Natūrinis logaritmas

ln(x)

Natūrinis logaritmas – toks logaritmas, kurio pagrindas yra iracionalusis skaičius e (apie 2,718281828). Natūrinis logaritmas apibrėžiamas visiems teigiamiems realiesiems skaičiams x ir taip pat gali būti apibrėžiamas nenuliniams kompleksiniams skaičiams. Žymima log_e(x) arba tiesiog ln(a). Kartais ši funkcija vadinama Neperio logaritmu, nes pirmasis ją panaudojo Džonas Neperis.

Apibrėžimai

Formaliai ln(a) gali būti apibrėžta kaip 1/x funkcijos grafiko ribojamas plotas (integralas) intervale nuo 1 iki a:

$\ln(a)=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.$$\ln(a)=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.$

Savybės

• $\ln(1)=0$$\ln(1)=0$
• $\ln(e)=1$$\ln(e)=1$
• $\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y),\quad {\text{kai}}\quad x>0,y>0$$\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y),\quad {\text{kai}}\quad x>0,y>0$
• $\ln(x)<\ln(y)\quad {\rm {kai}}\quad 0<x<y$$\ln(x)<\ln(y)\quad {\rm {kai}}\quad 0<x<y$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1$$\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1$
• $\ln(x^{y})=y\,\ln(x)\quad {\text{kai}}\quad x>0$$\ln(x^{y})=y\,\ln(x)\quad {\text{kai}}\quad x>0$
• ${\frac {x-1}{x}}\leq \ln(x)\leq x-1\quad {\rm {kai}}\quad x>0$${\frac {x-1}{x}}\leq \ln(x)\leq x-1\quad {\rm {kai}}\quad x>0$
• $\ln {(1+x^{\alpha })}\leq \alpha x\quad {\rm {kai}}\quad x\geq 0,\alpha \geq 1$$\ln {(1+x^{\alpha })}\leq \alpha x\quad {\rm {kai}}\quad x\geq 0,\alpha \geq 1$