Geometrinė progresija

Geometrinė progresija – skaičių seka, kurioje kiekvienas narys pradedant antruoju gaunamas padauginus ankstesnįjį iš pastovaus skaičiaus (koeficiento, dar vadinamo geometrinės progresijos vardikliu), kuris nėra lygus nuliui.^[1]

Skirtingai nei aritmetinės progresijos, geometrinės progresijos augimas arba mažėjimas yra eksponentinis, o ne tiesinis.

Apibrėžimas

Skaičių seka $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ vadinama geometrine progresija, jei tam tikram skaičiui $q\neq 0\,$ tenkinama ši sąlyga:

\forall _{n\in \mathbb {N} }a_{n+1}=a_{n}\cdot {q}

Skaičius $q\,$ vadinamas geometrinės sekos vardikliu $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ .

Jeigu yra žinomas pirmasis progresijos narys a=a₁ ir vardiklis q, tada n-asis narys gali būti apskaičiuojamas pagal formulę:

a_{n}=a\,q^{n-1}.

Priklausomai nuo vardiklio reikšmės, sekos riba skiriasi:

Jei 0 < q < 1, seka artėja į 0
Jei q = 1, sekos riba yra a (visi sekos nariai yra lygūs)
Jei q > 1, seka artėja į begalybę
Jei 0 > q > −1, seka artėja į 0. Šiuo atveju yra du posekiai (teigiamų ir neigiamų narių), artėjantys į 0
Jei q = −1, egzistuoja du posekiai, kurių vieno riba a, kito −a
Jei q < −1, egzistuoja du posekiai, kurių vieno riba yra $\infty$ (begalybė), kito − $\infty$

Geometrinė progresija, kurios vardiklio modulis q yra mažesnis už vienetą vadinama nykstamąja geometrine progresija.^[2]

Pavyzdžiai

Seka $(1,3,9,27,81,243,\ldots )$ yra geometrinė seka su vardikliu $q=3,\,$
Seka $(1,-2,4,-8,16,-32,64,-128,\ldots )$ yra geometrinė seka su vardikliu $q=-2,\,$
Seka $(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},{\frac {1}{16}},{\frac {1}{32}},\ldots )$ yra geometrinė seka su vardikliu $q={\frac {1}{2}},\,$

Savybės

Geometrinės progresijos charakteringoji savybė – seka su teigiamaisiais nariais yra geometrinė progresija tada ir tik tada, kai bet kuris jos narys, išskyrus pirmąjį (ir paskutinįjį, kai progresija yra baigtinė), yra lygus gretimų narių geometriniam vidurkiui.^[3]

\ b_{n}^{2}=b_{n-1}\cdot b_{n+1}

Geometrinės progresijos narių suma

Geometrinės progresijos baigtinio n narių skaičiaus suma yra:

S_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}aq^{k}={\frac {a(1-q^{n})}{1-q}}

.

Begalinės mažėjančios geometrinės progresijos narių suma ( | q | < 1 ! ) yra:

S=\sum _{k=0}^{\infty }aq^{k}={\frac {a}{1-q}}

.

Istorija

Vienintelis žinomas geometrinės progresijos įrašas iš Babilono matematikos laikų yra įspaustas molio lentelėje, šios progresijos pagrindas – 3, o vardiklis 1/2.^[4]

Euklido Pradmenų (apie 300 m. pr. m. e.) VIII ir IX knygose yra analizuojamos geometrinės progresijos ir pateikiamos jų savybės.^[5]

Šaltiniai

↑ Geometrinė progresija. Visuotinė lietuvių enciklopedija (tikrinta 2023-02-07).
↑ Autorių kolektyvas. Matematika. Vadovėlis XI klasei ir gimnazijų III klasei II dalis. – Kaunas: Šviesa, 2004. – 104 p. ISBN 5-430-03784-2
↑ Vidmantas Pekarskas. Matematika: kurso kartojimo medžiaga. – Kaunas: Šviesa, 2004. – 99 p. ISBN 5-430-03932-2
↑ Friberg, Jöran (2007). „MS 3047: An Old Sumerian Metro-Mathematical Table Text“. In Friberg, Jöran (red.). A remarkable collection of Babylonian mathematical texts. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. New York: Springer. pp. 150–153. doi:10.1007/978-0-387-48977-3. ISBN 978-0-387-34543-7. MR 2333050.
↑ Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] leid.). New York: Dover Publications.

[1] Geometrinė progresija. Visuotinė lietuvių enciklopedija (tikrinta 2023-02-07).

[2] Autorių kolektyvas. Matematika. Vadovėlis XI klasei ir gimnazijų III klasei II dalis. – Kaunas: Šviesa, 2004. – 104 p. ISBN 5-430-03784-2

[3] Vidmantas Pekarskas. Matematika: kurso kartojimo medžiaga. – Kaunas: Šviesa, 2004. – 99 p. ISBN 5-430-03932-2

[4] Friberg, Jöran (2007). „MS 3047: An Old Sumerian Metro-Mathematical Table Text“. In Friberg, Jöran (red.). A remarkable collection of Babylonian mathematical texts. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. New York: Springer. pp. 150–153. doi:10.1007/978-0-387-48977-3. ISBN 978-0-387-34543-7. MR 2333050.

[5] Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] leid.). New York: Dover Publications.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]