Ermito matrica

Ermito matrica – kompleksinė kvadratinė matrica, kuri lygi transponuotai kompleksiškai jungtinei (tai yra $i$ eilutės ir $j$ stulpelio elementai yra lygūs kompleksiškai jungtiniams $j$ eilutės $i$ stulpelio elementams, visiems $i$ ir $j$):

$a_{ij}={\overline {a_{ji}}}$ arba $A={\overline {A^{\text{T}}}}$.

Ermito matricos gali būti traktuojamos kaip realiųjų simetrinių matricų kompleksinis plėtinys.

Jei matricos $A$ kompleksiškai jungtinė ir transponuota matrica žymima $A^{\text{H}}$, tada ermito matrica užrašoma kaip

$A=A^{\text{H}}.$

Ermito matricos pavadintos vardu 19 amžiaus prancūzų matematiko Šarlio Ermito, kuris 1855 m. parodė, kad šio pavidalo matricos kaip ir realios simetrinės matricos turi realias tikrines vertes ir tikrinius vektorius.

Pavyzdys

Tokio pavidalo matrica yra ermito matrica:

${\begin{bmatrix}2&2+i&4\\2-i&3&i\\4&-i&1\\\end{bmatrix}}$

Ermito matricos dažnai naudojamos teorinėje fizikoje ir kvantinėje mechanikoje (Paulio matricos, Gell-Manno matricos).

Savybės

• Diagonalieji elementai visada realieji skaičiai, nes jie turi būti kompleksiniai jungtiniai sau patiems.
• Šalia diagonalės esantys kompleksiniai elementai negali būti simetriški. Realiųjų skaičių simetrinė diagonalės atžvilgiu matrica visada yra ermito matrica.
• Kiekviena ermito matrica yra normalioji matrica.
• Matematinė spektrinė teorema teigia, kad kiekviena ermito matrica gali būti suvesta į diagonaliąją formą naudojant unitariąją matricą. Gauta diagonalioji matrica turės tik realiuosius diagonalinius elementus. Iš to išplaukia, kad ermito matricos tikrinės vertės yra realieji skaičiai, o tikriniai vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi (ortogonalūs). Net kartotinių tikrinių verčių atveju jas atitinkantys tikriniai vektoriai (tarpusavyje nebūtinai ortogonalūs) bus visada ortogonalūs likusiems tikriniams vektoriams.
• Dviejų ermito matricų suma yra ermito matrica taip pat.
• Ermito matricos atvirkštinė matrica taip pat yra ermito matrica.
• Dviejų ermito matricų $A$ ir $B$ sandauga yra ermito matrica tik jei $1=AB=BA$.
• Bet kokiam kompleksiniam vektoriui $v$ sandauga $v^{\text{H}}Av$ yra realusis skaičius, kadangi $v^{\text{H}}Av=(v^{\text{H}}Av)^{\text{H}}$. Ši savybė ypač svarbi kvantinėje mechanikoje, kai ermito matricos yra operatoriai, kuriems veikiant gaunamos realiaisiais skaičiais aprašomos sistemos savybės (pvz., sukinys).
• Kvadratinės ir jai kompleksiškai jungtinės transponuotos matricų suma $(C+C^{\text{H}})$ yra ermito matrica.
• Kvadratinės matricos ir jai kompleksiškai jungtinės transponuotos matricos skirtumas $(C-C^{\text{H}})$ yra asimetrinė ermito matrica. Iš to seka, kad dviejų ermito matricų komutatorius yra asimetrinė ermito matrica.
• Bet kokia kvadratinė matrica $C$ gali būti išskleista ermito $A$ ir asimetrinės ermito $B$ matricų suma:

$C=A+B\quad {\mbox{su}}\quad A={\frac {1}{2}}(C+C^{\text{H}})\quad {\mbox{ir}}\quad B={\frac {1}{2}}(C-C^{\text{H}})$

• Ermito matricos determinantas yra realusis skaičius:

$\det(A)=\det(A^{\mathrm {T} })\quad \Rightarrow \quad \det(A^{\text{H}})=\det(A)^{*}$,

Taigi $A=A^{\text{H}}\quad \Rightarrow \quad \det(A)=\det(A)^{*}.$

Nuorodos

• Visualizing Hermitian Matrix as An Ellipse with Dr. Geo Archyvuota kopija 2017-08-29 iš Wayback Machine projekto., by Chao-Kuei Hung from Chaoyang University, gives a more geometric explanation.