Faktorialas

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Peršokti į: navigaciją, paiešką
Kai kurių skaičių faktorialai
n n!
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5 040
8 40 320
9 362 880
10 3 628 800
16 20 922 789 888 000
20 2 432 902 008 176 640 000

Natūraliojo skaičiaus n faktorialu vadinama visų natūraliųjų skaičių nuo 1 iki n sandauga, pavyzdžiui:

5! = 5  \times  4  \times  3  \times  2  \times  1 = 120.  \

Sutarta, kad skaičiaus 0 faktorialas lygus 1 (0! = 1) (tuščioji sandauga). Matematikoje sandauga kurioje nėra dauginamųjų laikoma lygia vienetui (suma, kurioje nėra sudedamųjų, laikoma lygia nuliui).[1]

Formalūs apibrėžimai[taisyti | redaguoti kodą]

Formaliai faktorialo funkciją galima apibrėžti kaip:

 n!=\prod_{k=1}^n k \!

arba


n! = \left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{jei }n\mbox{=0} \\ n \cdot (n-1)!, & \mbox{jei }n\ge\mbox{1} \end{matrix}\right.

Apytiksliai suskaičiuoti didelių skaičių faktorialą galima naudojant Stirlingo formulę.

Gama funkcija[taisyti | redaguoti kodą]

Gama funkcijos reikšmės kompleksiniam argumentui z (modulis). R - realioji komponentė, J - menamoji.
Gama funkcijos reikšmės išilgai realiosios ašies.

Faktorialo funkcija gali būti apibrėžta ir ne sveikiesiems skaičiams. Tokia funkcija yra vadinama gama funkcija ir yra žymima \Gamma(z), kai z nėra 0 arba sveikas neigiamas skaičius. Gama funkcija yra apibrėžta visiems kompleksiniams skaičiams, išskyrus nulį ir neigiamus sveikus skaičius.

\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty} t^{z-1} e^{-t}\, \mathrm{d}t. \!

Pirmasis tokį pažymėjimą įvedė Andre-Mari Ležandras. Pirminis Eulerio gama funkcijos apibrėžimas buvo:

\Gamma(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n^zn!}{\prod_{k=0}^n(z+k)}. \!

Gama funkcija kaip ir faktorialas tenkina tokius pat rekursyvinius sąryšius:

n!=n(n-1)! \,
\Gamma(n+1)=n\Gamma(n) \,

Kartu su \Gamma(1)=1:

 \Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-t} dt = \lim_{k \rightarrow \infty} -e^{-t} |_0^k = -0 - (-1) = 1 ,

gama funkcija yra taip susijusi su faktorialu:

\Gamma(n+1) = n \, \Gamma(n) = \cdots = n! \, \Gamma(1) = n!\,

Taip pat

\left (\frac{1}{2}\right )! = \frac{\sqrt{\pi}}{2}

ir bet kokį pusinį faktorialą galime užrašyti taip:

\left (n+\frac{1}{2}\right )!=\sqrt{\pi}\times \prod_{k=0}^n {2k + 1 \over 2}.

Pavyzdžiui,

3.5! = \sqrt{\pi} \cdot {1\over 2}\cdot{3\over2}\cdot{5\over2}\cdot{7\over2} \approx 11.63.

Gama funkcijos taikymai[taisyti | redaguoti kodą]

  • n - matės hipersferos tūris gali būti apskaičiuotas pasinaudojant gama funkcija:
V_n={\pi^{n/2}R^n\over \Gamma((n/2)+1)}.

Nuorodos[taisyti | redaguoti kodą]

Šaltiniai[taisyti | redaguoti kodą]

  1. Jaroslav Nešetřil, Jiří Matoušek (1998). Invitation to Discrete Mathematics. Oxford University Press, 12. Knygos ISBN Lietuvoje yra „ISBN 0-19-850207-9“..