Asimptotė

$f(x)={\tfrac {1}{x}}$$f(x)={\tfrac {1}{x}}$ - hiperbolė. x ir y ašys yra asimptotės.

Asimptotė - tiesė vadinama kreivės y=f(x) asimptote, jei kreivės taško M atstumas iki tiesės, judant taškui M kuria nors kreivės šaka į begalybę, artėja prie nulio.

1. Jei $\lim _{x\to a+0(a-0)}f(x)$$\lim _{x\to a+0(a-0)}f(x)$ lygi $+\infty$$+\infty$ ar $-\infty$$-\infty$, tai x=a - vertikalioji asimptotė.
2. Jei $\lim _{x\to +\infty (-\infty )}f(x)=A,$$\lim _{x\to +\infty (-\infty )}f(x)=A,$ tai tiesė y=A - horizontalioji asimptotė.
3. Jei $\lim _{x\to +\infty (-\infty )}{\frac {f(x)}{x}}=k(\not =0)$$\lim _{x\to +\infty (-\infty )}{\frac {f(x)}{x}}=k(\not =0)$, $\lim _{x\to +\infty (-\infty )}[f(x)-kx]=b,$$\lim _{x\to +\infty (-\infty )}[f(x)-kx]=b,$ tai tiesė y=kx+b - pasviroji asimptotė.

Pavyzdžiai

Funkcija gali vienu metu turėti vertikalias, horizontalias ir pasvirąsias asimptotes, pvz., $y=x^{|x|/x}+1/x.$$y=x^{|x|/x}+1/x.$

Kreivė gali kirsti savo asimptotę be galo daug kartų.

• Rasime kreivės $y={\frac {x^{2}+1}{x}}$$y={\frac {x^{2}+1}{x}}$ asimptotes.

Funkcija ${\frac {x^{2}+1}{x}}$${\frac {x^{2}+1}{x}}$ neapibrėžta tik kai x=0, $\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}+1}{x}}=\infty ,$$\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}+1}{x}}=\infty ,$ taigi jos grafikas turi vertikaliąją asimptotę x=0. Ieškosime pasvirųjų ir horizontaliųjų asimptočių. Kadangi

$\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{2}+1}{x^{2}}}=1(=k\not =0)$$\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{2}+1}{x^{2}}}=1(=k\not =0)$

tai horizontalių asimptočių nėra. Kadangi

$\lim _{x\to \infty }[f(x)-kx]=\lim _{x\to \infty }\left({\frac {x^{2}+1}{x}}-x\right)=0=b,$$\lim _{x\to \infty }[f(x)-kx]=\lim _{x\to \infty }\left({\frac {x^{2}+1}{x}}-x\right)=0=b,$

tai tiesė y=x yra pasviroji asimptotė abiem kreivės šakoms ir kai $x\rightarrow +\infty ,$$x\rightarrow +\infty ,$ ir kai $x\rightarrow -\infty .$$x\rightarrow -\infty .$

• Rasime kreivės $y={\frac {x^{3}}{1-x^{2}}}$$y={\frac {x^{3}}{1-x^{2}}}$ asimptotes.

Kreivė turi dvi vertikaliasias asimptotes $x=\pm 1$$x=\pm 1$, kadangi

$\lim _{x\to \pm 1}{\frac {x^{3}}{1-x^{2}}}=\infty .$$\lim _{x\to \pm 1}{\frac {x^{3}}{1-x^{2}}}=\infty .$

Kadangi

$\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {f(x)}{x}}=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {x^{3}}{x(1-x^{2})}}=-1(=k),$$\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {f(x)}{x}}=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {x^{3}}{x(1-x^{2})}}=-1(=k),$

$\lim _{x\to \pm \infty }[f(x)-kx]=\lim _{x\to \pm \infty }\left({\frac {x^{3}}{1-x^{2}}}+x\right)=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {x}{1-x^{2}}}=0(=b),$$\lim _{x\to \pm \infty }[f(x)-kx]=\lim _{x\to \pm \infty }\left({\frac {x^{3}}{1-x^{2}}}+x\right)=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {x}{1-x^{2}}}=0(=b),$

tai tiesė y=-x yra pasviroji asimptotė.

• Raskime funkcijos $y={\frac {-x^{2}-3x+2}{x+7}}$$y={\frac {-x^{2}-3x+2}{x+7}}$ asimptotes.

