Determinantas

Šis straipsnis - apie matematinę funkciją. Apie rašto elementą žiūrėkite determinatyvas, o apie kalbos dalį - determinatyvas (gramatika)

Determinantas – tiesinės algebros funkcija, kiekvienai kvadratinei n*n matricai A priskirianti skaliarinę reikšmę det(A). Determinantai svarbūs integriniame ir diferenciniame skaičiavime, geometrijoje, kitose matematikos srityse.

Determinanto $n\times n$$n\times n$ formulė yra tokia:

$det(A)=|A|={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{vmatrix}}=\sum _{i=1}^{n!}(-1)^{p(i)}\cdot a_{1k_{i1}}a_{2k_{i2}}\ldots a_{nk_{in}}$$det(A)=|A|={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{vmatrix}}=\sum _{i=1}^{n!}(-1)^{p(i)}\cdot a_{1k_{i1}}a_{2k_{i2}}\ldots a_{nk_{in}}$

kur

• $|A|$$|A|$ ir $det(A)$$det(A)$ – determinanto žymėjimas.

Antros eilės determinantas

2×2 matrica

$A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$$A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$

turi determinantą

$\det(A)=ad-bc\,$$\det(A)=ad-bc\,$.

Determinantas taikomas spręsti sistemą su dviem nežinomaisiais:

${\begin{cases}a_{11}x+a_{12}y=c_{1},\\a_{21}x+a_{22}y=c_{2}.\end{cases}}$${\begin{cases}a_{11}x+a_{12}y=c_{1},\\a_{21}x+a_{22}y=c_{2}.\end{cases}}$

Surandamas determinantas:

$D={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$$D={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$

Jei determinantas nelygus nuliui, tai sistema turi tik vieną sprendinį:

$x={\frac {D_{x}}{D}},$$x={\frac {D_{x}}{D}},$

$y={\frac {D_{y}}{D}},$$y={\frac {D_{y}}{D}},$

kur

$D_{x}={\begin{vmatrix}c_{1}&a_{12}\\c_{2}&a_{22}\end{vmatrix}},$$D_{x}={\begin{vmatrix}c_{1}&a_{12}\\c_{2}&a_{22}\end{vmatrix}},$

$D_{y}={\begin{vmatrix}a_{11}&c_{1}\\a_{21}&c_{2}\end{vmatrix}}.$$D_{y}={\begin{vmatrix}a_{11}&c_{1}\\a_{21}&c_{2}\end{vmatrix}}.$

Formulės vadinamos Kramerio formulėmis. Jei D=0, bet $D_{x}$$D_{x}$ arba $D_{y}$$D_{y}$ nelygu 0, tai sistema sprendinių neturi (yra nesuderinta). Jei $D=D_{x}=D_{y}=0$$D=D_{x}=D_{y}=0$, tai sistema turi be galo daug sprendinių (yra neapibrėžta).

Pavyzdys, kaip galima išspręsti sistemą surandant determinantą. Sistema yra tokia:

${\begin{cases}x+2y=8,\\3x-y=3.\end{cases}}$${\begin{cases}x+2y=8,\\3x-y=3.\end{cases}}$

Sistemos determinantas yra

$D={\begin{vmatrix}1&2\\3&-1\end{vmatrix}}=1\cdot (-1)-3\cdot 2=-7;$$D={\begin{vmatrix}1&2\\3&-1\end{vmatrix}}=1\cdot (-1)-3\cdot 2=-7;$

Toliau į determinanto pirmą stulpelį įstačius dešines lygties puses, randamas

$D_{x}={\begin{vmatrix}8&2\\3&-1\end{vmatrix}}=-8-6=-14;$$D_{x}={\begin{vmatrix}8&2\\3&-1\end{vmatrix}}=-8-6=-14;$

Panašiai randamas

$D_{y}={\begin{vmatrix}1&8\\3&3\end{vmatrix}}=3-24=-21;$$D_{y}={\begin{vmatrix}1&8\\3&3\end{vmatrix}}=3-24=-21;$

$x=D_{x}/D=-14/(-7)=2;$$x=D_{x}/D=-14/(-7)=2;$ $y=D_{y}/D=-21/(-7)=3.$$y=D_{y}/D=-21/(-7)=3.$

Determinantas 3 $\times$$\times$ 3

sudedami

atimami

$detA=|A|={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}=$$detA=|A|={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}=$

$=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}$$=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}$

Didesnėms matricoms determinanto skaičiavimo formulė yra kitokia.

