Oilerio formulė

Oilerio formule vadinama formulė ${\mathsf {e}}^{i\phi }=\cos(\phi )+i\sin(\phi )$${\mathsf {e}}^{i\phi }=\cos(\phi )+i\sin(\phi )$, čia i – menamasis vienetas.

Įdomu pastebėti, kad $|{\mathsf {e}}^{i\phi }|=\cos ^{2}(\phi )+\sin ^{2}(\phi )=1$$|{\mathsf {e}}^{i\phi }|=\cos ^{2}(\phi )+\sin ^{2}(\phi )=1$.

Iš formulės išplaukia, kad ${\mathsf {e}}^{i\phi }={\mathsf {e}}^{i(\phi +2\pi )}=\cos(\phi +2\pi )+i\sin(\phi +2\pi )$${\mathsf {e}}^{i\phi }={\mathsf {e}}^{i(\phi +2\pi )}=\cos(\phi +2\pi )+i\sin(\phi +2\pi )$.

Pasiūlė Leonardas Oileris.

Įrodymas

Pasižymime $z=\cos x+i\sin x$$z=\cos x+i\sin x$, randame šio dydžio diferencialą:

${\mathsf {d}}z=(-\sin x+i\cos x){\mathsf {d}}x=(i\cos x+i^{2}\sin x){\mathsf {d}}x=iz{\mathsf {d}}x$${\mathsf {d}}z=(-\sin x+i\cos x){\mathsf {d}}x=(i\cos x+i^{2}\sin x){\mathsf {d}}x=iz{\mathsf {d}}x$

Lygtį galime perrašyti taip:

${\frac {{\mathsf {d}}z}{z}}=i\;{\mathsf {d}}x$${\frac {{\mathsf {d}}z}{z}}=i\;{\mathsf {d}}x$

Abi puses suintegruojame:

$\int {\frac {{\mathsf {d}}z}{z}}=i\int {\mathsf {d}}x$$\int {\frac {{\mathsf {d}}z}{z}}=i\int {\mathsf {d}}x$

$\ln z=ix+C\quad$$\ln z=ix+C\quad$

Konstantos $C$$C$ vertę gauname paėmę $x=0$$x=0$, tada $z=1$$z=1$, $C=\ln 1=0$$C=\ln 1=0$, taigi:

$\ln z=ix\quad$$\ln z=ix\quad$.

Iš čia:

${\mathsf {e}}^{ix}=z$${\mathsf {e}}^{ix}=z$

${\mathsf {e}}^{ix}=\cos x+i\sin x$${\mathsf {e}}^{ix}=\cos x+i\sin x$

Formulę taip pat galima įrodyti išskleidus abi lygybės puses Teiloro eilutėmis.