Polinė koordinačių sistema

Taškai polinėje koordinačių sistemoje su poliumi O ir poline ašimi L. Žalia spalva pažymėtas taškas su spinduline koordinate 3 ir kampine koordinate 60 laipsnių, arba (3,60°). Mėlynai, taškas (4,210°).

Polinė koordinačių sistema yra dvimatė koordinačių sistema, kurioje kiekvienas taškas plokštumoje yra apibrėžiamas atstumu nuo nuo vieno nustatyto taško ir kampu su nustatyta kryptimi.

Nustatytas taškas yra vadinamas poliumi, o spindulys nuo poliaus iki nustatytos krypties yra vadinamas poline ašimi.

Perėjimas nuo polinių prie Dekarto koordinačių

Schema, rodanti ryšį tarp polinių ir Dekarto koordinačių.

Dvi polinės koordinatės r and θ gali būti transformuotos į Dekarto x ir y koordinates naudojant trigonometrines funkcijas – sinusą ir kosinusą:

$x=r\cos \theta \,$$x=r\cos \theta \,$

$y=r\sin \theta \,$$y=r\sin \theta \,$

Dekarto koordinatės x ir y gali būti transformuotos į polines r ir θ su r ≥ 0 ir θ intervale (−π, π]:

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\quad$$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\quad$

$\theta ={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{jei }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{jei }}x<0{\mbox{ ir }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{jei }}x<0{\mbox{ ir }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{jei }}x=0{\mbox{ ir }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{jei }}x=0{\mbox{ ir }}y<0\\0&{\mbox{jei }}x=0{\mbox{ ir }}y=0\end{cases}}$$\theta ={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{jei }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{jei }}x<0{\mbox{ ir }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{jei }}x<0{\mbox{ ir }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{jei }}x=0{\mbox{ ir }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{jei }}x=0{\mbox{ ir }}y<0\\0&{\mbox{jei }}x=0{\mbox{ ir }}y=0\end{cases}}$

Polinės kreivių lygtys

Apskritimas

Apskritimas su lygtimi r(θ) = 1

Bendroji lygtis apskritimui su centru taške (r₀, $\varphi$$\varphi$) ir spinduliu a yra

$r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\varphi )+r_{0}^{2}=a^{2}.\,$$r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\varphi )+r_{0}^{2}=a^{2}.\,$

„Rožė“

Polinė „rožė“, kurios lygtis yra r(θ) = 2 sin 4θ

„Rožė“ yra garsi matematinė kreivė, kuri atrodo, kaip gėlė su vainiklapiais ir gali būti išreikšta paprasta poline lygtimi,

$r(\theta )=a\cos(k\theta +\varphi _{0})\,$$r(\theta )=a\cos(k\theta +\varphi _{0})\,$

Archimedo spiralė

Archimedo spiralės lygtis: r(θ) = θ / 2π for 0 < θ < 6π

Archimedo spiralė yra garsi spiralė, kurią atrado Archimedas. Jos lygtis

$r(\theta )=a+b\theta .\,$$r(\theta )=a+b\theta .\,$

Kompleksiniai skaičiai

Kompleksinis skaičius z, nubrėžtas kompleksinėje plokštumoje.

Iliustracija, kaip atvaizduojamas kompleksinis skaičius naudojant Eulerio formulę.

Kiekvienas kompleksinis skaičius gali būti atvaizduojamas kaip taškas kompleksinėje plokštumoje. Jo įprastinės Dekarto koordinatės gali būti pakeistos polinėmis. Kompleksinio skaičiaus z stačiakampė forma:

$z=x+iy\,$$z=x+iy\,$

kur i yra menamasis vienetas arba gali būti užrašytas kitaip, polinėje formoje, naudojant tokį sąryšį

$z=r\cdot (\cos \theta +i\sin \theta )$$z=r\cdot (\cos \theta +i\sin \theta )$

iš čia

$z=re^{i\theta }\,$$z=re^{i\theta }\,$

kur e yra Eulerio skaičius. (Atkreipti dėmesį, jog visoms eksponentėms daroma prielaido, jog θ yra išreiškiamas radianais.)