Asimptotė

$f(x)=\tfrac{1}{x}$ - hiperbolė. x ir y ašys yra asimptotės.

Asimptotė - tiesė vadinama kreivės y=f(x) asimptote, jei kreivės taško M atstumas iki tiesės, judant taškui M kuria nors kreivės šaka į begalybę, artėja prie nulio.

1) Jei $\lim_{ x \to a+0 (a-0)} f(x)$ lygi $+\infty$ ar $-\infty$, tai x=a - vertikalioji asimptotė.

2) Jei $\lim_{ x \to +\infty (-\infty)} f(x)=A,$ tai tiesė y=A - horizontalioji asimptotė.

3) Jei $\lim_{ x \to +\infty (-\infty)} \frac{f(x)}{x}=k(\not= 0)$, $\lim_{ x \to +\infty (-\infty)} [f(x)-kx]=b,$ tai tiesė y=kx+b - pasviroji asimptotė.

Pavyzdžiai

Funkcija gali vienu metu turėti vertikalias, horizontalias ir pasvirąsias asimptotes, pvz., $y=x^{|x|/x}+1/x.$

Kreivė gali kirsti savo asimptotę be galo daug kartų.

• Rasime kreivės $y=\frac{x^2+1}{x}$ asimptotes.

Funkcija $\frac{x^2+1}{x}$ neapibrėžta tik kai x=0, $\lim_{ x \to 0 }\frac{x^2+1}{x}=\infty,$ taigi jos grafikas turi vertikaliąją asimptotę x=0. Ieškosime pasvirųjų ir horizontaliųjų asimptočių. Kadangi

$\lim_{ x \to \infty }\frac{f(x)}{x}=\lim_{ x \to \infty } \frac{x^2+1}{x^2}=1(=k\not=0)$

tai horizontalių asimptočių nėra. Kadangi

$\lim_{ x \to \infty } [f(x)-kx]=\lim_{x\to\infty}(\frac{x^2+1}{x}-x)=0= b,$

tai tiesė y=x yra pasviroji asimptotė abiem kreivės šakoms ir kai $x \rightarrow +\infty,$ ir kai $x \rightarrow -\infty.$

• Rasime kreivės $y=\frac{x^3}{1-x^2}$ asimptotes.

Kreivė turi dvi vertikaliasias asimptotes $x=\pm 1$, kadangi

$\lim_{ x \to \pm 1 }\frac{x^3}{1-x^2}=\infty.$

Kadangi

$\lim_{ x \to \pm\infty }\frac{f(x)}{x}=\lim_{ x \to \pm\infty } \frac{x^3}{x(1-x^2)}=-1(=k),$

$\lim_{ x \to \pm\infty } [f(x)-kx]=\lim_{x\to\pm\infty}(\frac{x^3}{1-x^2}+x)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x}{1-x^2}=0(= b),$

tai tiesė y=-x yra pasviroji asimptotė.

• Raskime funkcijos $y=\frac{-x^2-3x+2}{x+7}$ asimptotes.

Vertikalioji asimptotė - tiesė x=-7, nes $\lim_{x\to -7\pm 0} y=\pm\infty.$

Apskaičiuosime koeficientus:

$k=\lim_{x\to \pm\infty}\frac{-x^2-3x+2}{(x+7)\cdot x}=\lim_{x\to \pm\infty}\frac{x^2(-x^2/x^2-3x/x^2+2/x^2)}{x^2(x^2/x^2+7x/x^2)}=\frac{-1-0+0}{1+0}=-1,$

$b=\lim_{x\to\pm\infty}(\frac{-x^2-3x+2}{x+7}-(-1)\cdot x)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{4x+2}{x+7}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x(4x/x+2/x)}{x(x/x+7/x)}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{4+2/x}{1+7/x}=4.$ Todėl pasvirosios asimptotės lygtis tokia: $y=-x+4.$

• Raskime kreivės $y=\frac{5x}{x-3}$ asimptotes.

Kadangi $\lim_{x\to 3}\frac{5x}{x-3}=\infty,$ tai tiesė x=3 yra vertikalioji asimptotė. Kadangi $\lim_{x\to \infty}\frac{5x}{x-3}=5,$ tai tiesė y=5 yra horizontalioji asimptotė. Kadangi $\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to \infty}\frac{5}{x-3}=0,$ tai pasvirųjų asimptočių nėra.