Sistemų sprendimas taikant Kramerio formules

Pagal Kramerio formulę galima surasti sistemos:

${\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}=c_{2}\\a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}=c_{3}\end{cases}}$${\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}=c_{2}\\a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}=c_{3}\end{cases}}$

sprendinius:

$x_{1}={\frac {D_{1}}{D}},$$x_{1}={\frac {D_{1}}{D}},$

$x_{2}={\frac {D_{2}}{D}},$$x_{2}={\frac {D_{2}}{D}},$

$x_{3}={\frac {D_{3}}{D}},$$x_{3}={\frac {D_{3}}{D}},$

kur

$D_{1}={\begin{vmatrix}c_{1}&a_{12}&a_{13}\\c_{2}&a_{22}&a_{23}\\c_{3}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}},$$D_{1}={\begin{vmatrix}c_{1}&a_{12}&a_{13}\\c_{2}&a_{22}&a_{23}\\c_{3}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}},$

$D_{2}={\begin{vmatrix}a_{11}&c_{1}&a_{13}\\a_{21}&c_{2}&a_{23}\\a_{31}&c_{3}&a_{33}\end{vmatrix}},$$D_{2}={\begin{vmatrix}a_{11}&c_{1}&a_{13}\\a_{21}&c_{2}&a_{23}\\a_{31}&c_{3}&a_{33}\end{vmatrix}},$

$D_{3}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&c_{1}\\a_{21}&a_{22}&c_{2}\\a_{31}&a_{32}&c_{3}\end{vmatrix}}.$$D_{3}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&c_{1}\\a_{21}&a_{22}&c_{2}\\a_{31}&a_{32}&c_{3}\end{vmatrix}}.$

Tokiu būdu randami sistemos sprendiniai ir didesnėms matricoms.

• Remdamiesi Kramerio formulėmis, išspręskime tiesinių lygčių sistemą

${\begin{cases}2x_{1}+-3x_{2}-x_{3}=7,\\3x_{1}+4x_{2}+6x_{3}=3,\\-3x_{1}-x_{2}+-3x_{3}=5.\end{cases}}$${\begin{cases}2x_{1}+-3x_{2}-x_{3}=7,\\3x_{1}+4x_{2}+6x_{3}=3,\\-3x_{1}-x_{2}+-3x_{3}=5.\end{cases}}$

$D=detA={\begin{vmatrix}2&1&-1\\3&4&6\\1&0&1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}3&1&-1\\-3&4&6\\0&0&1\end{vmatrix}}=(-1)^{3+3}{\begin{vmatrix}3&1\\-3&4\end{vmatrix}}=15;$$D=detA={\begin{vmatrix}2&1&-1\\3&4&6\\1&0&1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}3&1&-1\\-3&4&6\\0&0&1\end{vmatrix}}=(-1)^{3+3}{\begin{vmatrix}3&1\\-3&4\end{vmatrix}}=15;$

Kur trečias stulpelis buvo padaugintas iš (-1) ir pridėtas prie pirmo stulpelio (trečias stulpelis nesikeičia).

$D_{1}={\begin{vmatrix}0&1&-1\\-5&4&6\\1&0&1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}0&0&-1\\-5&10&6\\1&1&1\end{vmatrix}}=(-1)\cdot (-1)^{1+3}{\begin{vmatrix}-5&10\\1&1\end{vmatrix}}=15;$$D_{1}={\begin{vmatrix}0&1&-1\\-5&4&6\\1&0&1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}0&0&-1\\-5&10&6\\1&1&1\end{vmatrix}}=(-1)\cdot (-1)^{1+3}{\begin{vmatrix}-5&10\\1&1\end{vmatrix}}=15;$

Kur trečias stulpelis buvo pridėtas prie antro stulpelio.

