Koši-Švarco nelygybė (arba Koši-Buniakovskio-Švarco nelygybė, CBS nelygybė) – matematikoje viena iš pagrindinių optimizavimo priemonių tiesinėje algebroje, analizėje, tikimybių teorijoje, fizikoje ir kitose srityse. Nelygybė turi labai daug apibendrinimų, tarp kurių pati svarbiausia – Holderio nelygybė. Koši–Švarco nelygybė gali būti išreikšta vektorinėje, algebrinėje ir integralinėse formose.
Pirmasis šią nelygybę skaičių sekoms suformulavo ir įrodė Augustinas Liuisas Koši (1821), o teoremą integralinėje formoje pirmasis įrodė Viktoras Buniakovskis (1859). Pirmas modernus integralinės nelygybės įrodymas buvo pateiktas Hermano Amadėjaus Švarco (1888).
Algebrinio tipo nelygybė dar gali būti išreikšta vadinamoje Engel formoje. Titas Andreskas ir Bogdanas Aneskas buvo pirmieji matematikai, kurie pateikė save apibendrinantį įrodymą tokioje formoje.
Teorema: Tegul
– tiesinės erdvės vektorių skaliarinė sandauga, tai su vektoriais x ir y, priklausantiems šiai erdvei, galioja nelygybė:
be to, lygybė galioja tada ir tik tada kai vektoriai x ir y yra tiesiškai priklausomi.
Teorema: Bet kokioms tolydžioms ir integruojamoms intervale
funkcijoms
ir
galioja nelygybė:
Lygybė galioja tada ir tik tada, kai egzistuoja toks
, kad
.
Teorema: Tarkime
ir
yra realiųjų skaičių sekos, tuomet galioja nelygybė:
Lygybės atvejis pasiekiamas tada ir tik tada, kai:
Nelygybė lengvai įrodoma pasinaudojus Lagranžo tapatybe:
Tarkime
ir
yra realiųjų skaičių sekos. Pastebėkime, kad kvadratinė funkcija
yra teigiama su bet kokiu
, taigi jos diskriminantas D turi būti mažesnis arba lygus už nulį. Taigi:
, bei
Pažymėkime
ir
, tuomet pagal aritmetinio – geometrinio vidurkio (AM
GM) nelygybę turime:
, o pakėlus abi puses kvadratu gausime tai, ką ir reikėjo įrodyti.
Akivaizdu, kad funkcija
yra įgaubta visoje skaičių tiesėje (t. y. jos
), todėl galime taikyti pasvertąją Jenseno nelygybę:
,čia
yra pasirinktas funkcijos svorio vienetas, o šių svorio vienetų suma yra apibrėžta ir lygi vienetui:
Dabar kiekvienam
ir
parenkame
bei
, o tai įsistačius į Jenseno nelygybės išraišką gausime Koši – Švarco nelygybę.
Tarkime
ir
, tuomet akivaizdu, kad galioja:
, o pertvarkę gauname:
Ši nelygybė dar vadinama Tito lema. Dabar pakeitę
į
, kur
, bei
į
, kur
ir pritaikę Tito lemą, gausime:
, o kartodami šias pakeitimo operacijas n kartų, gausime apibendrintą Tito lemą, dar vadinamą Koši – Švarco nelygybe Engel formoje (matematiko Artūro Engelio garbei):
Belieka tik pastebėti, kad parinkę tokius
ir
gausime standartinę Koši – Švarco nelygybę: