Faktorialas

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Peršokti į: navigaciją, paiešką

Natūraliojo skaičiaus n faktorialu vadinama visų natūraliųjų skaičių nuo 1 iki n sandauga:

n! = 1 · 2 · 3 · … · n

Sutarta, kad skaičiaus 0 faktorialas lygus 1 (0! = 1).

Formaliai faktorialo funkciją galima apibrėžti taip:


n! = \left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{jei }n\mbox{=0} \\ n \cdot (n-1)!, & \mbox{jei }n\ge\mbox{1} \end{matrix}\right.

Apytiksliai suskaičiuoti didelių skaičių faktorialą galima naudojant Stirlingo formulę.

Pavyzdžiai[taisyti | redaguoti kodą]

Pirmųjų dešimties natūraliųjų skaičių faktorialų reikšmės:


Faktorialas Reikšmė
1! 1
2! 2
3! 6
4! 24
5! 120
6! 720
7! 5040
8! 40320
9! 362880
10! 3628800

Gama funkcija[taisyti | redaguoti kodą]

Gama funkcijos reikšmės išilgai realiosios ašies.

Faktorialo funkcija gali būti apibrėžta ir ne sveikiesiems skaičiams. Tokia funkcija yra vadinama gama funkcija ir yra žymima \Gamma(z), kai z nėra 0 arba sveikas neigiamas skaičius

\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty} t^{z-1} e^{-t}\, \mathrm{d}t. \!

Pirmasis tokį pažymėjimą įvedė Andre-Mari Ležandras. Pirminis Eulerio gama funkcijos apibrėžimas buvo:

\Gamma(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n^zn!}{\prod_{k=0}^n(z+k)}. \!

Gama funkcija kaip ir faktorialas tenkina tokius pat rekursyvinius sąryšius:

n!=n(n-1)! \,
\Gamma(n+1)=n\Gamma(n) \,

Kartu su \Gamma(1)=1:

 \Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-t} dt = \lim_{k \rightarrow \infty} -e^{-t} |_0^k = -0 - (-1) = 1 ,

gama funkcija yra taip susijusi su faktorialu:

\Gamma(n+1) = n \, \Gamma(n) = \cdots = n! \, \Gamma(1) = n!\,

Taip pat

\left (\frac{1}{2}\right )! = \frac{\sqrt{\pi}}{2}

ir bet kokį pusinį faktorialą galime užrašyti taip:

\left (n+\frac{1}{2}\right )!=\sqrt{\pi}\times \prod_{k=0}^n {2k + 1 \over 2}.

Pavyzdžiui,

3.5! = \sqrt{\pi} \cdot {1\over 2}\cdot{3\over2}\cdot{5\over2}\cdot{7\over2} \approx 11.63.

Faktiškai gama funkcija yra apibrėžta visiems kompleksiniams skaičiams, išskyrus nulį ir neigiamus sveikus skaičius.

Gama funkcijos taikymai[taisyti | redaguoti kodą]

  • n - matės hipersferos tūris gali būti apskaičiuotas pasinaudojant gama funkcija:
V_n={\pi^{n/2}R^n\over \Gamma((n/2)+1)}.


Nuorodos[taisyti | redaguoti kodą]