Kreivumas

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Peršokti į: navigacija, paiešką

Kreivumas arba kreivis – bendras pavadinimas kiekybinių charakteristikų, nusakančių geometrinių objektų (kreivių, paviršių ir pan.) santykinį skirtumą nuo „plokščių“ ar „tiesių“ jų atitikmenų (tiesės, plokštumos ir pan.). Dažniausiai kreivumas apibrėžiamas kiekvienam objekto taškui.

Plokštumos kreivės kreivumas[taisyti | redaguoti kodą]

Kreivė C ir jos kreivio apskritimas taške P

Plokštumos kreivės kreivumas taške P(x0, y0) yra dydis, atvirkščias kreivio apskritimo spinduliui tame taške. Jei kreivė Dekarto koordinačių sistemoje nusakyta lygtimi y = f(x), tai kreivumas apskaičiuojamas pagal formulę:

Tokiu atveju neretai naudojama aproksimacija:

Jei kreivė nusakoma parametrinėmis lygtimis x = p(t), y = r(t), tai kreivumas apskaičiuojamas pagal formulę:

Paviršių kreivumas[taisyti | redaguoti kodą]

Paviršiai su neigiamu (kairėje), nuliniu (centre) ir teigiamu (dešinėje) kreivumu.

Tarkime, kad yra glodus paviršius trimatėje euklidinėje erdvėje. Tegu  – taškas paviršiuje ,  – liečiančioji plokštuma taške ,  – vienetinis normalinis vektorius (normalė) taške , o  – plokštuma einanti per ir vektorių , esantį . Kreivė , gaunama kertantis plokštumai su nagrinėjamu paviršiumi , yra vadinama pjūviu taške vektoriaus kryptimi. Skaliarinis dydis yra normalinis paviršiaus kreivumas kryptimi

Čia reiškia skaliarinę sandaugą,  – kreivumo vektorius taške .

Bendru atveju, kiekviename paviršiaus taške yra dvi statmenos kryptys ir , kuriomis kreivumas yra didžiausias ir mažiausias. Šios kryptys vadinamos pagrindinėmis arba normalinėmis. Kreivumą bet kokia kryptimi galima aprašyti Oilerio formule:

,

kur  – kampas tarp krypties ir , o ir yra normaliniai kreivumai ir kryptimis.

Galimi ir kitokie kreivumo apibrėžimai:

, (kartais )

yra vadinamas vidutiniu paviršiaus kreivumu. O dydis

yra vadinamas paviršiaus Gauso kreivumas.