Koši - Švarco nelygybė

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Jump to navigation Jump to search

Matematikoje Koši–Švarco nelygybė (dar vadinama Koši–Buniakovski–Švarco arba CBS nelygybe) yra viena iš pagrindinių optimizavimo priemonių tiesinėje algebroje, analizėje, tikimybių teorijoje, fizikoje ir kitose srityse. Nelygybė turi labai daug apibendrinimų, tarp kurių pati svarbiausia – Holderio nelygybė. Koši–Švarco nelygybė gali būti išreikšta vektorinėje, algebrinėje ir integralinėse formose.

Pirmasis šią nelygybę skaičių sekoms suformulavo ir įrodė Augustinas Liuisas Koši (1821), o teoremą integralinėje formoje pirmasis įrodė Viktoras Buniakovskis (1859). Pirmas modernus integralinės nelygybės įrodymas buvo pateiktas Hermano Amadėjaus Švarco (1888).

Algebrinio tipo nelygybė dar gali būti išreikšta vadinamoje Engel formoje. Titas Andreskas ir Bogdanas Aneskas buvo pirmieji matematikai, kurie pateikė save apibendrinantį įrodymą tokioje formoje.

Nelygybės formuluotės[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Vektorinė forma[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Teorema: Tegul  – tiesinės erdvės vektorių skaliarinė sandauga, tai su vektoriais x ir y, priklausantiems šiai erdvei, galioja nelygybė:


be to, lygybė galioja tada ir tik tada kai vektoriai x ir y yra tiesiškai priklausomi.

Integralinė forma[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Teorema: Bet kokioms tolydžioms ir integruojamoms intervale funkcijoms ir galioja nelygybė:


Lygybė galioja tada ir tik tada, kai egzistuoja toks , kad .

Algebrinė forma[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Teorema: Tarkime ir yra realiųjų skaičių sekos, tuomet galioja nelygybė:


Lygybės atvejis pasiekiamas tada ir tik tada, kai:

Algebrinės formos įrodymai[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Lagranžo būdas[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Nelygybė lengvai įrodoma pasinaudojus Lagranžo tapatybe:


Kvadratinės lygties metodas[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Tarkime ir yra realiųjų skaičių sekos. Pastebėkime, kad kvadratinė funkcija yra teigiama su bet kokiu , taigi jos diskriminantas D turi būti mažesnis arba lygus už nulį. Taigi:

, bei


AM – GM metodas[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Pažymėkime ir , tuomet pagal aritmetinio – geometrinio vidurkio (AM GM) nelygybę turime:

, o pakėlus abi puses kvadratu gausime tai, ką ir reikėjo įrodyti.

Jenseno nelygybės metodas[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Akivaizdu, kad funkcija yra įgaubta visoje skaičių tiesėje (t. y. jos ), todėl galime taikyti pasvertąją Jenseno nelygybę:

,čia yra pasirinktas funkcijos svorio vienetas, o šių svorio vienetų suma yra apibrėžta ir lygi vienetui:

Dabar kiekvienam ir parenkame bei , o tai įsistačius į Jenseno nelygybės išraišką gausime Koši – Švarco nelygybę.

Andresko – Anesko įrodymas[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Tarkime ir , tuomet akivaizdu, kad galioja:



, o pertvarkę gauname:

Ši nelygybė dar vadinama Tito lema. Dabar pakeitę į , kur , bei į , kur ir pritaikę Tito lemą, gausime:

, o kartodami šias pakeitimo operacijas n kartų, gausime apibendrintą Tito lemą, dar vadinamą Koši – Švarco nelygybe Engel formoje (matematiko Artūro Engelio garbei):

Belieka tik pastebėti, kad parinkę tokius ir gausime standartinę Koši – Švarco nelygybę:

Nuorodos[redaguoti | redaguoti vikitekstą]