Vektorius

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.

Kitos reikšmės – Vektorius (reikšmės).

Vektorius – matematinis dydis, apibūdinamas reikšme ir kryptimi erdvėje. Grafiškai vektoriai vaizduojami tiesių atkarpomis su rodyklėmis.

Bendriausias vektoriaus pavyzdys fizikoje būtų jėga.

Skaitinių dydžių grupė abibūdinanti pasirinktą objektą gali būti užrašyta sugrupuotų skaičių sąrašu arba kitaip -- vektoriumi:

v = (v 1, v 2,..., v n)

kur v yra d skaičių vektorius. Išraiškos su vektoriais yra naudojamos siekiant kompaktiškai užrašyti bei patogiai manipuliuoti ilgomis skaičių grupėmis. Kitas vektorinio užrašymo privalumas yra jo geometrinė interpretacija -- kiekvieną v galima įsivaizduoti kaip vektorių jungiantį n-matės erdvės koordinačių pradžią su tašku, kurio koordinatės nustatytos nariais sudarančiais v.

[taisyti] Vektoriaus daugyba iš skaliaro

Vienas realaus dydžio skaičius yra vadinamas skaliaru. Vektoriaus daugyba iš skaliaro yra kiekvieno vektoriaus nario daugyba iš skaliaro:

c v = (c v 1, c v 2,..., c v n)

[taisyti] Dviejų vektorių suma

Du vektoriai sudedami sudedant kiekvieno iš jų atitinkamus narius: $v + w = (v 1 + w 1, v 2 + w 2,..., v n + w n)$ . Atkreipkite dėmesį, jog vektorinė sudėtis yra komutatyvi, t.y., v+w=w+v.

[taisyti] Skaliarinė vektorių sandauga

Išsamesnis straipsnis: Skaliarinė sandauga.

Skaliarinės sandaugos savoka yra glaudžiai susijusi su vektoriaus ilgio bei vektoriaus projekcijos sampratomis.

Norint vektorius sudauginti skaliariškai, abu vektoriai turi atitikti, t.y., abiejų vektorių narių skaičius turi būti vienodas. Skaliarinė dviejų vektorių sandauga yra suma visų kiekvieno iš vektoriaus atitinkamų narių sandaugų:

$v \cdot w=\sum_{i=1}^n v_i\cdot w_i = v_1 w_1 + v_2 w_2 + v_3 w_3 + ... + v_n w_n .$

Skaliarinės vektorių sandaugos rezultatas yra ne vektorius, o skaliaras.

Pavyzdžiui, yra vektoriai a(3; 5; 6) ir b(4; 0; 1), tai jų skaliarinė sandauga bus lygi:

$a\cdot b=3\cdot 4+5\cdot 0+6\cdot 1=12+0+6=18.$

[taisyti] Vektoriaus ilgis

Išnagrinėkime atvejį, kai atliekama vektoriaus skaliarinė sandauga su juo pačiu. Plokštumos (2-matės erdvės) bei įprastos koordinačių sistemos atveju turėsime:

$v \cdot v= (v_1)^2 + (v_2)^2$ .

Prisiminus Pitagoro teoremą, teigiančią, jog stataus trikampio įstrižainės ilgio kvadratas yra lygus trikampio kraštinių ilgių kvadratų sumai, tampa natūralus toks vektoriaus ilgio apibūdinimas:

$|v|=\sqrt{v \cdot v}$ .

Atkreipkite dėmesį, jog jei nors vienas iš vektoriaus narių bus didesnis nei kiti, tai jo pakėlimas kvadratu lems viso vektoriaus ilgį.

Pavyzdžiui, vektoriaus a(3; -2; 4) ilgis:

$|a|=\sqrt{a\cdot a}=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}=\sqrt{3^2+(-2)^2+4^2}=\sqrt{9+4+16}=\sqrt{29}\approx 5.385.$

Pavyzdžiui, žinomos vektoriaus pradžios A(3; 2; -4) ir galo B(6; -5; -2) koordinatės. Tada vektoriaus ilgis bus

$|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}=\sqrt{(6-3)^2+(-5-2)^2+(-4+2)^2}=$

$=\sqrt{9+49+4}=\sqrt{62}\approx 7.874.$

Jeigu vektoriaus pradžios koordinatės A(0; 0; 0), o galo koordinatės B(6; -5; -2), tai vektoriaus AB ilgis bus:

$|AB|=\sqrt{(6-0)^2+(-5-0)^2+(-2-0)^2}=\sqrt{36+25+4}=\sqrt{65}\approx 8.062.$

Vektoriaus sandaugos su skaliaru duos:

|cv|=c |v|.

