,11
cos
φ
=
a
r
,
{\displaystyle \cos \varphi \ ={\frac {a}{r}},}
sin
φ
=
b
r
,
{\displaystyle \sin \varphi \ ={\frac {b}{r}},}
.
Formulė kai
r
=
1
{\displaystyle r=1}
yra vadinama Oilerio formule :
e
i
φ
=
cos
φ
+
i
sin
φ
{\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi }
.
Šiuo atveju kompleksinis skaičius
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
turi paprastą geometrinę interpretaciją. a yra atkarpos ilgis x ašimi, o b – y ašimi. Kampas
ϕ
{\displaystyle \phi }
yra kampas tarp x ašies ir tiesės jungiančios koordinačių pradžią (0,0) ir tašką (a, b).
r
{\displaystyle r}
yra atkarpos ilgis nuo koordinačių pradžios (0, 0) iki taško (a, b).
Daugyba, dalyba, kėlimas laipsniu ir šaknies traukimo operacijos trigonometrinėje formoje [ redaguoti | redaguoti vikitekstą ]
Dviejų kompleksinių skaičių daugyba atrodys taip:
z
=
z
1
z
2
=
r
1
e
i
φ
1
⋅
r
2
e
i
φ
2
=
r
1
r
2
e
i
(
φ
1
+
φ
2
)
{\displaystyle z=z_{1}z_{2}=r_{1}\,e^{i\varphi _{1}}\cdot r_{2}\,e^{i\varphi _{2}}=r_{1}\,r_{2}\,e^{i(\varphi _{1}+\varphi _{2})}\,}
dalyba:
z
=
z
1
z
2
=
r
1
e
i
φ
1
r
2
e
i
φ
2
=
r
1
r
2
e
i
(
φ
1
−
φ
2
)
.
{\displaystyle z={\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}\,e^{i\varphi _{1}}}{r_{2}\,e^{i\varphi _{2}}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\,e^{i(\varphi _{1}-\varphi _{2})}.\,}
Kėlimui laipsniu yra naudojama Muavro formulė :
z
n
=
(
r
e
i
φ
)
n
=
r
n
e
i
n
φ
=
r
n
(
cos
n
φ
+
i
sin
n
φ
)
{\displaystyle z^{n}={\big (}r\,e^{i\varphi }{\big )}^{n}=r^{n}\,e^{in\varphi }=r^{n}(\cos {n\varphi }+i\sin {n\varphi })\,}
Šaknies traukimo operacija:
ω
=
z
n
{\displaystyle \omega ={\sqrt[{n}]{z}}}
,
ω
k
=
r
n
(
cos
φ
+
2
π
k
n
+
i
sin
φ
+
2
π
k
n
)
{\displaystyle \omega _{k}={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos {\frac {\varphi \ +2\pi \ k}{n}}+i\sin {\frac {\varphi \ +2\pi \ k}{n}}\right)}
– egzistuoja lygiai n skirtingų šaknų. Kai k kinta nuo 0 iki (n-1) visos gaunamos reikšmės yra skirtingos. Kai k > n , gaunamos reikšmės kartojasi.