Beselio funkcija

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Peršokti į: navigaciją, paiešką

Beselio funkcijos – kanoniniai Beselio diferencialinės lygties

x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0

sprendiniai bet kokiai realiai arba kompleksinei parametro \alpha vertei. Labiausiai paplitę ir svarbūs daliniai atvejai, kai \alpha yra sveikas skaičius n. Tada parametras \alpha yra vadinamas Beselio funkcijos eile.

Beselio funkcijos pirmą kartą apibrėžtos matematiko Danielio Bernulio, o apibendrintos Frydricho Beselio.

Beselio funkcija taikymuose[taisyti | redaguoti kodą]

Beselio diferencialinė lygtis atsiranda matematinėje fizikoje, kuomet Laplaso lygtyje arba Helmholco lygtyje yra atskiriami kintamieji, lygtis užrašius cilindrinėje arba sferinėje koordinačių sistemose. Dėl šios priežasties Beselio funkcijos yra ypač svarbios daugelyje bangų fizikos uždavinių. Spręsdami cilindrinės simetrijos uždavinius, susiduriame su su lyginės (α = n) eilės Beselio funkcijomis, tuo tarpu sferinėse koordinatėse sutinkamos pusinių (α = n + ½) eilių Beselio funkcijos. Pavyzdžiui

Apibrėžimai[taisyti | redaguoti kodą]

Kadangi Beselio funkcijos yra antros eilės diferencialinės lygties sprendiniai, egzistuoja dvi tarpusavyje tiesiškai nepriklausomos funkcijos. Priklausomai nuo aplinkybių, sprendinių poros yra skirtingai apibrėžiamos.

Pirmos rūšies Beselio funkcijos : Jα[taisyti | redaguoti kodą]

Pirmos rūšies Beselio funkcijos, žymimos simboliu J_\alpha(x), yra Beselio diferencialinės lygties sprendiniai, turintys baigtinę vertę koordinačių pradžios taške (x = 0) neneigiamoms sveiko skaičiaus \alpha vertėms, ir diverguoja, kai koordinatė x artėja prie nulio neigiamoms ir nelygioms sveikam skaičiui parametro \alpha vertėms. Sprendinio tipas (t. y. sveikas skaičius arba nesveikas) funkcijos J_\alpha(x) vertės yra apibrėžiamos žemiau. Šios funkcijos Teiloro eilutė taško x = 0 aplinkoje užrašoma taip:

 J_\alpha(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m! \Gamma(m+\alpha+1)} {\left({\frac{x}{2}}\right)}^{2m+\alpha}

kur \Gamma(z) yra Gama funkcija, faktorialo funkcijos apibendrinimas nesveikiems skaičiams. Beselio funkcijos grafikai atrodo panašiai į osciliuojančias sinuso ir kosinuso funkcijas, kurios slopsta proporcingai funkcijai 1/√x (taip pat žr. jų asimptotines formas žemiau) tolstant nuo koordinačių centro. Nors Beselio funkcijos šaknys, griežtai tariant, nėra periodinės, asimptotikoje jos sutampa su sinuso ir kosinuso funkcijų šaknimis. (Teiloro eilutės pavidalas byloja apie tai, kad -J_1(x) yra funkcijos J_0(x) išvestinė, analogiškai kaip -\sin(x) yra funkcijos \cos(x) išvestinė; bendru atveju, funkcijos J_n(x) išvestinė gali būti išreikšta kaip funkcijų J_{n\pm 1}(x) suma.)

Pirmos rūšies Beselio funkcijų Jα(x) grafikai sveikoms eilėms α=0,1,2.

Nesveikoms α vertėms, funkcijos J_\alpha (x) ir J_{-\alpha} (x) yra tiesiškai nepriklausomos, tuo būdu budamos vienintelė diferencialinės lygties sprendinių pora. Iš kitos pusės, sveikoms eilėms \alpha, galioja sekantis sąryšis:

J_{-n}(x) = (-1)^n J_{n}(x).\,

Tai reiškia, kad du sprendiniai nėra tiesiškai nepriklausomi. Šiuo atveju, yra įvedama antros rūšies Beselio funkcija Yα.