Trikampio nelygybė naudojama apibūdinti dviejų vektorių sumos ilgį:

|v+w|<=|v|+|w|.

[taisyti] Atstumas tarp vektorių

Atstumas tarp vieno vektoriaus galo ir kito vektoriaus galo (atstumas tarp dviejų taškų n-matėje koordinačių sistemoje) matuojamas pagal formulę:

$\|v - w\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n (v_i - w_i)^2}=\sqrt{(v_1 - w_1)^2 + (v_2 - w_2)^2 +...+ (v_n - w_n)^2} .$

Pavyzdžiai

Turime vektorius v=[3, 6], w=[7, 4]. Atstumas tarp jų galų:

$\sqrt{(3 - 7)^2 + (6 - 4)^2} =\sqrt{20}\approx 4,47 .$

Rasime trikampio, esančio trimatėje erdvėje, plotą. Trikampio viršunių koordinates (x; y; z) yra tokios: A(8; 3; -3); B(3; 2; -1); C(4; 0; -3). Dabar reikia surasti tiesių ilgius AB, AC ir BC:

$a=AB=\sqrt{(8-3)^2+(3-2)^2+(-3-(-1))^2}=\sqrt{25+1+4}=\sqrt{30}\approx 5.477,$

$b=AC=\sqrt{(8-4)^2+(3-0)^2+(-3-(-3))^2}=\sqrt{16+9+0}=\sqrt{25}=5,$

$c=BC=\sqrt{(3-4)^2+(2-0)^2+(-1-(-3))^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3.$

Taikydami Herono formule apskaičiuojame trikampio pusperimetrį p:

$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{\sqrt{30}+5+3}{2}\approx 13.477.$

Ir trikampio plotą S:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \approx \sqrt{13.477(13.477-5.477)(13.477-5)(13.477-3)}\approx$

$\approx \sqrt{13.477\cdot 8\cdot 8.477\cdot 10.477}\approx \sqrt{9575.519}\approx 97.855. \;$

Rasime trikampio plotą, kurio višunės yra taškuose A(1; 3; -2), B(2; -1; 3), C(0; 2; 4).

$a=AB=\sqrt{(1-2)^2+(3+1)^2+(-2-3)^2}=\sqrt{1+16+25}=\sqrt{42}\approx 6.48,$

$b=AC=\sqrt{(1-0)^2+(3-2)^2+(-2-4)^2}=\sqrt{1+1+36}=\sqrt{38}\approx 6.16,$

$c=BC=\sqrt{(2-0)^2+(-1-2)^2+(3-4)^2}=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}\approx 3.74.$

$p=\frac{\sqrt{42}+\sqrt{38}+\sqrt{14}}{2}\approx 8.19.$

$S \approx \sqrt{8.19(8.19-\sqrt{42})(8.19-\sqrt{38})(8.19-\sqrt{14})}\approx\sqrt{8.19\cdot 1.71\cdot 2.03\cdot 4.45}\approx 11.25.$

Šio trikampio plotą galima apskaičiuoti naudojantis vektorine sandauga. AB=(2-1; -1-3; 3+2)=(1; -4; 5), AC=(0-1; 2-3; 4+2)=(-1; -1; 6). $AB\times AC=\begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & -4 & 5 \\ -1 & -1 & 6 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -4 & 5 \\ -1& 6 \end{vmatrix}i-\begin{vmatrix} 1 & 5 \\ -1& 6 \end{vmatrix}j+\begin{vmatrix} 1 & -4 \\ -1& -1 \end{vmatrix}k=-19i-11j-5k=(-19; -11; -5).$

$|AB\times AC|=\sqrt{(-19)^2+(-11)^2+(-5)^2}=\sqrt{361+121+25}=\sqrt{507}\approx 22.52.$

$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}|AB\times AC|=\frac{1}{2}\sqrt{507}\approx 11.26.$

[taisyti] Kampas tarp vektorių

Kampas tarp dviejų vektorių yra išreiškiamas per jų skaliarinę sandaugą:

$\cos \phi= \frac{a \cdot b}{|a|\cdot |b|}$ .

