Diferencialinė lygtis

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.

Diferencialinės lygties y'=y kai kurių sprendinių grafikai Dekarto koordinačių sistemoje (raudonos kreivės)

Diferencialinė lygtis – lygtis, kuri sieja nežinomą funkciją, jos išvestines vieno ar keleto nepriklausomų kintamųjų atžvilgiu, ir šiuos nepriklausomus kintamuosius.

Diferencialinė lygtis vadinama paprastąja, jei ieškoma funkcija yra vieno kintamojo funkcija. Jei diferencialinė lygtis sieja kelių kintamųjų funkciją ir jos dalines išvestines, ji vadinama diferencialine lygtimi dalinėmis išvestinėmis.

[taisyti] Modeliavimas diferencialinėmis lygtimis

Dažnai diferencialinėmis lygtimis ir jų sistemomis aprašomi įvairūs fizikiniai, cheminiai, ekonominiai ir kitokie reiškiniai. Pavyzdžiui, kūnai vėsta pagal Niutono kūnų vėsimo dėsnį

$\frac{\mbox{d}T}{\mbox{d}t}=-k\left(T-T_a\right)$ ,

kuris reiškia, kad kūno vėsimo greitis bet kurią akimirką tiesiogiai proporcingas kūno ir aplinkos temperatūrų skirtumui $T-T_a\;$ . Šios diferencialinės lygties sprendinys bus funkcija, rodanti, kaip kūno temperatūra keičiasi bėgant laikui:

$T=C\mbox{e}^{-kt}+T_a\;$

Konstantos $C\;$ ir $k\;$ randamos iš vadinamųjų pradinių sąlygų – kokia buvo kūno temperatūra dviem skirtingomis akimirkomis.

Pastebėtina, kad visada, kai kurio nors dydžio kitimo greitis bet kurią akimirką tiesiogiai proporcingas to dydžio vertei, to dydžio kitimą bėgant laikui nusakanti funkcija visada bus eksponentinė.