Vertikalioji asimptotė - tiesė x=-7, nes $\lim _{x\to -7\pm 0}y=\pm \infty .$$\lim _{x\to -7\pm 0}y=\pm \infty .$

Apskaičiuosime koeficientus:

$k=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {-x^{2}-3x+2}{(x+7)\cdot x}}=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {x^{2}(-x^{2}/x^{2}-3x/x^{2}+2/x^{2})}{x^{2}(x^{2}/x^{2}+7x/x^{2})}}={\frac {-1-0+0}{1+0}}=-1,$$k=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {-x^{2}-3x+2}{(x+7)\cdot x}}=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {x^{2}(-x^{2}/x^{2}-3x/x^{2}+2/x^{2})}{x^{2}(x^{2}/x^{2}+7x/x^{2})}}={\frac {-1-0+0}{1+0}}=-1,$

$b=\lim _{x\to \pm \infty }\left({\frac {-x^{2}-3x+2}{x+7}}-(-1)\cdot x\right)=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {4x+2}{x+7}}=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {x(4x/x+2/x)}{x(x/x+7/x)}}=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {4+2/x}{1+7/x}}=4.$$b=\lim _{x\to \pm \infty }\left({\frac {-x^{2}-3x+2}{x+7}}-(-1)\cdot x\right)=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {4x+2}{x+7}}=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {x(4x/x+2/x)}{x(x/x+7/x)}}=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {4+2/x}{1+7/x}}=4.$ Todėl pasvirosios asimptotės lygtis tokia: $y=-x+4.$$y=-x+4.$

• Raskime kreivės $y={\frac {5x}{x-3}}$$y={\frac {5x}{x-3}}$ asimptotes.

Kadangi $\lim _{x\to 3}{\frac {5x}{x-3}}=\infty ,$$\lim _{x\to 3}{\frac {5x}{x-3}}=\infty ,$ tai tiesė x=3 yra vertikalioji asimptotė. Kadangi $\lim _{x\to \infty }{\frac {5x}{x-3}}=5,$$\lim _{x\to \infty }{\frac {5x}{x-3}}=5,$ tai tiesė y=5 yra horizontalioji asimptotė. Kadangi $\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {5}{x-3}}=0,$$\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {5}{x-3}}=0,$ tai pasvirųjų asimptočių nėra.

• Rasime kreivės $y={\frac {x^{2}-6x+3}{x-3}}$$y={\frac {x^{2}-6x+3}{x-3}}$ asimptotes.

Kadangi $\lim _{x\to 3}{\frac {x^{2}-6x+3}{x-3}}=\infty ,$$\lim _{x\to 3}{\frac {x^{2}-6x+3}{x-3}}=\infty ,$ tai x=3 yra vertikalioji asimptotė. Kadangi $\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{2}-6x+3}{x-3}}=\infty ,$$\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{2}-6x+3}{x-3}}=\infty ,$ tai horizontaliųjų asimptočių nėra. Raskime pasvirosios asimptotės koeficientus k ir b:

$k=\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{2}-6x+3}{x(x-3)}}=1,$$k=\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{2}-6x+3}{x(x-3)}}=1,$

$b=\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{2}-6x+3}{x-3}}-x=\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{2}-6x+3-x^{2}+3x}{x-3}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {-3x+3}{x-3}}=-3.$$b=\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{2}-6x+3}{x-3}}-x=\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{2}-6x+3-x^{2}+3x}{x-3}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {-3x+3}{x-3}}=-3.$

Pasviroji asimptotė yra $y=x-3.$$y=x-3.$

• Raskime funkcijos $y={\frac {2x^{3}}{x^{2}-4}}$$y={\frac {2x^{3}}{x^{2}-4}}$ asimptotes.

Tiesės $x=\pm 2$$x=\pm 2$ yra vertikaliosios asimptotės, nes

$\lim _{x\to \pm 2}{\frac {2x^{3}}{x^{2}-4}}=\infty .$$\lim _{x\to \pm 2}{\frac {2x^{3}}{x^{2}-4}}=\infty .$

Kadangi $\lim _{x\to \infty }{\frac {2x^{3}}{x^{2}-4}}=\infty ,$$\lim _{x\to \infty }{\frac {2x^{3}}{x^{2}-4}}=\infty ,$ tai horizontaliųjų asimptočių nėra. Kadangi

$k=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {y}{x}}=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {2x^{2}}{x^{2}-4}}=2,\qquad b=\lim _{x\to \pm \infty }(y-2x)=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {8x}{x^{2}-4}}=0,$$k=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {y}{x}}=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {2x^{2}}{x^{2}-4}}=2,\qquad b=\lim _{x\to \pm \infty }(y-2x)=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {8x}{x^{2}-4}}=0,$

tai tiesė $y=2x$$y=2x$ yra pasviroji asimptotė.

• Rasime kreivės $y={\frac {x^{3}}{2(x+1)^{2}}}$$y={\frac {x^{3}}{2(x+1)^{2}}}$ asimptotes.

Kadangi $\lim _{x\to -1\pm 0}y=-\infty ,$$\lim _{x\to -1\pm 0}y=-\infty ,$ tai tiesė $x=-1$$x=-1$ yra vertikalioji asimptotė. Kadangi $\lim _{x\to \pm \infty }y=\pm \infty ,$$\lim _{x\to \pm \infty }y=\pm \infty ,$ tai horizontaliųjų asimptočių nėra.

