Lagero polinomas

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Peršokti į: navigaciją, paiešką
Pirmi šeši Lagero polinomai.

Lagero polinomas (arba Lagero polinomai), pavadintas matematiko Edmondo Lagero (Edmond Laguerre) garbei, yra kanoninis antros eilės tiesinės diferencialinės Lagero lygties:


x\,y'' + (1 - x)\,y' + n\,y = 0\,

sprendinys.

Ši lygtis turi nesinguliarius sprendinius tik tuomet, kai parametras n yra teigiamas arba lygus nuliui sveikas skaičius.

Šie polinomai dažniausiai yra žymimi L_0, L_1, \dots bei sudaro polinomų seka, kurios narius galime apibrėžti kaip


L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x} x^n\right).

Jie priklauso ortogonalių polinomų šeimai, jų vidinė (skaliarinė) sandauga yra apibrėžiama

\langle f,g \rangle = \int_0^\infty f(x) g(x) e^{-x}\,dx.

Lagero polinomai yra svarbūs kvantinėje mechanikoje, kur jie aprašo radialinę Šredingerio lygties sprendinio vienaelektroniam atomui dalį.

Fizikoje Lagero polinomai yra normuojami kitaip negu matematikoje, todėl jie skiriasi nuo apibrėžtų čia per daugiklį \, (n!) (n faktorialas).

Keli pirmi polinomai[taisyti | redaguoti kodą]

Žemiau pateiktos kelių pirmų Lagero polinomų matematinės išraiškos:

n L_n(x)\,
0 1\,
1 -x+1\,
2 {\scriptstyle\frac{1}{2}} (x^2-4x+2) \,
3 {\scriptstyle\frac{1}{6}} (-x^3+9x^2-18x+6) \,
4 {\scriptstyle\frac{1}{24}} (x^4-16x^3+72x^2-96x+24) \,
5 {\scriptstyle\frac{1}{120}} (-x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120) \,
6 {\scriptstyle\frac{1}{720}} (x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720) \,

Taip pat skaitykite[taisyti | redaguoti kodą]