Geometrinė progresija

Geometrinė progresija yra tokia skaičių seka, kurioje kiekvienas narys pradedant antruoju yra prieš jį einančio nario ir bendro sekos daugiklio sandauga. Tokia seka gali būti užrašyta:

$ar^{0}=a,ar^{1}=ar,ar^{2},ar^{3},...\,$

kur r ≠ 0 yra bendras daugiklis. Priklausomai nuo daugiklio reikšmės, sekos riba skiriasi:

• Jei 0 < r < 1, seka artėja į 0
• Jei r = 1, sekos riba yra a (visi sekos nariai yra lygūs)
• Jei r > 1, seka artėja į begalybę
• Jei 0 > r > −1, seka artėja į 0. Šiuo atveju yra du posekiai (teigiamų ir neigiamų narių), artėjantys į 0
• Jei r = −1, egzistuoja du posekiai, kurių vieno riba a, kito −a
• Jei r < −1, egzistuoja du posekiai, kurių vieno riba yra $\infty$ (begalybė), kito −$\infty$

Skirtingai nei aritmetinės progresijos, geometrinės progresijos augimas arba mažėjimas yra eksponentinis, o ne tiesinis.

Pavyzdžiai

Geometrinės progresijos pavyzdys, kai pradinis narys yra 1, o daugiklis yra 2:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, …

Kai pradinis narys yra 729, o daugiklis 2/3:

729 (1, 2/3, 4/9, 8/27, 16/81, 32/243, 64/729, ….) = 729, 486, 324, 216, 144, 96, 64, ….

Kai pradinis narys (koeficientas) yra 3, o daugiklis −1 :

3 (1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, ….) = 3, −3, 3, −3, 3, −3, 3, −3, 3, −3, ….

Geometrinės progresijos narių suma

Geometrinės progresijos baigtinio n narių skaičiaus suma yra:

$S_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}aq^{k}={\frac {a(1-q^{n})}{1-q}}$.

Begalinės mažėjančios geometrinės progresijos narių suma ( | q | < 1 ! ) yra:

$S=\sum _{k=0}^{\infty }aq^{k}={\frac {a}{1-q}}$.