Beselio integralai[taisyti | redaguoti kodą]

Yra įmanoma apibrėžti Beselio funkcija sveikoms eilėms n, kaip integralą:

J_n(x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos (n \tau - x \sin \tau) \,\mathrm{d}\tau.

Tokiame pavidale šią funkciją pirmą kartą užrašė Beselis ir iš šio apibrėžimo buvo išvestos pirmosios funkcijos savybės.

Egzistuoja ir kitas integralinis atvaizdavimas:

J_n (x) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{-\mathrm{i}\,(n \tau - x \sin \tau)} \,\mathrm{d}\tau.

Saryšis su Lagero polinomais[taisyti | redaguoti kodą]

Egzistuoja formulė, siejanti Beselio funkcija su Lagero polinomais bei laisvai pasirinktu parametru t

\frac{J_\alpha(x)}{\left( \frac{x}{2}\right)^\alpha}= \frac{e^{-t}}{\Gamma(\alpha+1)} \sum_{i=0} \frac{L_i^{(\alpha)}\left( \frac{x^2}{4 t}\right)}{{i+ \alpha \choose i}} \frac{t^i}{i!}.

Antros rūšies Beselio funkcijos Yα[taisyti | redaguoti kodą]

Antros rūšies Beselio funkcija yra žymima Yα(x) ir yra sprendinių pora, užbaigianti funkcijų šeimą. Šios funkcijos įgija begalinės vertės ties koordinačių pradžia (x = 0).

Antros rūšies Beselio funkcijų Yα(x) grafikai sveikoms eilėms α=0,1,2.

Yα(x) yra kartais vadinama Noimano funkcija ir tekstuose žymima Nα(x). Nesveikoms eilėms α, funkcija siejasi su pirmos rūšies funkcija Jα(x) sąryšiu:

Y_\alpha(x) = \frac{J_\alpha(x) \cos(\alpha\pi) - J_{-\alpha}(x)}{\sin(\alpha\pi)}.

Kuomet eilė n yra sveikas skaičius, funkcija yra apibrėžiama radus nesveiko skaičiaus α ribą, kuomet jis artėja prie sveiko skaičiaus 'n':

Y_n(x) = \lim_{\alpha \to n} Y_\alpha(x),

Riba yra apskaičiuojama ir jos integralinis atvaizdavimas yra

Y_n(x) = 
   \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin(x \sin\theta - n\theta)d\theta

 - \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} 
          \left[ e^{n t} + (-1)^n e^{-n t} \right] 
          e^{-x \sinh t} dt.

Tais atvejais, kai α yra nesveikas skaičius, Yα(x) apibrėžimas nėra būtinas, kadangi ji yra priklausoma nuo pirmos rūšies funkcijos. Iš kitos pusės, kuomet α yra sveikas skaičius, Yα(x) yra antras tiesiškai nepriklausomas Beselio diferencialinės lygties sprendinys, todėl ir šiai funkcijai galioja sąryšis:

Y_{-n}(x) = (-1)^n Y_n(x).\,

Hankelio funkcijos: Hα[taisyti | redaguoti kodą]

Kita svarbi galimybė apibrėžti dvi nepriklausomas Beselio diferencialinės lygties sprendinių šeimas yra Hankelio funkcijos Hα(1)(x) ir Hα(2)(x), apibrėžiamos kaip:

H_\alpha^{(1)}(x) = J_\alpha(x) + i Y_\alpha(x)
H_\alpha^{(2)}(x) = J_\alpha(x) - i Y_\alpha(x)

kur i yra menamas vienetas. Šios tiesinės kombinacijos taip pat yra vadinamos trečios rūšies Beselio funkcijomis; jos yra du tiesiškai nepriklausomi Beselio diferencialinės lygties sprendiniai. Hankelio pirmos ir antros rūšių funkcijos fizikoje yra naudojamos aprašyti nuo koordinačių pradžios tolstančias ir artėjančias cilindrines bangas, atitinkamai, kurios gaunamos išsprendus bangų lygtį.

