Aritmetinė progresija

Matematikoje aritmetinė progresija – tai tokia skaičių seka, kurios skirtumas tarp šalia esančių narių yra pastovus. Pavyzdžiui, seka 5, 7, 9, 11, 13, 15 … yra aritmetinė progresija, kurios skirtumas yra 2.

Jei pirmasis progresijos narys yra $a_{1}$, o skirtumas tarp šalia esančių narių lygus d, tai n-tąjį progresijos narį ($a_{n}$) galima apskačiuoti pagal formulę:

$\ a_{n}=a_{1}+(n-1)d,$

o bendruoju atveju pagal formulę:

$\ a_{n}=a_{m}+(n-m)d.$

čia dydis $d=a_{n+1}-a_{n}$ vadinamas aritmetinės progresijos skirtumu.

Aritmetinė progresija, turinti ribotą kiekį narių, vadinama baigtine aritmetine progresija. Tokios progresijos narių suma vadinama aritmetine skaičių eilute.

Aritmetinės funkcijos savybės priklauso nuo skirtumo d. Jei skirtumas yra

• Teigiamas, nariai didėja teigiamos begalybės link (didėjanti).
• Neigiamas, nariai didėja neigiamos begalybės link (mažėjanti).

Aritmetinės progresijos charakteringoji savybė - seka yra aritmetinė progresija tada ir tik tada, kai kiekvienas jos narys, išskyrus pirmąjį (ir paskutinįjį, kai progresija yra baigtinė), lygus gretimų narių aritmetiniam vidurkiui:

$\ a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}$

Suma

Baigtinės aritmetinės progresijos narių, esančių vienodu atstumu nuo jos galų, suma yra lygi kraštinių narių sumai:

$S_{n}={\frac {(a_{1}+a_{n})}{2}}n,$

kur n – sudedamų narių skaičius, o $a_{1}+a_{n}$ – pirmojo ir n-tojo narių suma.

Pavyzdžiui progresijos

$2+5+8+11+14$

suma randama:

$2+5+8+11+14={\frac {5(2+14)}{2}}={\frac {5\cdot 16}{2}}=40.$

Išvedimas

Tam, kad išvestume aukščiau pateiktą formulę, reikia parašyti progresijos sumą dviem skirtingais būdais:

$S_{n}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\cdots +(a_{1}+(n-2)d)+(a_{1}+(n-1)d)$

$S_{n}=(a_{n}-(n-1)d)+(a_{n}-(n-2)d)+\cdots +(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+a_{n}.$

Sudėjus abi puses gaunama lygybė:

$\ 2S_{n}=n(a_{1}+a_{n}).$

Abi puses padalijus iš 2, gaunama įprasta formulės išraiška:

$S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}.$

Kitas formulės variantas gaunamas į lygybę įstačius n-tojo nario formulę $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$:

$S_{n}={\frac {n(2a_{1}+(n-1)d)}{2}}.$

Skaičių eilutės vidurkio radimas per formulę $S_{n}/n$:

${\overline {n}}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}.$

499 m. pr. m. e. žymus matematikas ir astronomas Aryabhata iš klasikinės Indijos matematikos ir astronomijos eros šį metodą pateikė savo veikale Aryabhatiya (2.18 skyrius).

Taip pat skaitykite

• Geometrinė progresija