Teiloro eilutė

Teiloro polinomo laipsniui didėjant, jis tampa artimesnis aproksimuojamai funkcijai. Ši iliustracija parodo $\sin x$ ir Teiloro aproksimacijos grafiką. Teiloro polinomo laipsniai atitinkamai 1, 3, 5, 7, 9, 11 ir 13.

Teiloro eilutė – 1712 m. B. Teiloro aprašyta formulė, pagal kurią polinomu galima aproksimuoti bet kurią tolydžią, realaus ar kompleksinio skaičiaus a aplinkoje be galo diferencijuojamą funkciją.

Formulė:

$f(x) \approx \sum_{n=0}^{N} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n} + R_N$, kai x pakankamai artimas a.

Čia n! yra n faktorialas, o $f^{(n)}(a)$ žymi n - tąją funkcijos f išvestinę taške a.

Kai $a = 0$, eilutė kartais vadinama Makloreno eilute (pagal škotų matematiką Koliną Makloreną).

Bendruoju atveju, Teiloro eilutės nebūtinai konverguoja į funkcijos reikšmę tame taške.

Eksponentė:

$\mathrm{e}^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} +{x^4\over 4!}+ \cdots +{x^n\over n!}\text{ su visais } x\!$.

Pavyzdžiui: $e^3=2,718281828^3= 20,08553692,$

$\mathrm{e}^3= \sum^{8}_{n=0} \frac{3^n}{n!} = 1 + 3 + \frac{3^2}{2\cdot 1} + \frac{3^3}{3\cdot 2\cdot 1} +{3^4\over 4\cdot 3\cdot 2}+{3^5\over 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}+{3^6\over 6!}+{3^7\over 7!}+{3^8\over 8!}=$

$= 1+3+4,5+4,5+3,375+2,025+1,0125+0,433928571+0,162723214= 20,00915179.$

Natūrinis logaritmas:

$\ln(1-x) = -\sum^{\infin}_{n=1} \frac{x^n}{n}=-({x^1\over 1}+{x^2\over 2}+{x^3\over 3}+{x^4\over 4}+...+{x^n\over n}) \text{ su } -1\le x<1$

Pavyzdžiui: $\ln(1-0,8)=-1,609437912;$

$\ln(1-0,8)=-0,8-{0,8^2\over 2\cdot 1}-{0,8^3\over 3\cdot 2}-{0,8^4\over 4\cdot 3\cdot 2}-{0,8^5\over 5!}-{0,8^6\over 6!}-{0,8^7\over 7!}=$

$=-0,8-0,32-0,0853(3)-0,01706(6)-0,002730666-0,000364088-0,00004161=-1,225536363.$

$\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} (-1)^{n+1}\frac{x^n}n=x-{x^2\over 2!}+{x^3\over 3!}-{x^4\over 4!}+{x^5\over 5!}...\text{ su } -1<x\le 1$

Pavyzdžiui: $\ln(1+1)=0,69314718;$

$\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} (-1)^{n+1}\frac{x^n}n=1-{1^2\over 2!}+{1^3\over 3!}-{1^4\over 4!}+{1^5\over 5!}-{1\over 6!}+{1\over 7!}-{1\over 8!}+{1\over 9!}=$

$=1-0.5+0.16(6)-0.0416(6)+0.0083(3)-0.00138(8)+0.000198412-0.000024801+0.000002755=0.632120811.$

Kvadratinė šaknis:

$\sqrt{1+x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)n!^24^n}x^n \text{ for } |x|<1\!$

Trigonometrinės funkcijos (x čia reiškiamas radianais):

$\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\text{ su visais } x\!$

$\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\text{ su visais } x\!$

$\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots\text{ su } |x| < \frac{\pi}{2}\!$

kur Bn yra n - tasis Bernulio skaičius

Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos:

$\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\text{ su } |x| < 1\!$

$\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\text{ su } |x| \le 1\!$