Vektorius

Kitos reikšmės – Vektorius (reikšmės).

Vektorius – matematinis dydis, apibūdinamas reikšme ir kryptimi erdvėje. Grafiškai vektoriai vaizduojami tiesių atkarpomis su rodyklėmis.

Bendriausias vektoriaus pavyzdys fizikoje būtų jėga.

Skaitinių dydžių grupė abibūdinanti pasirinktą objektą gali būti užrašyta sugrupuotų skaičių sąrašu arba kitaip – vektoriumi:

$\mathbf {v} =(v_{1},v_{2},...,v_{n})$.

kur v yra n skaičių vektorius. Išraiškos su vektoriais yra naudojamos siekiant kompaktiškai užrašyti bei patogiai manipuliuoti ilgomis skaičių grupėmis. Kitas vektorinio užrašymo privalumas yra jo geometrinė interpretacija – kiekvieną v galima įsivaizduoti kaip vektorių jungiantį n-matės erdvės koordinačių pradžią su tašku, kurio koordinatės nustatytos nariais sudarančiais v.

Vektoriaus daugyba iš skaliaro

Vienas realaus dydžio skaičius yra vadinamas skaliaru. Vektoriaus daugyba iš skaliaro yra kiekvieno vektoriaus nario daugyba iš skaliaro ir gauta sandauga yra vektorius:

$c\mathbf {v} =(cv_{1},cv_{2},...,cv_{n})$.

Dviejų vektorių suma

Du vektoriai sudedami sudedant kiekvieno iš jų atitinkamus narius: $\mathbf {v} +\mathbf {w} =(v_{1}+w_{1},v_{2}+w_{2},...,v_{n}+w_{n})$. Atkreipkite dėmesį, jog vektorinė sudėtis yra komutatyvi, t. y., v+w=w+v.

Skaliarinė vektorių sandauga

Išsamesnis straipsnis: Skaliarinė sandauga.

Skaliarinės sandaugos savoka yra glaudžiai susijusi su vektoriaus ilgio bei vektoriaus projekcijos sampratomis.

Norint vektorius sudauginti skaliariškai, abu vektoriai turi atitikti, t. y., abiejų vektorių narių skaičius turi būti vienodas. Skaliarinė dviejų vektorių sandauga yra suma visų kiekvieno iš vektoriaus atitinkamų narių sandaugų:

$\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} =\sum _{i=1}^{n}v_{i}\cdot w_{i}=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}+...+v_{n}w_{n}.$

Skaliarinės vektorių sandaugos rezultatas yra ne vektorius, o skaliaras.

Pavyzdžiui, vektorių a=(3, 5, 6) ir b=(4, 0, 1) skaliarinė sandauga lygi:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =3\cdot 4+5\cdot 0+6\cdot 1=12+0+6=18.$

Vektoriaus ilgis

Vektoriaus v ilgis, arba norma, žymimas ||v||, kartais |v|.

Vektoriaus v ilgis gali būti paskaičiuotas naudojant Euklido normą:

$\left\|\mathbf {v} \right\|={\sqrt {v_{1}^{2}+\cdots +v_{n}^{2}}}$.

Tai yra Pitagoro teoremos pasekmė, kadangi vienetiniai baziniai vektoriai e₁, e₂, e₃ yra statmeni. Tai taip pat yra lygu šakniai iš vektoriaus skaliarinės sandaugos su savimi:

$\left\|\mathbf {v} \right\|={\sqrt {\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }}$.

Pavyzdžiui, vektoriaus a=(3, -2, 4) ilgis:

$\left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}={\sqrt {3^{2}+(-2)^{2}+4^{2}}}={\sqrt {29}}.$

Vektoriaus sandaugos su skaliaru duos:

||cv||=c ||v||.

Trikampio nelygybė naudojama apibūdinti dviejų vektorių sumos ilgį:

||v+w||≤||v||+||w||.