$\phi=\arccos\frac{a\cdot b}{|a|\cdot |b|}.$

Remiantis šia formule tampa akivaizdu kodėl yra sakoma, jog skaliarinė vektorių sandauga parodo vektorių atitikimą (panašumą) vienas kitam.

$a\cdot b=|a|\cdot|b|\cdot \cos\phi.$

[taisyti] Vektorinė vektorių sandauga

Grafinis vektorinės sandaugos pavaizdavimas

Vektorinės vektorių sandaugos rezultatas yra vektorius. Vektorinė vektorių sandauga turi prasmę tik didesnio nei dviejų matavimų erdvėse.

Vektorių a × b sandauga yra vektorius, statmenas a ir b ir yra aprašytas taip:

$\mathbf{a}\times\mathbf{b} =\left\|\mathbf{a}\right\|\left\|\mathbf{b}\right\|\sin(\theta)\,\mathbf{n}$

kur θ yra kampas tarp a ir b, o n yra vienetinio ilgio vektorius ( $\left\|\mathbf{n}\right\|$ =1) statmenas ir a ir b. Šio apibrėžimo problema ta, kad yra du vienetiniai vektoriai, statmeni b ir a.

Ortogonalių vektorių bazė e₁, e₂ , e₃ vadinama dešinine, jei trys vektoriai išsidėstę kaip trys dešinės rankos pirštai (nykštys, smilius ir didysis).

o a × b vektorinė sandauga yra tokios krypties, kad a ir b bei a × b tampa dešinine sistema (taip pat atkreipkite dėmesį, kad a ir b nebūtinai yra ortogonalūs). Tai dar kitaip vadinama dešinės rankos taisykle.

Kadangi vektorinė sandauga keičia ženklą esant veidrodiniam atspindžiui (P-simetrija), jos rezultatas kartais vadinamas pseudo-vektoriumi.

Vektorinės sandaugos a × b (vektoriaus) ilgis gali būti interpretuojamas kaip plotas lygiagretainio, sudaryto iš kraštinių a ir b.

Pavyzdžiui, duoti vektoriai a=(1; -2; 2), b=(3; 0; -4). Jų vektorinė sandauga lygi

$a\times b=\begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & -2 & 2 \\ 3 & 0 & -4 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 0& -4 \end{vmatrix}i-\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3& -4 \end{vmatrix}j+\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 3& 0 \end{vmatrix}k=8i+10j+6k=(8; 10; 6).$

Čia skaičiuodami vektorinę sandaugą panaudojome determinantą. Vektorinės sandaugos modulis yra lygiagretainio plotas, kurį sudaro du vektoriai:

$S=|a\times b|=\sqrt{8^2+10^2+6^2}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}.$

Trikampio plotas yra

$S=\frac{1}{2}|a\times b|=5\sqrt{2}.$

Kampo tarp vektorių sinusas yra

$\sin\phi=\frac{|a\times b|}{|a|\cdot |b|}=\frac{10\sqrt{2}}{3\cdot 5}=\frac{2\sqrt{2}}{3},$ kur

$|a|=\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}=\sqrt{9}=3,$

$|b|=\sqrt{3^2+0^2+(-4)^2}=\sqrt{25}=5.$

Dedamųjų daugyba:

$i\times j=-(j\times i)=k;$

$j\times k=-(k\times j)=i;$

$k\times i=-(i\times k)=j.$

$i\times i=j\times j=k\times k=0.$

Rasime $a\times b,$ jei a=2i-3j+5k=(2; -3; 5), b=4i+2j-6k=(4; 2; -6).

$a\times b=(2i-3j+5k)\times (4i+2j-6k)=8ii+4ij-12ik-12jk-6jj+18jk+20ki+10kj-30kk=$

= 4 k + 12 j + 12 k + 18 i + 20 j - 10 i = 8 i + 32 j + 16 k = (8;32;16).