• Rasime kreivės $y=\frac{x^2-6x+3}{x-3}$ asimptotes.

Kadangi $\lim_{x\to 3}\frac{x^2-6x+3}{x-3}=\infty,$ tai x=3 yra vertikalioji asimptotė. Kadangi $\lim_{x\to \infty}\frac{x^2-6x+3}{x-3}=\infty,$ tai horizontaliųjų asimptočių nėra. Raskime pasvirosios asimptotės koeficientus k ir b:

$k=\lim_{x\to \infty}\frac{x^2-6x+3}{x(x-3)}=1,$

$b=\lim_{x\to \infty}\frac{x^2-6x+3}{x-3}-x=\lim_{x\to \infty}\frac{x^2-6x+3-x^2+3x}{x-3}=\lim_{x\to \infty}\frac{-3x+3}{x-3}=-3.$

Pasviroji asimptotė yra $y=x-3.$

• Raskime funkcijos $y=\frac{2x^3}{x^2-4}$ asimptotes.

Tiesės $x=\pm 2$ yra vertikaliosios asimptotės, nes

$\lim_{x\to \pm 2}\frac{2x^3}{x^2-4}=\infty.$

Kadangi $\lim_{x\to \infty}\frac{2x^3}{x^2-4}=\infty,$ tai horizontaliųjų asimptočių nėra. Kadangi

$k=\lim_{x\to \pm \infty}\frac{y}{x}=\lim_{x\to \pm \infty}\frac{2x^2}{x^2-4}=2, \qquad b=\lim_{x\to \pm \infty}(y-2x)=\lim_{x\to \pm \infty}\frac{8x}{x^2-4}=0,$

tai tiesė $y=2x$ yra pasviroji asimptotė.

• Rasime kreivės $y=\frac{x^3}{2(x+1)^2}$ asimptotes.

Kadangi $\lim_{x\to-1\pm 0}y=-\infty,$ tai tiesė $x=-1$ yra vertikalioji asimptotė. Kadangi $\lim_{x\to\pm\infty}y=\pm\infty,$ tai horizontaliųjų asimptočių nėra.

$k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^2}{2(x+1)^2}=\frac{1}{2},$

$b=\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-kx]=\lim_{x\to\pm\infty}[\frac{x^3}{2(x+1)^2}-\frac{1}{2}x]=\frac{1}{2}\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^3-x(x^2+2x+1)}{(x+1)^2}=$

$=\frac{1}{2}\lim_{x\to\pm\infty}\frac{-2x^2-x}{(x+1)^2}=-1.$

Vadinasi, kreivė turi pasvirąją asimptotę $y=\frac{1}{2}x-1.$

• Raskime kreivės $y=\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}$ asimptotes.

$\lim_{x\to\pm 1\pm 0}f(x)=\infty,$ todėl tiesės $x=-1$ ir $x=1$ yra vertikaliosios asimptotės. Kadangi

$k=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=1,$

$b=\lim_{x\to+\infty}[f(x)-kx]=\lim_{x\to+\infty}(\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}-x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{x(x-\sqrt{x^2-1})}{\sqrt{x^2-1}}=$

$=\lim_{x\to+\infty}\frac{x(x^2-(x^2-1))}{\sqrt{x^2-1}(x+\sqrt{x^2-1})}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{x^2-1}(1+\sqrt{1-1/x^2})}=0,$

tai tiesė $y=x$ yra pasviroji asimptotė. Be to

$k=\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=-1;$

$b=\lim_{x\to-\infty}[f(x)-kx]=\lim_{x\to-\infty}(\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}-(-1)\cdot x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{x(x+\sqrt{x^2-1})}{\sqrt{x^2-1}}=$

$=\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2-1}(x-\sqrt{x^2-1})}=\lim_{x\to-\infty}\frac{-|x|}{\sqrt{x^2-1}(-|x|-\sqrt{x^2-1})}=$

$=\lim_{x\to-\infty}\frac{|x|}{\sqrt{x^2-1}(|x|+\sqrt{x^2-1})}=\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{\sqrt{x^2/x^2-1/x^2}(|x|+\sqrt{x^2-1})}=0,$ todėl ir tiesė $y=-x$ yra pasviroji asimptotė.