Furjė analizė

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Peršokti į: navigaciją, paiešką

Furjė analizė yra matematikos metodas, kuris atsirado iš Furjė eilučių nagrinėjimo. Metodas leidžia įvairias funkcijas išreikšti per trigonometrinių funkcijų sumą. Furjė analizė yra pavadinta Joseph Fourier vardu. Šiandien Furjė analizė apima platų matematikos spektrą. Moksle ir inžinerijoje, procesas, kai funkcija yra skaldoma į paprastesnę dažnai vadinamas Furjė analize, kai operacija, kurios metu atstatoma funkcija yra žinoma kaip „Furjė sintezė“. Matematikoje terminas „Furjė analizė“ dažnai reiškia abiejų operacijų nagrinėjimą Skaidymo procesas dar yra vadinamas Furjė transformacija.

Pritaikymai[taisyti | redaguoti kodą]

Furjė analizė gali būti pritaikyta fizikoje, skaičių teorijoje, kombinatorikoje, signalų apdorojime, vaizdo gavime, tikimybių teorijoje, statistikoje, kriptografijoje, skaičių analizėje, akustikoje, okeanografijoje, optikoje, geometrijoje ir kitur.

Furjė analizės variantai[taisyti | redaguoti kodą]

(Tolydi) Furjė transformacija[taisyti | redaguoti kodą]

Pagrindinis straipsnis – Furjė transformacija.

Furjė transformacija vadinama funkcijos transformacija, kai gaunama jos dažnių funkcija. Viena funkcija yra paverčiama kita, ši operacija yra grįžtamoji. kai įvesties funkcijos domenas yra laikas (t), o išvesties domenas yra dažnis, funkcijos transformacija s(t) dažniu ƒ yra apibrėžiama kompleksiniu skaičiumi:

S(f) = \int_{-\infty}^{\infty} s(t) \cdot e^{- i 2\pi f t} dt.

Nustatant šį dydį visiems ƒ gaunama dažnio domeno funkcija. Tada s(t) gali būti vaizduojama kaip kompleksinių eksponenčių rekombinacija per visus galimus dažnius:

s(t) = \int_{-\infty}^{\infty} S(f) \cdot e^{i 2\pi f t} df,

tai yra atvirkštinės transformacijos formulė. Kompleksinis skaičius S(ƒ) išreiškia abu, amplitudę ir dažnio fazę ƒ.

Furjė eilutės[taisyti | redaguoti kodą]

Pagrindinis straipsnis – Furjė eilutė.

Furjė transformacija periodinei funkcijai sP(t), su periodu P, tampa Dirako šukų funkcija, moduliuojama kompleksinių koeficientų seka:

S[k] = \frac{1}{P}\int_{P} s_P(t)\cdot e^{-i 2\pi \frac{k}{P} t}\, dt     visiems sveikiesiems skaičiams k,

ir kur \scriptstyle \int_P  yra integralas per bet kokį P ilgio intervalą.

Atvirkštinė transformacija, žinoma kaip Furjė eilutės, yra sP(t) atvaizdavimas sumuojant potencialiai baigtinį harmoningai susijusių sinusoidžių skaičių arba kompleksinių eksponenčių funkcijas, kuri kiekviena yra su amplitude ir faze, nurodoma koeficinentų:

s_P(t)=\sum_{k=-\infty}^\infty S[k]\cdot e^{i 2\pi \frac{k}{P} t} \quad\stackrel{\mathcal{F}}{\Longleftrightarrow}\quad \sum_{k=-\infty}^{+\infty} S[k]\ \delta \left(f-\frac{k}{P}\right).

Diskretaus laiko Furjė transformacija (DLFT)[taisyti | redaguoti kodą]

Pagrindinis straipsnis – Diskretaus laiko Furjė transformacija.

DLFT yra laiko srities Furjė eilučių matematinis atitikmuo. Taigi konverguojanti periodinis sumavimas dažnių srityje gali būti vaizduojamas Furjė eilutėmis, kurių koeficientai yra susijusių tolydžių laiko funkcijų pavyzdžiai:

S_{1/T}(f)\ \stackrel{\text{def}}{=}\ \underbrace{\sum_{k=-\infty}^{\infty} S\left(f - \frac{k}{T}\right) \equiv \overbrace{\sum_{n=-\infty}^{\infty} s[n] \cdot e^{-i 2\pi f n T}}^{\text{Furjė eilutė (DLFT)}}}_{\text{Puasono sumavimo formulė}} = \mathcal{F} \left \{ \sum_{n=-\infty}^{\infty} s[n]\ \delta(t-nT)\right \},\,

kas yra žinoma kaip DLFT. Vadinasi, DLFT s[n] seka yra taip pat Furjė transformacija Dirako šukų funkcijai.

Furjė eilučių koeficientai apibrėžiami taip:

s[n]\ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ T \int_{1/T} S_{1/T}(f)\cdot e^{i 2\pi f nT} df = T \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} S(f)\cdot e^{i 2\pi f nT} df}_{\stackrel{\mathrm{def}}{=} \ s(nT)}\,

yra atvirkštinė transformacija. Su s[n] = T•s(nT), ši Furjė eilutė gali būti atpažinta kaip Puasono sumacijos formulė.