Unitarioji matrica

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Jump to navigation Jump to search

Unitarioji matrica tai yra kompleksinė kvadratinė matrica U, kurios kompleksiškai jungtinė ir transponuota matrica U yra jai atvirkštinė.

čia I yra vienetinė matrica. Fizikoje, kvantinėje mechanikoje Ermitinė jungtinė matrica paprasta žymima durklo pavidalo simboliu . Tuomet ankstesnė lygybė užrašoma

Unitariosios matricos analogas realiųjų skaičių aibėje yra ortogonalioji matrica. Unitariosios matricos svarbios kvantinėje mechanikoje, kadangi nekeičia normos.

Savybės[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Baigtinio rango unitarioji matrica :

  • Bet kokiems dviems kompleksiniams vektoriams ir , daugyba iš nekeičia skaliarinės sandaugos; tai yra, .
  • yra normalioji matrica (. Skirtingai nuo unitariosios matricos ši sandauga nebūtinai lygi vienetinei matricai)
  • yra diagonalizuojama matrica, tai yra gali būti išskaidyta
čia yra unitarioji, o yra diagonalioji ir kartu unitarioji matrica.
  • .
  • Tikriniai vektoriai visada ortogonalūs.
  • gali būti užrašyta U = exp(iH) , kur žymi matricos eksponentę, yra menamasis vienetas, o yra Ermito matrica.

Matricos eksponentė gali būti parašyta:

  • Tiek unitariosios matricos stulpeliai, tiek eilutės sudaro ortonormuotą (ortogonalią ir normuotą) bazę.
  • Matricos tikrinės vertės išsidėsčiusios ant vienetinio apskritimo.

Bet kokiam neneigiamam sveikam skaičiui n, aibė visų n x n unitariųjų matricų daugybos atžvilgiu sudaro grupę, vadinamą unitariąja grupe U(n).

Jei unitariosios matricos determinantas lygus vienetui, ji vadinama specialiąja unitariąja matrica.

Aibė visų specialiųjų unitariųjų matricų, kurių rangas daugybos atžvilgiu sudaro specialiąją unitariąją grupę, žymimą . Grupės ir vaidina svarbų vaidmenį kvantinėje mechanikoje ir elementariųjų dalelių fizikoje.