$k=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {f(x)}{x}}=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {x^{2}}{2(x+1)^{2}}}={\frac {1}{2}},$$k=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {f(x)}{x}}=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {x^{2}}{2(x+1)^{2}}}={\frac {1}{2}},$

$b=\lim _{x\to \pm \infty }[f(x)-kx]=\lim _{x\to \pm \infty }\left[{\frac {x^{3}}{2(x+1)^{2}}}-{\frac {1}{2}}x\right]={\frac {1}{2}}\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {x^{3}-x(x^{2}+2x+1)}{(x+1)^{2}}}=$$b=\lim _{x\to \pm \infty }[f(x)-kx]=\lim _{x\to \pm \infty }\left[{\frac {x^{3}}{2(x+1)^{2}}}-{\frac {1}{2}}x\right]={\frac {1}{2}}\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {x^{3}-x(x^{2}+2x+1)}{(x+1)^{2}}}=$

$={\frac {1}{2}}\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {-2x^{2}-x}{(x+1)^{2}}}=-1.$$={\frac {1}{2}}\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {-2x^{2}-x}{(x+1)^{2}}}=-1.$

Vadinasi, kreivė turi pasvirąją asimptotę $y={\frac {1}{2}}x-1.$$y={\frac {1}{2}}x-1.$

• Raskime kreivės $y={\frac {x^{2}}{\sqrt {x^{2}-1}}}$$y={\frac {x^{2}}{\sqrt {x^{2}-1}}}$ asimptotes.

$\lim _{x\to \pm 1\pm 0}f(x)=\infty ,$$\lim _{x\to \pm 1\pm 0}f(x)=\infty ,$ todėl tiesės $x=-1$$x=-1$ ir $x=1$$x=1$ yra vertikaliosios asimptotės. Kadangi

$k=\lim _{x\to +\infty }{\frac {f(x)}{x}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}=1,$$k=\lim _{x\to +\infty }{\frac {f(x)}{x}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}=1,$

$b=\lim _{x\to +\infty }[f(x)-kx]=\lim _{x\to +\infty }\left({\frac {x^{2}}{\sqrt {x^{2}-1}}}-x\right)=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x(x-{\sqrt {x^{2}-1}})}{\sqrt {x^{2}-1}}}=$$b=\lim _{x\to +\infty }[f(x)-kx]=\lim _{x\to +\infty }\left({\frac {x^{2}}{\sqrt {x^{2}-1}}}-x\right)=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x(x-{\sqrt {x^{2}-1}})}{\sqrt {x^{2}-1}}}=$

$=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x(x^{2}-(x^{2}-1))}{{\sqrt {x^{2}-1}}(x+{\sqrt {x^{2}-1}})}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{{\sqrt {x^{2}-1}}(1+{\sqrt {1-1/x^{2}}})}}=0,$$=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x(x^{2}-(x^{2}-1))}{{\sqrt {x^{2}-1}}(x+{\sqrt {x^{2}-1}})}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{{\sqrt {x^{2}-1}}(1+{\sqrt {1-1/x^{2}}})}}=0,$

tai tiesė $y=x$$y=x$ yra pasviroji asimptotė. Be to

$k=\lim _{x\to -\infty }{\frac {f(x)}{x}}=\lim _{x\to -\infty }{\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}=-1;$$k=\lim _{x\to -\infty }{\frac {f(x)}{x}}=\lim _{x\to -\infty }{\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}=-1;$

$b=\lim _{x\to -\infty }[f(x)-kx]=\lim _{x\to -\infty }\left({\frac {x^{2}}{\sqrt {x^{2}-1}}}-(-1)\cdot x\right)=\lim _{x\to -\infty }{\frac {x(x+{\sqrt {x^{2}-1}})}{\sqrt {x^{2}-1}}}=$$b=\lim _{x\to -\infty }[f(x)-kx]=\lim _{x\to -\infty }\left({\frac {x^{2}}{\sqrt {x^{2}-1}}}-(-1)\cdot x\right)=\lim _{x\to -\infty }{\frac {x(x+{\sqrt {x^{2}-1}})}{\sqrt {x^{2}-1}}}=$

$=\lim _{x\to -\infty }{\frac {x}{{\sqrt {x^{2}-1}}(x-{\sqrt {x^{2}-1}})}}=\lim _{x\to -\infty }{\frac {-|x|}{{\sqrt {x^{2}-1}}(-|x|-{\sqrt {x^{2}-1}})}}=$$=\lim _{x\to -\infty }{\frac {x}{{\sqrt {x^{2}-1}}(x-{\sqrt {x^{2}-1}})}}=\lim _{x\to -\infty }{\frac {-|x|}{{\sqrt {x^{2}-1}}(-|x|-{\sqrt {x^{2}-1}})}}=$

$=\lim _{x\to -\infty }{\frac {|x|}{{\sqrt {x^{2}-1}}(|x|+{\sqrt {x^{2}-1}})}}=\lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{{\sqrt {x^{2}/x^{2}-1/x^{2}}}(|x|+{\sqrt {x^{2}-1}})}}=0,$$=\lim _{x\to -\infty }{\frac {|x|}{{\sqrt {x^{2}-1}}(|x|+{\sqrt {x^{2}-1}})}}=\lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{{\sqrt {x^{2}/x^{2}-1/x^{2}}}(|x|+{\sqrt {x^{2}-1}})}}=0,$ todėl ir tiesė $y=-x$$y=-x$ yra pasviroji asimptotė.