
-
hiperbolė. x ir y ašys yra asimptotės.
Asimptotė – tiesė vadinama kreivės y=f(x) asimptote, jei kreivės taško M atstumas iki tiesės, judant taškui M kuria nors kreivės šaka į begalybę, artėja prie nulio.
- Jei
lygi
ar
, tai x=a - vertikalioji asimptotė.
- Jei
tai tiesė y=A - horizontalioji asimptotė.
- Jei
,
tai tiesė y=kx+b - pasviroji asimptotė.
Funkcija gali vienu metu turėti vertikalias, horizontalias ir pasvirąsias asimptotes, pvz.,

Kreivė gali kirsti savo asimptotę be galo daug kartų.
- Rasime kreivės
asimptotes.
Funkcija
neapibrėžta tik kai x=0,
taigi jos grafikas turi vertikaliąją asimptotę x=0. Ieškosime pasvirųjų ir horizontaliųjų asimptočių. Kadangi

tai horizontalių asimptočių nėra. Kadangi
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }[f(x)-kx]=\lim _{x\to \infty }\left({\frac {x^{2}+1}{x}}-x\right)=0=b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95b17d4730f413cf094fd103a27c557b6b228870)
tai tiesė y=x yra pasviroji asimptotė abiem kreivės šakoms ir kai
ir kai
- Rasime kreivės
asimptotes.
Kreivė turi dvi vertikaliasias asimptotes
, kadangi

Kadangi

![{\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }[f(x)-kx]=\lim _{x\to \pm \infty }\left({\frac {x^{3}}{1-x^{2}}}+x\right)=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {x}{1-x^{2}}}=0(=b),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee66b9357ad571234eec562672aa13cf3d78500d)
tai tiesė y=-x yra pasviroji asimptotė.
- Raskime funkcijos
asimptotes.
Vertikalioji asimptotė - tiesė x=-7, nes
Apskaičiuosime koeficientus:
Todėl pasvirosios asimptotės lygtis tokia:
- Raskime kreivės
asimptotes.
Kadangi
tai tiesė x=3 yra vertikalioji asimptotė. Kadangi
tai tiesė y=5 yra horizontalioji asimptotė. Kadangi
tai pasvirųjų asimptočių nėra.
- Rasime kreivės
asimptotes.
Kadangi
tai x=3 yra vertikalioji asimptotė. Kadangi
tai horizontaliųjų asimptočių nėra. Raskime pasvirosios asimptotės koeficientus k ir b:


Pasviroji asimptotė yra
- Raskime funkcijos
asimptotes.
Tiesės
yra vertikaliosios asimptotės, nes

Kadangi
tai horizontaliųjų asimptočių nėra.
Kadangi

tai tiesė
yra pasviroji asimptotė.
- Rasime kreivės
asimptotes.
Kadangi
tai tiesė
yra vertikalioji asimptotė. Kadangi
tai horizontaliųjų asimptočių nėra.

![{\displaystyle b=\lim _{x\to \pm \infty }[f(x)-kx]=\lim _{x\to \pm \infty }\left[{\frac {x^{3}}{2(x+1)^{2}}}-{\frac {1}{2}}x\right]={\frac {1}{2}}\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {x^{3}-x(x^{2}+2x+1)}{(x+1)^{2}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6efa0104fa340d35b3e9437ac960669a58b98178)

Vadinasi, kreivė turi pasvirąją asimptotę
- Raskime kreivės
asimptotes.
todėl tiesės
ir
yra vertikaliosios asimptotės.
Kadangi

![{\displaystyle b=\lim _{x\to +\infty }[f(x)-kx]=\lim _{x\to +\infty }\left({\frac {x^{2}}{\sqrt {x^{2}-1}}}-x\right)=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x(x-{\sqrt {x^{2}-1}})}{\sqrt {x^{2}-1}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4446b39fa945f4867b9d34b80be09231ffa834d4)

tai tiesė
yra pasviroji asimptotė. Be to

![{\displaystyle b=\lim _{x\to -\infty }[f(x)-kx]=\lim _{x\to -\infty }\left({\frac {x^{2}}{\sqrt {x^{2}-1}}}-(-1)\cdot x\right)=\lim _{x\to -\infty }{\frac {x(x+{\sqrt {x^{2}-1}})}{\sqrt {x^{2}-1}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6143a770892c70857c52f0a108963ed3e977d5e)

todėl ir tiesė
yra pasviroji asimptotė.