Kompleksinis skaičius

Kompleksinis skaičius yra dviejų realiųjų skaičių pora z:

$z = (a , b) =a + b \cdot i = Re(z) + iIm(z)$,

kur a ir b – realieji skaičiai, o $i = (0,1)$ – menamasis vienetas tenkinantis sąlygą:

$i^2 = -1$

Dažnai daroma klaida, kai sakoma, jog $i = \sqrt{-1}$. Tokio teiginio naudoti negalima (plačiau apie tai skaitykite straipsnyje apie menamąjį vienetą).

Skaičius a vadinamas realiąja z dalimi, žymima a = Re(z), skaičius b vadinamas menamąja z dalimi, žymima b = Im(z).

Kompleksinių skaičių aibė žymima C:

$\mathbb{C}=\{a + b \cdot i; a,b \in \mathbb{R} \}$

Aritmetinės operacijos su kompleksiniais skaičiais

Sudėtis

$(a ,b)+(c ,d)=(a +bi)+(c +di)=(a+c) + (b+d) \cdot i = (a + c , b + d) \,$

Atimtis

$(a ,b)-(c ,d)=(a +bi)-(c +di)=(a-c) + (b-d) \cdot i = (a-c,b-d)$,

Daugyba

$(a , b) \cdot (c , d) =(a +bi)(c +di)= (ac-bd) + (ad+bc) \cdot i = (ac - bd , ad + bc) \,$

• $a \cdot (1,0) = (a,0) \cdot (1,0)= (a,0) = a$
• $b \cdot (0,1) = (b,0) \cdot (0,1) =(b+0) \cdot (0+i) =0+bi= (0,b) = bi$

Dalyba

$\frac{(a ,b)}{(c ,d)}=\frac{a +bi}{c +di}=\frac{ac + bd}{c^2+d^2}+\frac{(bc-ad)}{c^2+d^2}\cdot i=(\frac{ac + bd}{c^2+d^2},\frac{bc-ad}{c^2+d^2}),$

• $\frac{(a ,b)}{(a ,b)}=\frac{a +bi}{a +bi}=1+0i=(1,0)=1$.
• $\frac{1}{(c ,d)}=\frac{(1 ,0)}{(c ,d)}=\frac{1+0i}{c +di}=\frac{c}{c^2+d^2}+(\frac{-d}{c^2+d^2})i=(\frac{c}{c^2+d^2},\frac{-d}{c^2+d^2})$.

Kompleksinių skaičių laukas

Formaliai kompleksinis skaičius gali būti apibrėžtas kaip išrikiuota dviejų realių skaičių (a, b) pora su įvestomis operacijomis:

$(a,b) + (c,d) = (a + c,b + d) \,$

$(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd,bc + ad). \,$

Taip apibrėžti kompleksiniai skaičiai sudaro lauką, kompleksinių skaičių lauką, žymimą C (laukas matematikoje yra algebrinė struktūra, kurioje apibrėžtos sudėties, atimties, daugybos ir dalybos operacijos, turinčios tam tikras algebrines savybes. Pvz., realieji skaičiai yra laukas).

Realusis skaičius a yra sutapatinamas su kompleksiniu skaičiumi (a, 0), ir tuo būdu realiųjų skaičių laukas R tampa C dalimi. Menamasis vienetas i apibrėžiamas kaip kompleksinis skaičius (0, 1), kuris tenkina:

$(a, b) = a \cdot (1, 0) + b \cdot (0, 1) = a + bi \quad \text{ir} \quad i^2 = (0, 1) \cdot (0, 1) = (-1, 0) = -1.$

Lauke C mes turime:

• vienetinį elementą sudėčiai („nulį“): (0, 0)
• vienetinį elementą daugybai („vienetą“): (1, 0)
• atvirkštinį elementą sudėties operacijai (a,b): (−a, −b)
• atvirkštinį elementą sandaugos operacijai nenuliniam (a, b): $\left({a\over a^2+b^2},{-b\over a^2+b^2}\right).$

Kompleksinių skaičių plokštuma

Kiekvienam kompleksiniam skaičiui z = a + bi galima vienareikšmiškai priskirti plokštumos, kurioje yra Dekarto koordinačių sistema, tašką (a; b). Pagrindiniai kompleksinių skaičių veiksmai gali būti interpretuojami geometriškai: kompleksiniai skaičiai a + ib ir c + id gali būti sumuojami kaip dvimačiai vektoriai (a; b) ir (c; d).

Trigonometrinė forma

Kompleksiniai skaičiai trigonometrijoje.

Greta algebrinės formos ($z = (a , b) =a + b \cdot i$) dar yra trigonometrinė kompleksinių skaičių užrašymo forma:

$z = r ( \cos \varphi\ + i \sin \varphi\ )=re^{i\varphi}$,

Čia

$r = \sqrt{a^2 + b^2}$,

$\cos \varphi\ = \frac{a}{r},$

$\sin \varphi\ = \frac{b}{r},$.

Formulė kai $r = 1$ yra vadinama Oilerio formule: $e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi$.

Šiuo atveju kompleksinis skaičius $(a,b)$ turi paprastą geometrinę interpretaciją. a yra atkarpos ilgis x ašimi, o b - y ašimi. Kampas $\phi$ yra kampas tarp x ašies ir tiesės jungiančios koordinačių pradžią (0,0) ir tašką (a, b). $r$ yra atkarpos ilgis nuo koordinačių pradžios (0, 0) iki taško (a, b).

Daugyba, dalyba, kėlimas laipsniu ir šaknies traukimo operacijos trigonometrinėje formoje

Dviejų kompleksinių skaičių daugyba atrodys taip:

$z=z_1 z_2 =r_1\,e^{i\varphi_1} \cdot r_2\,e^{i\varphi_2} = r_1\,r_2\,e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)} \,$

dalyba:

$z=\frac{z_1}{z_2} =\frac{r_1\,e^{i\varphi_1}}{r_2\,e^{i\varphi_2}} = \frac{r_1}{r_2}\,e^{i (\varphi_1 - \varphi_2)}. \,$

Kėlimui laipsniu yra naudojama Muavro formulė:

$z^n =\big(r\,e^{i\varphi}\big)^n = r^n\,e^{in\varphi}=r^n(\cos{n\varphi}+i\sin{n\varphi}) \,$

Šaknies traukimo operacija:

$\omega = \sqrt[n]{z}$, $\omega_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos{ \frac{ \varphi\ + 2 \pi\ k}{n}} + i \sin{ \frac{ \varphi\ + 2 \pi\ k}{n}} \right)$ - egzistuoja lygiai n skirtingų šaknų. Kai k kinta nuo 0 iki (n-1) visos gaunamos reikšmės yra skirtingos. Kai k > n, gaunamos reikšmės kartojasi.

Vikižodynas