Furjė transformacija

Furjė transformacija – tam tikras tiesinis operatorius, transformuojantis funkcijas į dažnių dedamąsias, tai yra dažnių spektras. Pavyzdžiui, muzikinio akordo transformacija yra matematinis kiekvienos natos, kurios sudaro akordą, amplitudžių (ir fazių) pavaizdavimas. Bangos forma priklauso nuo laiko, tai vadinama laiko srities pavaizdavimu. Dažnio spektras yra dažnio funkcija ir tai vadinama dažnio srities pavaizdavimu. Kiekviena funkcijos vertė yra kompleksinis skaičius (kompleksinė amplitudė), kuri koduoja ir gylį ir fazės komponentę. Furjė transformacija apima ir transformavimo operaciją ir kompleksinės reikšmės funkcijas, kurias sukuria. Tai užrašoma:

$F(\omega )={\mathcal {F}}(f)(t)$.

Egzistuoja keletas Furjė transformacijos variantų:

$X_{1}(\omega )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ e^{-i\omega t}\,dt\ ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}X_{2}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}X_{3}\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)\,$

$X_{2}(\omega )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ e^{-i\omega t}\ dt\ ={\sqrt {2\pi }}\ X_{1}(\omega )=X_{3}\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)\,$

$X_{3}(f)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ e^{-i2\pi ft}\ dt\ ={\sqrt {2\pi }}\ X_{1}(2\pi f)=X_{2}(2\pi f)\,$

Čia $i$ – menamasis vienetas, o $\pi$ – pi. Jei $t$ reiškia laiką, tai $f$ – dažnį, o $\omega =2\pi f$ – kampinį dažnį.

Atitinkamai esama įvairių atvirkštinės Furjė transformacijos variantų:

$x(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }X_{1}(\omega )\ e^{i\omega t}\,d\omega \$

$x(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X_{2}(\omega )\ e^{i\omega t}\ d\omega \$

$x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }X_{3}(f)\ e^{i2\pi ft}\,df\$

Istorija

1821 m. prancūzų matematikas Furjė pareiškė, kad bet kuri funkcija, tiek tolydi, tiek netolydi, gali būti išplėsta į sinusų eilutę.