Su prieš tai paminėto sąryšio pagalba, jos gali būti išreikštos:

H_{\alpha}^{(1)} (x) = \frac{J_{-\alpha} (x) - e^{-\alpha \pi i} J_\alpha (x)}{i \sin (\alpha \pi)}
H_{\alpha}^{(2)} (x) = \frac{J_{-\alpha} (x) - e^{\alpha \pi i} J_\alpha (x)}{- i \sin (\alpha \pi)}

jei α yra sveikas skaičius, yra būtina skaičiuoti ribą. Sekantys sąryšiai yra teisingi nepriklausomai nuo to, ar α yra sveikas, ar ne:

H_{-\alpha}^{(1)} (x)= e^{\alpha \pi i} H_{\alpha}^{(1)} (x)
H_{-\alpha}^{(2)} (x)= e^{-\alpha \pi i} H_{\alpha}^{(2)} (x)

Modifikuotos Beselio funkcijos : Iα, Kα[taisyti | redaguoti kodą]

Beselio funkcijų apibrėžimai yra teisingi ir kompleksinėms argumento vertėms, kas reiškia, jog įmanoma apibrėžti funkcijas nuo menamo argumento x. Šiuo atveju, Beselio diferencialinės lygties sprendiniai yra vadinami pirmos ir antros rūšies modifikuotomis Beselio funkcijomis (kartais hiperbolinėmis Beselio funkcijomis):

I_\alpha(x) = i^{-\alpha} J_\alpha(ix) \!
K_\alpha(x) = \frac{\pi}{2} \frac{I_{-\alpha} (x) - I_\alpha (x)}{\sin (\alpha \pi)} = \frac{\pi}{2} i^{\alpha+1} H_\alpha^{(1)}(ix) \!

Šios funkcijos įgyja realias vertes realioms argumento x vertėms. Funkcijos Iα(x) skleidinys eilute todėl yra panašus į funkcijos Jα(x) skleidimą eilute, bet be besikeičiančio (−1)m daugiklio.

Iα(x) ir Kα(x) yra nepriklausomų funkcijų pora, atitinkanti modifikuotą Beselio diferencialinę lygtį:

x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} - (x^2 + \alpha^2)y = 0.

Skirtingai nuo paprastų Beselio funkcijų, kurios yra osciliuojančios funkcijos, Iα ir Kα yra eksponentiškai augančios ir slopstančios funkcijos, atitinkamai. Kaip ir paprastoji Beselio funkcija Jα, funkcija Iα artėja prie nulio, kai x = 0 ir α > 0, bei yra baigtinė, kai x = 0 ir α = 0. Analogiškai, Kα diverguoja ties x = 0.

Pirmos rūšies modifikuotų Beselio funkcijų Iα(x) grafikai sveikoms eilėms α=0,1,2,3.
Antros rūšies modifikuotų Beselio funkcijų Kα(x) grafikai sveikoms eilėms α=0,1,2,3.

Sferinės Beselio funkcijos : j n, y n[taisyti | redaguoti kodą]

Pirmos rūšies sferinės Beselio funkcijos, jn(x), kai n = 0, 1, 2
Antros rūšies sferinės Beselio funkcijos, yn(x), kai n = 0, 1, 2

Sprendžiant bangų lygtį sferinėse koordinatėse kintamųjų atskyrimo metodu, radialinę priklausomybę aprašanti lygtis yra:

x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + 2x \frac{dy}{dx} + [x^2 - n(n+1)]y = 0.

Du tiesiškai nepriklausomi šios lygties sprendiniai yra vadinami sferinėmis Beselio funkcijomis jn ir yn, jos siejasi su paprastomis BEselio funkcijomis Jn ir Yn sąryšiu:

j_{n}(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{n+1/2}(x),
y_{n}(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} Y_{n+1/2}(x) = (-1)^{n+1} \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{-n-1/2}(x).

<math>y_n taip pat žymima n_n arba ηn; kai kurie autoriai vadina šias funkcijas sferinėmis Neumano funkcijomis.

Sferinės Beselio funkcijos gali būti užrašomos:

j_n(x) = (-x)^n \left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)^n\,\frac{\sin x}{x} ,
y_n(x) = -(-x)^n \left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)^n\,\frac{\cos x}{x}.

