Geometrinė progresija

Šiam straipsniui ar jo daliai trūksta išnašų į šaltinius. Jūs galite padėti Vikipedijai pridėdami tinkamas išnašas su šaltiniais.

Geometrinė progresija yra tokia skaičių seka, kurioje kiekvienas narys pradedant antruoju yra prieš jį einančio nario ir bendro sekos daugiklio sandauga. Tokia seka gali būti užrašyta:

$ar^{0}=a,ar^{1}=ar,ar^{2},ar^{3},...\,$

kur r ≠ 0 yra bendras daugiklis. Priklausomai nuo daugiklio reikšmės, sekos riba skiriasi:

• Jei 0 < r < 1, seka artėja į 0
• Jei r = 1, sekos riba yra a (visi sekos nariai yra lygūs)
• Jei r > 1, seka artėja į begalybę
• Jei 0 > r > −1, seka artėja į 0. Šiuo atveju yra du posekiai (teigiamų ir neigiamų narių), artėjantys į 0
• Jei r = −1, egzistuoja du posekiai, kurių vieno riba a, kito −a
• Jei r < −1, egzistuoja du posekiai, kurių vieno riba yra $\infty$ (begalybė), kito −$\infty$

Skirtingai nei aritmetinės progresijos, geometrinės progresijos augimas arba mažėjimas yra eksponentinis, o ne tiesinis.

Pavyzdžiai

Geometrinės progresijos pavyzdys, kai pradinis narys yra 1, o daugiklis yra 2:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, …

Kai pradinis narys yra 729, o daugiklis 2/3:

729 (1, 2/3, 4/9, 8/27, 16/81, 32/243, 64/729, ….) = 729, 486, 324, 216, 144, 96, 64, ….

Kai pradinis narys (koeficientas) yra 3, o daugiklis −1 :

3 (1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, ….) = 3, −3, 3, −3, 3, −3, 3, −3, 3, −3, ….

Geometrinės progresijos narių suma

Geometrinės progresijos baigtinio n narių skaičiaus suma yra:

$S_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}aq^{k}={\frac {a(1-q^{n})}{1-q}}$.

Begalinės mažėjančios geometrinės progresijos narių suma ( | q | < 1 ! ) yra:

$S=\sum _{k=0}^{\infty }aq^{k}={\frac {a}{1-q}}$.