Kampas tarp vektorių

Kampas tarp dviejų vektorių yra išreiškiamas per jų skaliarinę sandaugą:

$\cos \phi ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|\cdot \left\|\mathbf {b} \right\|}}$.

$\phi =\arccos {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|\cdot \left\|\mathbf {b} \right\|}}.$

Matome, jog skaliarinė sandauga yra lygi vieno vektoriaus projekcijos į kitą vektorių ilgiui.

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\cdot \left\|\mathbf {b} \right\|\cdot \cos \phi .$

Vektorinė vektorių sandauga

Grafinis vektorinės sandaugos pavaizdavimas

Vektorinės vektorių sandaugos rezultatas yra vektorius. Vektorinė vektorių sandauga turi prasmę tik didesnio nei dviejų matavimų erdvėse.

Vektorių a × b sandauga yra vektorius, statmenas a ir b ir yra aprašytas taip:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\sin(\phi )\,\mathbf {\hat {n}}$

kur φ yra kampas tarp a ir b, o $\mathbf {\hat {n}}$ yra vienetinio ilgio vektorius $(\left\|\mathbf {\hat {n}} \right\|=1)$ statmenas ir a ir b. Šio apibrėžimo problema ta, kad yra du vienetiniai vektoriai, statmeni b ir a.

Ortogonalių vektorių bazė e₁, e₂ , e₃ vadinama dešinine, jei trys vektoriai išsidėstę kaip trys dešinės rankos pirštai (nykštys, smilius ir didysis).a × b vektorinė sandauga yra tokios krypties, kad a ir b bei a × b tampa dešinine sistema (taip pat atkreipkite dėmesį, kad a ir b nebūtinai yra ortogonalūs). Tai dar kitaip vadinama dešinės rankos taisykle.

Kadangi vektorinė sandauga keičia ženklą esant veidrodiniam atspindžiui (P-simetrija), jos rezultatas kartais vadinamas pseudo-vektoriumi.

Vektorinės sandaugos a × b (vektoriaus) ilgis gali būti interpretuojamas kaip plotas lygiagretainio, sudaryto iš kraštinių a ir b.

Pavyzdžiui, duoti vektoriai a=(1, -2, 2), b=(3, 0, -4). Jų vektorinė sandauga lygi

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\1&-2&2\\3&0&-4\end{vmatrix}}=8\mathbf {i} +10\mathbf {j} +6\mathbf {k} =(8,10,6).$

Čia skaičiuodami vektorinę sandaugą formaliai panaudojome determinanto skaičiavimo taisykles. Vektorinės sandaugos modulis yra lygiagretainio plotas, kurį sudaro du vektoriai:

$S=\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|={\sqrt {8^{2}+10^{2}+6^{2}}}={\sqrt {200}}=10{\sqrt {2}}.$

Dedamųjų daugyba:

$\mathbf {i} \times \mathbf {j} =-(\mathbf {j} \times \mathbf {i} )=\mathbf {k} ;$

$\mathbf {j} \times \mathbf {k} =-(\mathbf {k} \times \mathbf {j} )=\mathbf {i} ;$

$\mathbf {k} \times \mathbf {i} =-(\mathbf {i} \times \mathbf {k} )=\mathbf {j} .$

$\mathbf {i} \times \mathbf {i} =\mathbf {j} \times \mathbf {j} =\mathbf {k} \times \mathbf {k} =\mathbf {0} .$

Mišri vektorių sandauga

Mišri vektorių sandauga (a b c) yra apibrėžiama:

$(\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} ={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{z}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}.$

Lygiagretainio gretasienio tūris gali būti skaičiuojamas kaip jį sudarančių 3 vektorių mišri sandauga.

Nuorodos

http://www2.el.vgtu.lt/ssa/sA1node1.html

Susiję straipsniai:

• Vektorių sudėtis;
• Tiesinė algebra.

Vikižodynas