Aritmetinė progresija

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Peršokti į: navigacija, paiešką

Matematikoje aritmetinė progresija – tai tokia skaičių seka, kurios skirtumas tarp šalia esančių narių yra pastovus. Pavyzdžiui, seka 5, 7, 9, 11, 13, 15 … yra aritmetinė progresija, kurios skirtumas yra 2.

Jei pirmasis progresijos narys yra , o skirtumas tarp šalia esančių narių lygus d, tai n-tąjį progresijos narį () galima apskačiuoti pagal formulę:

o bendruoju atveju pagal formulę:

Aritmetinė progresija, turinti ribotą kiekį narių, kartais dar vadinama baigtine aritmetine progresija. Tokios progresijos narių suma vadinama aritmetine skaičių eilute.

Aritmetinės funkcijos savybės priklauso nuo skirtumo d. Jei skirtumas yra

  • Teigiamas, nariai didėja teigiamos begalybės link (didėjanti).
  • Neigiamas, nariai didėja neigiamos begalybės link (mažėjanti).

Suma[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Baigtinės aritmetinės progresijos narių suma yra vadinama skaičių eilute. Ši progresijos suma

gali būti lengvai apskaičiuojama pagal formulę

kur n – sudedamų narių skaičius, o  – pirmojo ir ntojo narių suma. Taigi pateiktos skaičių eilutės radimas:

Išvedimas[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Tam, kad išvestume aukščiau pateiktą formulę, reikia parašyti progresijos sumą dviem skirtingais būdais:

Sudėjus abi puses gaunama lygybė:

Abi puses padalijus iš 2, gaunama įprasta formulės išraiška:

Kitas formulės variantas gaunamas į lygybę įstačiusn-tojo nario formulę :

Skaičių eilutės vidurkio radimas per formulę :

499 m. pr. m. e. žymus matematikas ir astronomas Aryabhata iš klasikinės Indijos matematikos ir astronomijos eros šį metodą pateikė savo veikale Aryabhatiya (2.18 skyrius).