Vilnelė (matematika)

Šis straipsnis apie matematinių funkcijų klasę. Apie upę skaitykite straipsnyje Vilnia.

Haaro vilnelės grafikas

Daubechies vilnelės D20 (raudonas) ir mastelio funkcijos (mėlynas) grafikai

Mejerio vilnelės grafikas

Vilnelė „Meksikietiška skrybėlė“

Vilnelė (angl. wavelet nuo pranc. ondelette - maža bangelė) - funkcija, leidžianti tirti signalų dažninius komponentus atskiruose laiko intervaluose (naudojant vilnelių transformacijas).

Pagal vieną iš apibrėžimų, vilnele vadinama funkcija, kurios vidurkis yra lygus nuliui:

$\int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)\,dt=0.$

Įrodoma, kad funkcijos, kuriai teisingos sąlygos

$\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|\,dt<\infty$

ir

$\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}\,dt<\infty ,$

kitaip tariant,

$\psi \in L^{1}(\mathbb {R} )\cap L^{2}(\mathbb {R} ),$

vidurkis yra lygus nuliui, jei ji tenkina priimtinumo sąlygą:

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}}{|\omega |}}d\omega <\infty .$

${\hat {\psi }}$ čia yra vilnelės Furjė transformacija.

Pagal kitą apibrėžimą, vilnele vadinama funkcija iš Hilberto erdvės, iš kurios galima suformuoti funkcijų šeimą, sudarančią ortonormuotą bazę Hilberto erdvėje, naudojant formulę:

$\psi _{j,k}(t)=2^{j/2}\psi (2^{j}t-k).$

Vilnelė ar vilnelių šeima gali būti nusakyta įvairiais būdais, pavyzdžiui, motinine vilnele ir mastelio funkcija. Turint motininę vilnelę, gali būti rastos vilnelės kitiems masteliams ir laikams:

$\psi _{a,b}(t)={1 \over {\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over a}\right).$

Istorija

Pirmąja vilnele laikoma Haaro vilnelė, pasiūlyta 1909 m. vengrų matematiko Alfredo Haaro. 1980 m. Jean Morlet ir Alexander Grossmann pateikė vilnelės apibrėžimą kvantinėje fizikoje. 1985 m. Stéphane G. Mallat aptiko ryšių tarp kvadratūrinių veidrodinių filtrų, piramidinių algoritmų ir ortonormaliųjų vilnelių bazių. Iš dalies naudodamasis šiais rezultatais Yves F. Meyer suformavo pirmąsias netrivialias vilneles. 1987 m. Ingrid Daubechies suformavo vieną iš pagrindinių vilnelių bazių.

Nuorodos

• The Wavelet Digest Archyvuota kopija 2020-09-29 iš Wayback Machine projekto.