Trikampio nelygybė

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Du trikampio nelygybės pavyzdžiai. Viršutinis brėžinys yra pavyzdys, kai galima pritaikyti griežtą nelygybę, nes visi kampai yra mažesni už 180°. Apatiniame pavyzdyje dviejų kraštinių suma yra lygi trečiajai kraštinei.

Trikampio nelygybė teigia, kad bet kokio trikampio bet kurių dviejų kraštinių ilgių suma yra nemažesnė už trečios kraštinės ilgį.[1] Euklidinėje geometrijoje ir kai kuriose kitose geometrijose tai yra teorema. Euklido geometrijoje dviejų kraštinių ilgių suma yra lygi trečiosios kraštinės ilgiui tada ir tik tada, kai trikampis turi vieną 180° kampą ir du 0° kampus, kaip parodyta apatiniame dešinėje esančio paveikslėlio pavyzdyje.

Normuotoje vektorinėje erdvėje V, trikampio nelygybė yra

t. y. dviejų vektorių sumos norma yra nedidesnė už tų pačių dviejų vektorių normų sumą.

Realiųjų skaičių tiesė yra normuota vektorių erdvė, kurioje norma yra modulis. Taigi, trikampio nelygybė teigia, kad bet kuriems realiesiems skaičiams x ir y galioja nelygybė

Iš atvirkštinės trikampio nelygybės išeina, kad bet kuriems realiesiems skaičiams x ir y galioja ir nelygybė

Euklido geometrija[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

1 pav. Euklido trikampio nelygybės įrodymas Euklidinėje geometrijoje.

Euklidas įrodė trikampio nelygybę atstumams esantiems Euklidinėje geometrijoje,[2] žr. 1 pav. Turimam trikampiui ABC, pratęsiant kraštinę BC sudaromas lygiašonis trikampis, kurio kraštinė BD yra AB pratęsimas. Tada teigiama, kad kampas β yra didesnis negu kampas α, todėl kraštinė AD yra ilgesnė už kraštinę AC. Kadangi AD = AB + BD = AB + BC, tai AB ir BC ilgių suma yra didesnė už AC ilgį. Šis įrodymas yra pateikiamas Euklido Pradmenų 1-ojoje knygoje, kaip 20-asis teiginys.[3]

Šaltiniai[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

  1. Khamsi, Mohamed A.; Kirk, W. A. (2001). An introduction to metric spaces and fixed point theory. New York: John Wiley. ISBN 978-1-118-03307-4. OCLC 761319797.
  2. Harold R. Jacobs (2003). Geometry: seeing, doing, understanding (3rd leid.). Macmillan. p. 201. ISBN 0-7167-4361-2.
  3. David E. Joyce (1997). „Euclid's elements, Book 1, Proposition 20“. Euclid's elements. Dept. Math and Computer Science, Clark University. Nuoroda tikrinta 2010-06-25.