Pirmoji sferinė Beselio funkcija j_0(x) yra taip pat žinoma kaip nenormuota sinc funkcija. Kelios pirmosios sferinės Beselio funkcijos yra:

j_0(x)=\frac{\sin x} {x}
j_1(x)=\frac{\sin x} {x^2}- \frac{\cos x} {x}
j_2(x)=\left(\frac{3} {x^2} - 1 \right)\frac{\sin x}{x} - \frac{3\cos x} {x^2},

ir

y_0(x)=-j_{-1}(x)=-\,\frac{\cos x} {x}
y_1(x)=j_{-2}(x)=-\,\frac{\cos x} {x^2}- \frac{\sin x} {x}
y_2(x)=-j_{-3}(x)=\left(-\,\frac{3}{x^2}+1 \right)\frac{\cos x}{x}- \frac{3 \sin x} {x^2}.

Taip pat egzistuoja sferiniai Hankelio funkcijų analogai:

h_n^{(1)}(x) = j_n(x) + i y_n(x)
h_n^{(2)}(x) = j_n(x) - i y_n(x).

Egzistuoja paprasti glausti sąryšiai tarp pusinės eilės Beselio funkcijų ir trigonometrinių funkcijų, dėl šios priežasties tokie pat sąryšiai egzistuoja ir tarp pusinės eilės Beselio funkcijų ir sveikos eilės sferinių Beselio funkcijų. Teigiamiems sveikiems skaičiams n galioja:

h_n^{(1)}(x) = (-i)^{n+1} \frac{e^{ix}}{x} \sum_{m=0}^n \frac{i^m}{m!(2x)^m} \frac{(n+m)!}{(n-m)!}

ir h_n^{(2)} yra kompleksiškai jungtinis dydis (realioms x vertėms). Iš čia seka, kaip pavyzdys, kad j_0(x) = \sin(x)/x ir y_0(x) = -\cos(x)/x, ir t. t.

Asimptotika[taisyti | redaguoti kodą]

Beselio funkcijos turi sekančią asimptotines formas neneigiamiems α. Mažoms argumento vertėms 0 < x \ll \sqrt{\alpha + 1}, gauname:

J_\alpha(x) \rightarrow \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)} \left( \frac{x}{2} \right) ^\alpha
Y_\alpha(x) \rightarrow  \left\{ \begin{matrix}
  \frac{2}{\pi} \left[ \ln (x/2) + \gamma \right]  & \mbox{if } \alpha=0 \\ \\
  -\frac{\Gamma(\alpha)}{\pi} \left( \frac{2}{x} \right) ^\alpha & \mbox{if } \alpha > 0 
\end{matrix} \right.

kur \gamma yra Oilerio-Mašeronio konstanta (0.5772…), o \Gamma pažymi gama funkciją. Dideliems argumentams x \gg |\alpha^2 - 1/4|, funkcijos tampa:

J_\alpha(x) \rightarrow \sqrt{\frac{2}{\pi x}} 
        \cos \left( x-\frac{\alpha\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right)
Y_\alpha(x) \rightarrow \sqrt{\frac{2}{\pi x}} 
        \sin \left( x-\frac{\alpha\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right).

(Kai α=1/2 šios formulės yra tikslios; žr. sferinių Beselio funkcijų skyrelį.) Asimptotinės formos kitiems Beselio funkcijų tipams seka tiesiai iš aukščiau užrašytų sąryšių. Pavyzdžiui, dideliems x \gg |\alpha^2 - 1/4|, modifikuotos Beselio funkcijos užsirašo:

I_\alpha(x) \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2\pi x}} e^x,
K_\alpha(x) \rightarrow \sqrt{\frac{\pi}{2x}} e^{-x}.

kuomet mažoms argumento vertėms 0 < x \ll \sqrt{\alpha + 1}, jos tampa:

I_\alpha(x) \rightarrow \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)} \left( \frac{x}{2} \right) ^\alpha
K_\alpha(x) \rightarrow  \left\{ \begin{matrix}
  - \ln (x/2) - \gamma   & \mbox{if } \alpha=0 \\ \\
  \frac{\Gamma(\alpha)}{2} \left( \frac{2}{x} \right) ^\alpha & \mbox{if } \alpha > 0. 
\end{matrix} \right.

Taip pat skaitykite[taisyti | redaguoti kodą]