$a\times b=\begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & -3 & 5 \\ 4 & 2 & -6 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -3 & 5 \\ 2& -6 \end{vmatrix}i-\begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 4& -6 \end{vmatrix}j+\begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 4& 2 \end{vmatrix}k=8i+32j+16k=(8; 32; 16).$

Apskaičiuosime trikampio su viršūnėmis taškuose A(-1; 0; 2), B(1; -2; 5), C(3; 0; -4) plotą. a=AB=(1-(-1); -2-0; 5-2)=(2; -2; 3); b=AC=(3-(-1); 0-0; -4-2)=(4; 0; -6); $a\times b=\begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & -6 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -2 & 3 \\ 0& -6 \end{vmatrix}i-\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4& -6 \end{vmatrix}j+\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 4& 0 \end{vmatrix}k=12i+24j+8k=(12; 24; 8).$ $|a\times b|=\sqrt{12^2+24^2+8^2}=\sqrt{784}=28.\; S_{\Delta}=\frac{1}{2}|a\times b|=\frac{1}{2}\cdot 28=14.$

Trikampio ABC viršunės yra taškai A(1; -1; 2), B(5; -6; 2) ir C(1; 3; -1). Apskaičiuosime šio trikampio plotą ir aukštinės, nuleistos iš viršunės B į kraštinę AC, ilgį. Žinome, kad $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}|AB\times AC|.$ Randame vektorių AB ir AC koordinates bei vektorinę sandaugą: AB=(4; 5; 0), AC=(0; 4; -3),

$AB\times AC=\begin{vmatrix} i & j & k \\ 4 & -5 & 0 \\ 0 & 4 & -3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -5 & 0 \\ 4& -3 \end{vmatrix}i-\begin{vmatrix} 4 & 0 \\ 0& -3 \end{vmatrix}j+\begin{vmatrix} 4 & -5 \\ 0& 4 \end{vmatrix}k=15i-(-12)j+16k=(15; 12; 16).$ Apskaičiuosime vektoriaus AB\times AC ilgį: $|AB\times AC|=\sqrt{15^2+12^2+16^2}=\sqrt{625}=25.$ Tada trikampio ABC plotas bus lygus $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot 25=12.5.$ Norėdami rasti trikampio aukšinę h, pritaikykime kitą trikampio ploto formulę: $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}|AC|\cdot h.$ Sulyginę formules, gauname: $\frac{1}{2}|AB\times AC|=\frac{1}{2}|AC|\cdot h.$ Iš čia trikampio ABC aukšinė $h=\frac{|AB\times AC|}{|AC|}=\frac{25}{5}=5,$ kadangi $|AC|=\sqrt{0+16+9}=5.$

[taisyti] Mišri vektorių sandauga

Mišri vektorių sandauga (a b c) yra apibrėžiama:

$(\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c}) =\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}).$

Duoti vektoriai a=(1; 2; -2), b=(1; -2; 1), c=(1; -2; 3), kurių pradžios koordinatės yra (0; 0; 0). Rasime gretasienio tūrį:

$V=(a\times b)\cdot c=\begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_z & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z\end{vmatrix}=c_x\cdot(-1)^{3+1}\begin{vmatrix} a_y & a_z \\ b_y & b_z \end{vmatrix}+c_y\cdot(-1)^{3+2}\begin{vmatrix} a_x & a_z \\ b_x & b_z \end{vmatrix}+c_z\cdot(-1)^{3+3}\begin{vmatrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \end{vmatrix}=$

$=\begin{vmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 0 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix}=2\cdot (-1)^{1+2}\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 2& 1 \end{vmatrix}=-8.$

Gretasienio tūris yra |-8|=8. Rasime piramidės su 4 viršunėmis, kurios pagrindas yra trikampis, tūrį:

$V=\frac{1}{6}|(a\times b)\cdot c|=\frac{8}{6}.$

Piramidės tūris yra $\frac{1}{6}|(a\times b)\cdot c|$ todėl, kad piramidės pagrindo plotas yra puse (S=0.5ah) lygiagretainio ploto, o kadangi gretasienio tūris yra V=abh=Sh ir piramidės (kurios pagrindas trikampis) tūris yra V=0.5abh/3=Sh/3, tai dėl to piramidės tūris yra V=abh/6 arba 1/6 gretasienio tūrio. Piramidės, kurios pagrindas yra keturkampis, tūris yra $V=\frac{1}{3}|(a\times b)\cdot c|.$