$D_{2}={\begin{vmatrix}2&0&-1\\3&-5&6\\1&1&1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}0&0&-1\\15&-5&6\\3&1&1\end{vmatrix}}=(-1)\cdot (-1)^{1+3}{\begin{vmatrix}15&-5\\3&1\end{vmatrix}}=-30;$$D_{2}={\begin{vmatrix}2&0&-1\\3&-5&6\\1&1&1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}0&0&-1\\15&-5&6\\3&1&1\end{vmatrix}}=(-1)\cdot (-1)^{1+3}{\begin{vmatrix}15&-5\\3&1\end{vmatrix}}=-30;$

kur trečias stulpelis buvo padaugintas iš 2 ir pridėtas prie pirmojo stulpelio.

$D_{3}={\begin{vmatrix}2&1&0\\3&4&-5\\1&0&1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}2&1&0\\8&4&-5\\0&0&1\end{vmatrix}}=(-1)^{3+3}{\begin{vmatrix}2&1\\8&4\end{vmatrix}}=0;$$D_{3}={\begin{vmatrix}2&1&0\\3&4&-5\\1&0&1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}2&1&0\\8&4&-5\\0&0&1\end{vmatrix}}=(-1)^{3+3}{\begin{vmatrix}2&1\\8&4\end{vmatrix}}=0;$

kur trečias stuleplis buvo padaugintas iš (-1) ir pridėtas prie pirmo stulpelio.

$x_{1}={\frac {D_{1}}{detA}}={\frac {15}{15}}=1;\qquad x_{2}={\frac {D_{2}}{detA}}={\frac {-30}{15}}=-2;\qquad x_{3}={\frac {D_{3}}{detA}}={\frac {0}{15}}=0.$$x_{1}={\frac {D_{1}}{detA}}={\frac {15}{15}}=1;\qquad x_{2}={\frac {D_{2}}{detA}}={\frac {-30}{15}}=-2;\qquad x_{3}={\frac {D_{3}}{detA}}={\frac {0}{15}}=0.$

Lygčių sprendimas atvirkštinės matricos metodu

Determinanto radimas naudojant adjunktą:

$detA={\begin{vmatrix}1&0&1\\0&0&2\\-1&3&1\end{vmatrix}}=2\cdot (-1)^{2+3}{\begin{vmatrix}1&0\\-1&3\end{vmatrix}}=-6\not =0;$$detA={\begin{vmatrix}1&0&1\\0&0&2\\-1&3&1\end{vmatrix}}=2\cdot (-1)^{2+3}{\begin{vmatrix}1&0\\-1&3\end{vmatrix}}=-6\not =0;$

kur 2 ir 3 virš (-1) yra antra eilutė ir trečias stulpelis.

$A_{11}=(-1)^{1+1}{\begin{vmatrix}0&2\\3&1\end{vmatrix}}=-6;\qquad A_{12}=(-1)^{1+2}{\begin{vmatrix}0&2\\-1&1\end{vmatrix}}=-2;$$A_{11}=(-1)^{1+1}{\begin{vmatrix}0&2\\3&1\end{vmatrix}}=-6;\qquad A_{12}=(-1)^{1+2}{\begin{vmatrix}0&2\\-1&1\end{vmatrix}}=-2;$

$A_{13}=(-1)^{1+3}{\begin{vmatrix}0&0\\-1&3\end{vmatrix}}=0;\qquad A_{21}=(-1)^{2+1}{\begin{vmatrix}0&1\\3&1\end{vmatrix}}=3;$$A_{13}=(-1)^{1+3}{\begin{vmatrix}0&0\\-1&3\end{vmatrix}}=0;\qquad A_{21}=(-1)^{2+1}{\begin{vmatrix}0&1\\3&1\end{vmatrix}}=3;$

$A_{22}=(-1)^{2+2}{\begin{vmatrix}1&1\\-1&1\end{vmatrix}}=2;\qquad A_{23}=(-1)^{2+3}{\begin{vmatrix}1&0\\-1&3\end{vmatrix}}=-3;$$A_{22}=(-1)^{2+2}{\begin{vmatrix}1&1\\-1&1\end{vmatrix}}=2;\qquad A_{23}=(-1)^{2+3}{\begin{vmatrix}1&0\\-1&3\end{vmatrix}}=-3;$

