Atvirkštinis skaičius

Atvirkštinė funkcija: y = 1/x. Kiekvienam x, išskyrus 0, y reiškia jo atvirkštinį skaičių. Grafikas sudaro stačiakampę hiperbolę.

Matematikoje skaičius a yra atvirkštinis skaičius kitam skaičiui b, jei jų sandauga a*b yra lygi vienetui. Skaičiaus x atvirkštinis skaičius yra 1/x, nes x*(1/x) = 1. Pavyzdžiai: 5 ir 1/5; -2/5 ir -5/2 yra vienas kitam atvirkštinių skaičių poros, nes jų sandauga lygi 1.

Norint realiajam skaičiui rasti atvirkštinį skaičių, reikia vienetą padalinti iš minėto skaičiaus. Daugyba iš skaičiaus yra tas pats, kas dalyba iš to skaičiaus atvirkštinio skaičiaus ir atvirkščiai. Pavyzdžiui, padauginus iš 4/5 (arba 0,8), bus gautas toks pat rezultatas, kaip ir padalijus iš 5/4 (arba 1,25). Todėl padauginus iš skaičiaus, o po to padauginus iš jo atvirkštinio skaičiaus, yra gaunamas pradinis skaičius (nes skaičiaus ir jo atvirkštinio skaičiaus sandauga yra lygi 1).

Funkcijos $y=f(x)$ atvirkštinė funkcija yra tokia funkcija, kuri kiekvienai y reikšmei priskiria reikšmę x, dažnai tokia funkcija žymima $x=g(y)$. Vienas iš paprasčiausių atvirkštinės funkcijos pavyzdžių yra f(x) = 1/x, kurios grafikas yra hiperbolė.

Skaičių a padauginus su jo atvirkštiniu skaičiumi b, jų sandauga a*b yra lygi vienetui. Susijusi sąvoka yra priešingasis skaičius, kuris yra gaunamas prie skaičiaus a pridėjus minuso ženklą: -a. Sudėjus skaičių su jo priešingu skaičiumi, gauname nulį.

Kompleksiniai skaičiai

Kiekvienam nenuliniam kompleksiniam skaičiui atvirkštinis skaičius z = a + bi yra kompleksinis. Jį galima rasti padauginus 1/z skaitiklį ir vardiklį iš jo kompleksinio susijusio skaičiaus ${\bar {z}}=a-bi$ ir naudojant savybę, kad $z{\bar {z}}=\|z\|^{2}$, z modulis kvardratu, kas yra realusis skaičius a² + b²:

${\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{\|z\|^{2}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i.$

Atlikus veiksmą

${\frac {\bar {z}}{\|z\|}}$

gauname kompleksinį susijusį skaičių, kurio dydis yra sumažintas iki $1$ reikšmės, todėl dalinant vėl iš $\|z\|$, gauname, kad reikšmė taip pat yra lygi pradinio dydžio atvirkštinei reikšmei, taigi:

${\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{\|z\|^{2}}}$

Jeigu ||z||=1 (z yra vieneto dydžio), tada $1/z={\bar {z}}$. Vadinasi, menamųjų vienetų ±i atvirkštinis skaičius yra lygus priešingajam skaičiui, ir yra vieninteliai skaičiai, turintys šią savybę.^{[paaiškinti]} Pavyzdžiui, i atvirkštiniai ir priešingieji skaičiai yra −(i) = −i ir 1/i = −i, atitinkamai.

Kompleksiniam skaičiui polinėje poroje^{[paaiškinti]} z = r(cos φ + i sin φ), atvirkštinis skaičius tiesiog turi priešingą dydį ir neigiamą kampą:

${\frac {1}{z}}={\frac {1}{r}}\left(\cos(-\varphi )+i\sin(-\varphi )\right).$

Geometrinė sudėtis integralui 1/x. Trys integralai nuo 1 iki 2, nuo 2 iki 4 ir nuo 4 iki 8 yra lygūs. Kiekvienas regionas yra ankstesnis regionas, padalytas per pusę vertikaliai ir padvigubintas horizontaliai. Išplečiant tai, integralas nuo 1 iki 2^k yra k kartų didesnis nei integralas nuo 1 iki 2, lygiai taip pat, kaip ln 2^k = k ln 2.

Integralinis ir diferencialinis skaičiavimas

Integraliniame ir diferencialiniame skaičiavime, 1/x = x⁻¹ išvestinė yra gaunama pagal laipsnio taisyklę su laipsniu −1:

${\frac {d}{dx}}x^{-1}=(-1)x^{(-1)-1}=-x^{-2}=-{\frac {1}{x^{2}}}.$

Laipsnio taisyklė integralams negali būti naudojama skaičiuoti 1/x integralą, kadangi taip darant būtų gaunama dalyba iš 0: $$\int {\frac {dx}{x}}={\frac {x^{0}}{0}}+C$$ Vietoj to, integralas yra gaunamas: $$\int _{1}^{a}{\frac {dx}{x}}=\ln a,$$ $$\int {\frac {dx}{x}}=\ln x+C.$$ kur ln yra natūrinis logaritmas. Norint tai parodyti, yra žinoma, kad ${\textstyle {\frac {d}{dy}}e^{y}=e^{y}}$, todėl jeigu $x=e^{y}$ ir $y=\ln x$, gauname: $${\begin{aligned}&{\frac {dx}{dy}}=x\quad \Rightarrow \quad {\frac {dx}{x}}=dy\\[10mu]&\quad \Rightarrow \quad \int {\frac {dx}{x}}=\int dy=y+C=\ln x+C.\end{aligned}}$$