Apskaičiuosime trikampės piramidės tūrį, kai žinomi jos viršunių taškai A(3; -1; 5), B(5; 2; 6), C(-1; 3; 4) ir D(7; 3; -1). Reikia surasti tris vektorių ilgius (koordinates) išeinančius iš kurios nors vienos viršunės (tada galėsime manyti, kad ta viršunė yra vektorių pradžios taškas (0; 0; 0)): AB=(5-3; 2-(-1); 6-5)=(2; 3; 1), AC=(-4; 4; -1), AD=(4; 4; -6). Apskaičiuosime mišriąją gautų vektorių sandaugą: $(AB\times AC)\cdot AD =\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ -4 & 4 & -1 \\ 4 & 4 & -6 \end{vmatrix}=84.$ Tada trikampės piramidės tūtis $V=\frac{1}{6}\cdot|84|=12.$ Gretasienio (nebutinai stačiakampio gretasienio) tūris gautas iš šių (AB, AC, AD) vektorių lygus V=84. Norėdami rasti piramidės aukštinę h, pritaikykime kitą piramidės tūrio formulę: $V_{pir.}=\frac{1}{3}S_{\Delta ABC}\cdot h.$ Bet $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}|AB\times AC|$ , todėl $V_{pir.}=\frac{1}{6}|AB\times AC|\cdot h.$ Sulyginus šią formulę su pirma formule:

$\frac{1}{6}|(AB\times AC)\cdot AD|=\frac{1}{6} |AB\times AC| \cdot h.$ Iš čia $h=\frac{|(AB\times AC)\cdot AD|}{|AB\times AC|}.$ Kadangi $AB\times AC=\begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 3 & 1 \\ -4 & 4 & -1 \end{vmatrix}=-7i-2j+20k=(-7; -2; 20),$ tai $|AB\times AC|=\sqrt{49+4+400}=\sqrt{453}.$ Tada trikampės piramidės aukštinė h lygi $h=\frac{|84|}{\sqrt{453}}\approx 3.95.$

Vektoriai yra koliniarūs jeigu $a\times b=0.$ Dvimačiai vektoriai yra kolinearūs, kai yra lygiagretūs. Vektoriai yra komplanarūs jeigu $(a\times b)\cdot c=0.$ Trimačiai vektoriai yra komplanarūs kai priklauso tai pačiai ploštumai.

Duotos jėgos F projekcijos $F x = 4$ , $F y = 4$ , $F_z=-4\sqrt{2}.$ Rasime jėgos dydį |F| ir jos veikimo kryptį. Jėgos dydis yra: $|F|=\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}=\sqrt{4^2+4^2+(-4\sqrt{2})^2}=\sqrt{16+16+32}=\sqrt{64}=8$ . Rasime krypties kosinusus: $\cos\alpha=\frac{F_x}{|F|}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$ , $\cos\beta=\frac{F_y}{|F|}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$ , $\cos\gamma=\frac{F_z}{|F|}=\frac{-4\sqrt{2}}{8}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ . Iš čia randame kampus $\alpha=\arccos\frac{1}{2}=60^0, \;\beta=\arccos\frac{1}{2}=60^0 \;$ , $\gamma=\arccos\frac{-\sqrt{2}}{2}=135^0.$ Vadinasi, jėga F veikia vektoriaus, sudarančio su koordinačių ašimis kampus $\alpha=60^0, \;\beta=60^0, \;\gamma=135^0,$ kryptimi.

Vektorius a su ašimis Oy ir Oz sudaro kampus $β = γ = 60 0 .$ Rasime kampą $α,$ kurį vektorius a sudaro su Ox ašimi. Kadangi $cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1,$ tai $\cos^2\alpha=1-\cos^2\beta-\cos^2\gamma=1-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}.$ Iš čia $\cos\alpha=\sqrt{\frac{1}{2}}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}.$ Tada $\alpha=\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}=45^0$ arba $\alpha=\arccos\frac{\sqrt{2}}{-2}=135^0.$

Jėga F veikia vektoriaus, sudarančio su koordinačių ašimis kampus $\alpha=\beta=120^0, \; \gamma=45^0,$ kryptimi. Rasime jėgos F projekcijas, jei |F|=6. $F_x=F_y=|F|\cos\alpha=\cos\beta=6\cos 120^0=-3; \; F_z=|F|\cos\gamma=6\cos 45^0=3\sqrt{2}.$ Jėgos F dedamosios $F_x=-3i;\; F_y=-3j; \; F_z=-3\sqrt{2}k.$