Faktorialas

Natūraliojo skaičiaus n faktorialu vadinama visų natūraliųjų skaičių nuo 1 iki n sandauga:

n! = 1 · 2 · 3 · … · n

Sutarta, kad skaičiaus 0 faktorialas lygus 1 (0! = 1).

Formaliai faktorialo funkciją galima apibrėžti taip:

$n! = \left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{jei }n\mbox{=0} \\ n \cdot (n-1)!, & \mbox{jei }n\ge\mbox{1} \end{matrix}\right.$

Apytiksliai suskaičiuoti didelių skaičių faktorialą galima naudojant Stirlingo formulę.

Pavyzdžiai

Pirmųjų dešimties natūraliųjų skaičių faktorialų reikšmės:

Faktorialas	Reikšmė
1!	1
2!	2
3!	6
4!	24
5!	120
6!	720
7!	5040
8!	40320
9!	362880
10!	3628800

Gama funkcija

Gama funkcijos reikšmės išilgai realiosios ašies.

Faktorialo funkcija gali būti apibrėžta ir ne sveikiesiems skaičiams. Tokia funkcija yra vadinama gama funkcija ir yra žymima $\Gamma(z)$, kai z nėra 0 arba sveikas neigiamas skaičius

$\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty} t^{z-1} e^{-t}\, \mathrm{d}t. \!$

Pirmasis tokį pažymėjimą įvedė Andre-Mari Ležandras. Pirminis Eulerio gama funkcijos apibrėžimas buvo:

$\Gamma(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n^zn!}{\prod_{k=0}^n(z+k)}. \!$

Gama funkcija kaip ir faktorialas tenkina tokius pat rekursyvinius sąryšius:

$n!=n(n-1)! \,$

$\Gamma(n+1)=n\Gamma(n) \,$

Kartu su $\Gamma(1)=1$:

$\Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-t} dt = \lim_{k \rightarrow \infty} -e^{-t} |_0^k = -0 - (-1) = 1$,

gama funkcija yra taip susijusi su faktorialu:

$\Gamma(n+1) = n \, \Gamma(n) = \cdots = n! \, \Gamma(1) = n!\,$

Taip pat

$\left (\frac{1}{2}\right )! = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$

ir bet kokį pusinį faktorialą galime užrašyti taip:

$\left (n+\frac{1}{2}\right )!=\sqrt{\pi}\times \prod_{k=0}^n {2k + 1 \over 2}.$

Pavyzdžiui,

$3.5! = \sqrt{\pi} \cdot {1\over 2}\cdot{3\over2}\cdot{5\over2}\cdot{7\over2} \approx 11.63.$

Faktiškai gama funkcija yra apibrėžta visiems kompleksiniams skaičiams, išskyrus nulį ir neigiamus sveikus skaičius.

Gama funkcijos taikymai

• n - matės hipersferos tūris gali būti apskaičiuotas pasinaudojant gama funkcija:

$V_n={\pi^{n/2}R^n\over \Gamma((n/2)+1)}.$

Nuorodos

• http://factorielle.free.fr

Vikižodynas