Asimptotė

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Peršokti į: navigaciją, paiešką
f(x)=\tfrac{1}{x} - hiperbolė. x ir y ašys yra asimptotės.

Asimptotė - tiesė vadinama kreivės y=f(x) asimptote, jei kreivės taško M atstumas iki tiesės, judant taškui M kuria nors kreivės šaka į begalybę, artėja prie nulio.

1) Jei \lim_{ x \to a+0 (a-0)} f(x) lygi +\infty ar -\infty, tai x=a - vertikalioji asimptotė.

2) Jei \lim_{ x \to +\infty (-\infty)} f(x)=A, tai tiesė y=A - horizontalioji asimptotė.

3) Jei \lim_{ x \to +\infty (-\infty)} \frac{f(x)}{x}=k(\not= 0), \lim_{ x \to +\infty (-\infty)} [f(x)-kx]=b, tai tiesė y=kx+b - pasviroji asimptotė.

Pavyzdžiai[taisyti | redaguoti kodą]

Funkcija gali vienu metu turėti vertikalias, horizontalias ir pasvirąsias asimptotes, pvz., y=x^{|x|/x}+1/x.
Kreivė gali kirsti savo asimptotę be galo daug kartų.
  • Rasime kreivės y=\frac{x^2+1}{x} asimptotes.

Funkcija \frac{x^2+1}{x} neapibrėžta tik kai x=0, \lim_{ x \to 0 }\frac{x^2+1}{x}=\infty, taigi jos grafikas turi vertikaliąją asimptotę x=0. Ieškosime pasvirųjų ir horizontaliųjų asimptočių. Kadangi

\lim_{ x \to \infty }\frac{f(x)}{x}=\lim_{ x \to \infty } \frac{x^2+1}{x^2}=1(=k\not=0)

tai horizontalių asimptočių nėra. Kadangi

\lim_{ x \to \infty } [f(x)-kx]=\lim_{x\to\infty}(\frac{x^2+1}{x}-x)=0= b,

tai tiesė y=x yra pasviroji asimptotė abiem kreivės šakoms ir kai x \rightarrow +\infty, ir kai x \rightarrow -\infty.

  • Rasime kreivės y=\frac{x^3}{1-x^2} asimptotes.

Kreivė turi dvi vertikaliasias asimptotes x=\pm 1, kadangi

\lim_{ x \to \pm 1 }\frac{x^3}{1-x^2}=\infty.

Kadangi

\lim_{ x \to \pm\infty }\frac{f(x)}{x}=\lim_{ x \to \pm\infty } \frac{x^3}{x(1-x^2)}=-1(=k),
\lim_{ x \to \pm\infty } [f(x)-kx]=\lim_{x\to\pm\infty}(\frac{x^3}{1-x^2}+x)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x}{1-x^2}=0(= b),

tai tiesė y=-x yra pasviroji asimptotė.


  • Raskime funkcijos y=\frac{-x^2-3x+2}{x+7} asimptotes.

Vertikalioji asimptotė - tiesė x=-7, nes \lim_{x\to -7\pm 0} y=\pm\infty.

Apskaičiuosime koeficientus:

k=\lim_{x\to \pm\infty}\frac{-x^2-3x+2}{(x+7)\cdot x}=\lim_{x\to \pm\infty}\frac{x^2(-x^2/x^2-3x/x^2+2/x^2)}{x^2(x^2/x^2+7x/x^2)}=\frac{-1-0+0}{1+0}=-1,

b=\lim_{x\to\pm\infty}(\frac{-x^2-3x+2}{x+7}-(-1)\cdot x)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{4x+2}{x+7}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x(4x/x+2/x)}{x(x/x+7/x)}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{4+2/x}{1+7/x}=4. Todėl pasvirosios asimptotės lygtis tokia: y=-x+4.


  • Raskime kreivės y=\frac{5x}{x-3} asimptotes.

Kadangi \lim_{x\to 3}\frac{5x}{x-3}=\infty, tai tiesė x=3 yra vertikalioji asimptotė. Kadangi \lim_{x\to \infty}\frac{5x}{x-3}=5, tai tiesė y=5 yra horizontalioji asimptotė. Kadangi \lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to \infty}\frac{5}{x-3}=0, tai pasvirųjų asimptočių nėra.


