Vektorinis skaičiavimas

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Peršokti į: navigaciją, paiešką

Vektorinis skaičiavimas (arba vektorinė analizė) yra matematikos šaka, susijusi su vektorinių laukų diferencijavimu ir integravimu, pirmiausiai Euklidinėje erdvėje \mathbf{R}^3. Terminas „vektorinis skaičiavimas“ dažnai naudojamas kaip sinonimas daugelio kintamųjų, kuris apima vektorinį skaičiavimą, taip pat dalinį diferencijavimą ir daugialypį integravimą. Vektorinis skaičiavimas yra svarbus diferencialinėje geometrijoje ir tiriant dalinių išvestinių diferencialines lygtis. Jis naudojama fizikoje ir inžinerijoje, ypač aprašant elektromagnetinius, gravitacinius laukus ir skysčio tekėjimą.

Vektorinis skaičiavimas buvo kuriamas iš kvaterniono anlizės J. Willard Gibbs ir Oliver Heaviside XIX a. pabaigoje, didžiąją dalį jo notacijos ir terminologijos sukūrė Gibsas ir Edwin Bidwell Wilson jų 1901 m. knygoje Vektorinė analizė.

Pagrindiniai objektai[taisyti | redaguoti kodą]

Vektorinio skaičiavimo pagrindiniai objektai yra skaliariniai ir vektoriniai laukai. Tuomet naudojant skirtingas operacijas, jie yra sujungiami arba transformuojami ir galiausiai integruojami.

Vektorių operacijos[taisyti | redaguoti kodą]

Algebrinės operacijos[taisyti | redaguoti kodą]

Pagrindinės algebrinės (nediferencialinės) operacijos vektoriniame skaičiavime yra nurodomos kaip vektorinės algebros, bet nustatytos vektorine erdvei ir tada globaliai pritaikytos vektoriniui laukui, susideda iš:

Skaliarinės daugybos
skaliarinio ir vektorinio laukų sandauga, duodanti vektorinį lauką: a \bold{v};
Vektorių sumos
dviejų vektorinių laukų suma, duodanti vektorinį lauką: \bold{v}_1 + \bold{v}_2;
Skaliarinė sandaugos
dviejų vektorinių laukų sudauginimas, duodantis skaliarinį lauką: \bold{v}_1 \cdot \bold{v}_2;
Vektorinės sandaugos
dviejų vektorinių laukų sudauginimas, duodantis vektorinį lauką: \bold{v}_1 \times \bold{v}_2;

Diferencialinės operacijos[taisyti | redaguoti kodą]

Vektorinis skaičiavimas tiria diferencialinius operatorius, kurie veikia ant skaliarinių ar vektorinių laukų, paprastai išreiškiamų nabla operatoriumi (\nabla). Keturios svarbiausios diferencialinės operacijos yra:

Operacija Žymėjimas Aprašymas Veikimo sritis
Gradientas  \operatorname{grad}(f) = \nabla f Įvertina kokiu greičiu ir kokia kryptimi keičiasi skaliarinis laukas. Skaliarinius laukus keičia vektoriniais.
Apvija  \operatorname{curl}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F} Įvertina tendenciją suktis apie tašką vektoriniame lauke. Vektorinius laukus verčia (pseudo)vektoriniais.
Divergencija  \operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F} Įvertina šaltinio dydį arba nuleidžia duotame taške vektoriniame lauke. Vektoriniai laukai verčiami į skaliarinius.
Laplasianas  \Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f Divergencijos ir gradiento operacijų kombinacija. Skaliariniai laukai verčiami į skaliarinius.

Teoremos[taisyti | redaguoti kodą]

Yra keletas svarbių teoremų, kurios apibendrina skaičiavimą aukštesnėms dimensijoms:

Teorema Sakinys
Gradiento teorema  \int_{L[\mathbf p \to \mathbf q] \subset \mathbb R^n} \nabla\varphi\cdot d\mathbf{r} = \varphi\left(\mathbf{q}\right)-\varphi\left(\mathbf{p}\right)
Gryno teorema  \int\!\!\!\!\int_{A\,\subset\mathbb R^2} \left  (\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, d\mathbf{A}=\oint_{\partial A} \left ( L\, dx + M\, dy \right )
Stokso teorema  \int\!\!\!\!\int_{\Sigma\,\subset\mathbb R^3} \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{\Sigma} = \oint_{\partial\Sigma} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}

Taip pat skaitykite[taisyti | redaguoti kodą]