Oilerio formulė

Oilerio formule vadinama formulė $\mathsf{e}^{i \phi} = \cos( \phi ) + i \sin( \phi )$, čia i – menamasis vienetas.

Įdomu pastebėti, kad $| \mathsf{e}^{i \phi} | =\cos^2( \phi ) + \sin^2( \phi )= 1$.

Iš formulės išplaukia, kad $\mathsf{e}^{i \phi} = \mathsf{e}^{i ( \phi + 2 \pi ) }=\cos(\phi+2\pi) + i\sin(\phi+2\pi)$.

Pasiūlė Leonardas Oileris.

Įrodymas

Pasižymime $z = \cos x + i \sin x$, randame šio dydžio diferencialą:

$\mathsf{d}z = ( -\sin x + i \cos x ) \mathsf{d}x = (i \cos x + i^2 \sin x ) \mathsf{d}x = iz \mathsf{d}x$

Lygtį galime perrašyti taip:

$\frac{\mathsf{d}z}{z} = i \; \mathsf{d}x$

Abi puses suintegruojame:

$\int \frac{\mathsf{d}z}{z} = i \int \mathsf{d}x$

$\ln z = ix + C \quad$

Konstantos $C$ vertę gauname paėmę $x = 0$, tada $z = 1$, $C = \ln 1 = 0$, taigi:

$\ln z = ix \quad$.

Iš čia:

$\mathsf{e}^{ix} = z$

$\mathsf{e}^{ix} = \cos x + i \sin x$

Formulę taip pat galima įrodyti išskleidus abi lygybės puses Teiloro eilutėmis.