Kreivumas

Kreivumas – bendras pavadinimas kiekybinių charakteristikų, nusakančių geometrinių objektų (kreivių, paviršių ir pan.) santykinį skirtumą nuo „plokščių“ ar „tiesių“ jų atitikmenų (tiesės, plokštumos ir pan.). Dažniausiai kreivumas apibrėžiamas kiekvienam objekto taškui.

Kreivis – kreivumo skaitinė reikšmė.

Plokštumos kreivės kreivumas

Kreivė C ir jos kreivio apskritimas taške P

Plokštumos kreivės kreivumas taške P(x₀, y₀) yra dydis, atvirkščias kreivio apskritimo spinduliui tame taške. Jei kreivė Dekarto koordinačių sistemoje nusakyta lygtimi y = f(x), tai kreivumas apskaičiuojamas pagal formulę:

$\kappa (x,y)={\frac {y''}{(1+y'^{2})^{3/2}}}.$

Tokiu atveju neretai naudojama aproksimacija:

$\kappa (x,y)\approx {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.$

Jei kreivė nusakoma parametrinėmis lygtimis x = p(t), y = r(t), tai kreivumas apskaičiuojamas pagal formulę:

$\kappa (x,y)={\frac {x'y''-y'x''}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}}.$

Paviršių kreivumas

Paviršiai su neigiamu (kairėje), nuliniu (centre) ir teigiamu (dešinėje) kreivumu.

Tarkime, kad $\Phi$ yra glodus paviršius trimatėje euklidinėje erdvėje. Tegu $p$ – taškas paviršiuje $\Phi$, $T_{p}$ – $\Phi$ liečiančioji plokštuma taške $p$, $n$ – vienetinis normalinis vektorius (normalė) $\Phi$ taške $p$, o $\pi _{e}$ – plokštuma einanti per $n$ ir vektorių $e$, esantį $T_{p}$. Kreivė $\gamma _{e}$, gaunama kertantis plokštumai $\pi _{e}$ su nagrinėjamu paviršiumi $\Phi$, yra vadinama $\Phi$ pjūviu taške $p$ vektoriaus $e$ kryptimi. Skaliarinis dydis $\kappa _{e}$ yra normalinis paviršiaus $\Phi$ kreivumas $e$ kryptimi

$\kappa _{e}=k\cdot n$

Čia $\cdot$ reiškia skaliarinę sandaugą, $k$ – kreivumo vektorius $\gamma _{e}$ taške $p$.

Bendru atveju, kiekviename paviršiaus taške yra dvi statmenos kryptys $e_{1}$ ir $e_{2}$, kuriomis kreivumas yra didžiausias ir mažiausias. Šios kryptys vadinamos pagrindinėmis arba normalinėmis. Kreivumą bet kokia kryptimi galima aprašyti Oilerio formule:

$\kappa _{e}=\kappa _{1}\cos ^{2}\alpha +\kappa _{2}\sin ^{2}\alpha$,

kur $\alpha$ – kampas tarp krypties ir $e_{1}$, o $\kappa _{1}$ ir $\kappa _{2}$ yra normaliniai kreivumai $e_{1}$ ir $e_{2}$ kryptimis.

Galimi ir kitokie kreivumo apibrėžimai:

$H=\kappa _{1}+\kappa _{2}$, (kartais ${\frac {\kappa _{1}+\kappa _{2}}{2}}$)

yra vadinamas vidutiniu paviršiaus kreivumu. O dydis

$K=\kappa _{1}\kappa _{2}$

yra vadinamas paviršiaus Gauso kreivumas.