$A_{31}=(-1)^{3+1}{\begin{vmatrix}0&1\\0&2\end{vmatrix}}=0;\qquad A_{32}=(-1)^{3+2}{\begin{vmatrix}1&1\\0&2\end{vmatrix}}=-2;$$A_{31}=(-1)^{3+1}{\begin{vmatrix}0&1\\0&2\end{vmatrix}}=0;\qquad A_{32}=(-1)^{3+2}{\begin{vmatrix}1&1\\0&2\end{vmatrix}}=-2;$

$A_{33}=(-1)^{3+3}{\begin{vmatrix}1&0\\0&0\end{vmatrix}}=0;$$A_{33}=(-1)^{3+3}{\begin{vmatrix}1&0\\0&0\end{vmatrix}}=0;$

Tiesinių lygčių sistemos sprendimo metodas vadinamas atvirkštinės matricos metodu arba matricų metodu:

$A^{-1}={\frac {1}{detA}}\cdot {\begin{vmatrix}A_{11}&A_{21}&A_{31}\\A_{12}&A_{22}&A_{32}\\A_{13}&A_{23}&A_{33}\end{vmatrix}}={\frac {1}{-6}}\cdot {\begin{vmatrix}-6&3&0\\-2&2&-2\\0&-3&0\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&0\\{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}\\0&{\frac {1}{2}}&0\end{vmatrix}}.$$A^{-1}={\frac {1}{detA}}\cdot {\begin{vmatrix}A_{11}&A_{21}&A_{31}\\A_{12}&A_{22}&A_{32}\\A_{13}&A_{23}&A_{33}\end{vmatrix}}={\frac {1}{-6}}\cdot {\begin{vmatrix}-6&3&0\\-2&2&-2\\0&-3&0\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&0\\{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}\\0&{\frac {1}{2}}&0\end{vmatrix}}.$

Išspręsime sistemą

${\begin{cases}3x_{1}+5x_{2}-2x_{3}=2,\\x_{1}-3x_{2}+2x_{3}=10,\\6x_{1}+7x_{2}-3x_{3}=5\end{cases}}$${\begin{cases}3x_{1}+5x_{2}-2x_{3}=2,\\x_{1}-3x_{2}+2x_{3}=10,\\6x_{1}+7x_{2}-3x_{3}=5\end{cases}}$

matricų metodu.

$A={\begin{bmatrix}3&5&-2\\1&-3&2\\6&7&-3\end{bmatrix}};\qquad B={\begin{bmatrix}2\\10\\5\end{bmatrix}};\qquad X={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}};$$A={\begin{bmatrix}3&5&-2\\1&-3&2\\6&7&-3\end{bmatrix}};\qquad B={\begin{bmatrix}2\\10\\5\end{bmatrix}};\qquad X={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}};$

$X=A^{-1}\cdot B;\qquad A^{-1}={\frac {1}{detA}}\cdot {\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}};$$X=A^{-1}\cdot B;\qquad A^{-1}={\frac {1}{detA}}\cdot {\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}};$

$detA={\begin{vmatrix}3&5&-2\\1&-3&2\\6&7&-3\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}0&14&-8\\1&-3&2\\0&25&-15\end{vmatrix}}=(-1)^{2+1}{\begin{vmatrix}14&-8\\25&-15\end{vmatrix}}=-2\cdot 5{\begin{vmatrix}7&-4\\5&-3\end{vmatrix}}=10\not =0;$$detA={\begin{vmatrix}3&5&-2\\1&-3&2\\6&7&-3\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}0&14&-8\\1&-3&2\\0&25&-15\end{vmatrix}}=(-1)^{2+1}{\begin{vmatrix}14&-8\\25&-15\end{vmatrix}}=-2\cdot 5{\begin{vmatrix}7&-4\\5&-3\end{vmatrix}}=10\not =0;$ Kur antrą eilutę padauginome iš (-3) ir pridėjome prie pirmos eilutės, ir antrą eilutę padauginome iš (-6) ir pridėjome prie trečios eilutės.