  • Rasime kreivės y=\frac{x^2-6x+3}{x-3} asimptotes.

Kadangi \lim_{x\to 3}\frac{x^2-6x+3}{x-3}=\infty, tai x=3 yra vertikalioji asimptotė. Kadangi \lim_{x\to \infty}\frac{x^2-6x+3}{x-3}=\infty, tai horizontaliųjų asimptočių nėra. Raskime pasvirosios asimptotės koeficientus k ir b:

k=\lim_{x\to \infty}\frac{x^2-6x+3}{x(x-3)}=1,
b=\lim_{x\to \infty}\frac{x^2-6x+3}{x-3}-x=\lim_{x\to \infty}\frac{x^2-6x+3-x^2+3x}{x-3}=\lim_{x\to \infty}\frac{-3x+3}{x-3}=-3.

Pasviroji asimptotė yra y=x-3.


  • Raskime funkcijos y=\frac{2x^3}{x^2-4} asimptotes.

Tiesės x=\pm 2 yra vertikaliosios asimptotės, nes

\lim_{x\to \pm 2}\frac{2x^3}{x^2-4}=\infty.

Kadangi \lim_{x\to \infty}\frac{2x^3}{x^2-4}=\infty, tai horizontaliųjų asimptočių nėra. Kadangi

k=\lim_{x\to \pm \infty}\frac{y}{x}=\lim_{x\to \pm \infty}\frac{2x^2}{x^2-4}=2, \qquad b=\lim_{x\to \pm \infty}(y-2x)=\lim_{x\to \pm \infty}\frac{8x}{x^2-4}=0,

tai tiesė y=2x yra pasviroji asimptotė.


  • Rasime kreivės y=\frac{x^3}{2(x+1)^2} asimptotes.

Kadangi \lim_{x\to-1\pm 0}y=-\infty, tai tiesė x=-1 yra vertikalioji asimptotė. Kadangi \lim_{x\to\pm\infty}y=\pm\infty, tai horizontaliųjų asimptočių nėra.

k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^2}{2(x+1)^2}=\frac{1}{2},
b=\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-kx]=\lim_{x\to\pm\infty}[\frac{x^3}{2(x+1)^2}-\frac{1}{2}x]=\frac{1}{2}\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^3-x(x^2+2x+1)}{(x+1)^2}=
=\frac{1}{2}\lim_{x\to\pm\infty}\frac{-2x^2-x}{(x+1)^2}=-1.

Vadinasi, kreivė turi pasvirąją asimptotę y=\frac{1}{2}x-1.


  • Raskime kreivės y=\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}} asimptotes.

\lim_{x\to\pm 1\pm 0}f(x)=\infty, todėl tiesės x=-1 ir x=1 yra vertikaliosios asimptotės. Kadangi

k=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=1,
b=\lim_{x\to+\infty}[f(x)-kx]=\lim_{x\to+\infty}(\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}-x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{x(x-\sqrt{x^2-1})}{\sqrt{x^2-1}}=
=\lim_{x\to+\infty}\frac{x(x^2-(x^2-1))}{\sqrt{x^2-1}(x+\sqrt{x^2-1})}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{x^2-1}(1+\sqrt{1-1/x^2})}=0,

tai tiesė y=x yra pasviroji asimptotė. Be to

k=\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=-1;
b=\lim_{x\to-\infty}[f(x)-kx]=\lim_{x\to-\infty}(\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}-(-1)\cdot x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{x(x+\sqrt{x^2-1})}{\sqrt{x^2-1}}=
=\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2-1}(x-\sqrt{x^2-1})}=\lim_{x\to-\infty}\frac{-|x|}{\sqrt{x^2-1}(-|x|-\sqrt{x^2-1})}=

=\lim_{x\to-\infty}\frac{|x|}{\sqrt{x^2-1}(|x|+\sqrt{x^2-1})}=\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{\sqrt{x^2/x^2-1/x^2}(|x|+\sqrt{x^2-1})}=0, todėl ir tiesė y=-x yra pasviroji asimptotė.