Oilerio formulė

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Peršokti į: navigaciją, paiešką

Oilerio formule vadinama formulė \mathsf{e}^{i \phi} = \cos( \phi ) + i \sin( \phi ), čia i – menamasis vienetas.

Įdomu pastebėti, kad | \mathsf{e}^{i \phi} | =\cos^2( \phi ) +  \sin^2( \phi )= 1.

Iš formulės išplaukia, kad  \mathsf{e}^{i \phi} = \mathsf{e}^{i ( \phi + 2 \pi ) }=\cos(\phi+2\pi) +  i\sin(\phi+2\pi).


Pasiūlė Leonardas Oileris.

Įrodymas[taisyti | redaguoti kodą]

Pasižymime z = \cos x + i \sin x, randame šio dydžio diferencialą:

\mathsf{d}z = ( -\sin x + i \cos x ) \mathsf{d}x = (i \cos x + i^2 \sin x ) \mathsf{d}x = iz \mathsf{d}x

Lygtį galime perrašyti taip:

\frac{\mathsf{d}z}{z} = i \; \mathsf{d}x

Abi puses suintegruojame:

\int \frac{\mathsf{d}z}{z} = i \int \mathsf{d}x
 \ln z = ix + C \quad

Konstantos C vertę gauname paėmę x = 0, tada z = 1,  C = \ln 1 = 0, taigi:

 \ln z = ix \quad .

Iš čia:

\mathsf{e}^{ix} = z
\mathsf{e}^{ix} = \cos x + i \sin x

Formulę taip pat galima įrodyti išskleidus abi lygybės puses Teiloro eilutėmis.