$A_{11}=(-1)^{1+1}{\begin{vmatrix}-3&2\\7&-3\end{vmatrix}}=-5;\qquad A_{21}=(-1)^{2+1}{\begin{vmatrix}5&-2\\7&-3\end{vmatrix}}=1;\qquad A_{31}={\begin{vmatrix}5&-2\\-3&2\end{vmatrix}}=4;$$A_{11}=(-1)^{1+1}{\begin{vmatrix}-3&2\\7&-3\end{vmatrix}}=-5;\qquad A_{21}=(-1)^{2+1}{\begin{vmatrix}5&-2\\7&-3\end{vmatrix}}=1;\qquad A_{31}={\begin{vmatrix}5&-2\\-3&2\end{vmatrix}}=4;$

$A_{12}=-{\begin{vmatrix}1&2\\6&-3\end{vmatrix}}=15;\qquad A_{22}=(-1)^{2+2}{\begin{vmatrix}3&6\\-2&-3\end{vmatrix}}=3;\qquad A_{32}=-{\begin{vmatrix}3&-2\\1&2\end{vmatrix}}=-8;$$A_{12}=-{\begin{vmatrix}1&2\\6&-3\end{vmatrix}}=15;\qquad A_{22}=(-1)^{2+2}{\begin{vmatrix}3&6\\-2&-3\end{vmatrix}}=3;\qquad A_{32}=-{\begin{vmatrix}3&-2\\1&2\end{vmatrix}}=-8;$

$A_{13}={\begin{vmatrix}1&-3\\6&7\end{vmatrix}}=25;\qquad A_{23}=(-1)^{2+3}{\begin{vmatrix}3&5\\6&7\end{vmatrix}}=9;\qquad A_{33}={\begin{vmatrix}3&5\\1&-3\end{vmatrix}}=-14;$$A_{13}={\begin{vmatrix}1&-3\\6&7\end{vmatrix}}=25;\qquad A_{23}=(-1)^{2+3}{\begin{vmatrix}3&5\\6&7\end{vmatrix}}=9;\qquad A_{33}={\begin{vmatrix}3&5\\1&-3\end{vmatrix}}=-14;$

$A^{-1}={\frac {1}{10}}{\begin{bmatrix}-5&1&4\\15&3&-8\\25&9&-14\end{bmatrix}};$$A^{-1}={\frac {1}{10}}{\begin{bmatrix}-5&1&4\\15&3&-8\\25&9&-14\end{bmatrix}};$

$X={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\frac {1}{10}}{\begin{pmatrix}-5&1&4\\15&3&-8\\25&9&-14\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}2\\10\\5\end{pmatrix}}={\frac {1}{10}}{\begin{pmatrix}20\\20\\70\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\2\\7\end{pmatrix}};$$X={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\frac {1}{10}}{\begin{pmatrix}-5&1&4\\15&3&-8\\25&9&-14\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}2\\10\\5\end{pmatrix}}={\frac {1}{10}}{\begin{pmatrix}20\\20\\70\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\2\\7\end{pmatrix}};$

$x_{1}=2;$$x_{1}=2;$ $x_{2}=2;$$x_{2}=2;$ $x_{3}=7.$$x_{3}=7.$

Lygčių sistemos sprendimas Gauso metodu

Pavyzdžiui, turime lygčių sistemą:

${\begin{cases}3x_{1}-2x_{2}+4x_{3}=-8,\\2x_{1}+7x_{2}-5x_{3}=26,\\x_{1}-3x_{2}+8x_{3}=-25.\end{cases}}$${\begin{cases}3x_{1}-2x_{2}+4x_{3}=-8,\\2x_{1}+7x_{2}-5x_{3}=26,\\x_{1}-3x_{2}+8x_{3}=-25.\end{cases}}$

Išplėstinės matricos A pirmoje eilutėje parašome trečios eilutės koeficientus, o pirmą ir antrą eilutes nustumiame žemyn:

$A={\begin{bmatrix}1&-3&8&|-25\\3&-2&4&|-8\\2&7&-5&|26\end{bmatrix}}=$$A={\begin{bmatrix}1&-3&8&|-25\\3&-2&4&|-8\\2&7&-5&|26\end{bmatrix}}=$

Šios pertvarkytos išplėstinės matricos $A^{~}$$A^{~}$ pirmą eilutę dauginame iš (-3) ir pridedame prie antros eilutės ir taip pat pirmą eilutę dauginame iš (-2) ir pridedame prie trečios eilutės ir tada gauname tokią išplėstinę matricą:

$={\begin{bmatrix}1&-3&8&|-25\\0&7&-20&|67\\0&13&-21&|76\end{bmatrix}}=$$={\begin{bmatrix}1&-3&8&|-25\\0&7&-20&|67\\0&13&-21&|76\end{bmatrix}}=$

Toliau matricos antrą eilutę dauginame iš (-2) ir pridedame prie trečios eilutės:

$={\begin{bmatrix}1&-3&8&|-25\\0&7&-20&|67\\0&-1&19&|-58\end{bmatrix}}=$$={\begin{bmatrix}1&-3&8&|-25\\0&7&-20&|67\\0&-1&19&|-58\end{bmatrix}}=$

Toliau trečią eilutę dauginame iš 7 ir pridedame prie antros eilutės ir gauname:

$={\begin{bmatrix}1&-3&8&|-25\\0&0&113&|-339\\0&-1&19&|-58\end{bmatrix}}=$$={\begin{bmatrix}1&-3&8&|-25\\0&0&113&|-339\\0&-1&19&|-58\end{bmatrix}}=$

Toliau antrą ir trečią eilutes sukeičiame vietomis:

$={\begin{bmatrix}1&-3&8&|-25\\0&-1&19&|-58\\0&0&113&|-339\end{bmatrix}}.$$={\begin{bmatrix}1&-3&8&|-25\\0&-1&19&|-58\\0&0&113&|-339\end{bmatrix}}.$

Gauta matrica apibūdina lygčių sistemą

${\begin{cases}x_{1}-3x_{2}+8x_{3}=-25,\\-x_{2}+19x_{3}=-58,\\113x_{3}=-339.\end{cases}}$${\begin{cases}x_{1}-3x_{2}+8x_{3}=-25,\\-x_{2}+19x_{3}=-58,\\113x_{3}=-339.\end{cases}}$

Iš paskutinės lygties $x_{3}={\frac {-339}{113}}=-3.$$x_{3}={\frac {-339}{113}}=-3.$

Iš antros lygties surandame $x_{2}=58+19x_{3}=58-57=1.$$x_{2}=58+19x_{3}=58-57=1.$

Iš pirmos lygties randame $x_{1}=-25+3x_{2}-8x_{3}=-25+3+24=2.$$x_{1}=-25+3x_{2}-8x_{3}=-25+3+24=2.$

Lygčių sistema turi vieną sprendinį (2; 1; -3).

Ketvirtos eilės determinantas

Ketvirtos eilės determinantas gali būti paverstas trečios eilės determinantu, pavyzdžiui:

$D={\begin{vmatrix}3&1&-1&2\\-5&1&3&-4\\2&0&1&-1\\1&-5&3&-3\end{vmatrix}}=(-1)^{3+1}\cdot 2\cdot {\begin{vmatrix}1&-1&2\\1&3&-4\\-5&3&-3\end{vmatrix}}+(-1)^{3+3}\cdot 1\cdot {\begin{vmatrix}3&1&2\\-5&1&-4\\1&-5&-3\end{vmatrix}}+$$D={\begin{vmatrix}3&1&-1&2\\-5&1&3&-4\\2&0&1&-1\\1&-5&3&-3\end{vmatrix}}=(-1)^{3+1}\cdot 2\cdot {\begin{vmatrix}1&-1&2\\1&3&-4\\-5&3&-3\end{vmatrix}}+(-1)^{3+3}\cdot 1\cdot {\begin{vmatrix}3&1&2\\-5&1&-4\\1&-5&-3\end{vmatrix}}+$

$+(-1)^{3+4}\cdot (-1)\cdot {\begin{vmatrix}3&1&-1\\-5&1&3\\1&-5&3\end{vmatrix}}=2\cdot 16-40+48=40.$$+(-1)^{3+4}\cdot (-1)\cdot {\begin{vmatrix}3&1&-1\\-5&1&3\\1&-5&3\end{vmatrix}}=2\cdot 16-40+48=40.$ Trečios eilutės antras stulpelis čia lygus 0.

Ketvirtos eilės determinantui naudojamas Minoras (M) tai yra prieš kiekvieną sudėtį yra išbraukiama eilutė ir kiekvienas stulpelis, kur yra skaičius toje eilutėje, arba atvirkščiai jei pasirenkamas pirma stulpelis.