Skaliarinė sandauga

Iliustracija, rodanti, kaip skaliarinė sandauga gali leisti rasti kampą tarp vektorių

Vektorių skaliarinė sandauga arba skaliarinė daugyba – dvinarė vektorių operacija.

Dviejų nenulinių vektorių skaliarinė sandauga yra skaičius, lygus tų vektorių ilgių (modulių) bei kampo tarp jų kosinuso sandaugai.

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a\,b\cos \theta \;$

Jei vektoriai yra išreikšti koordinatėmis n-matėje erdvėje (a = [a₁, a₂, … , a_n], b = [b₁, b₂, … , b_n]), jų skaliarinė sandauga yra lygi tų vektorių atitinkamų koordinačių sandaugų sumai:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}$

Pavyzdžiui, dviejų trimačių vektorių [1, 3, −2] ir [4, −2, −1] skaliarinė sandauga lygi

[1, 3, −2]·[4, −2, −1] = 1·(4) + 3·(−2) + (−2)·(−1)= 0

Naudojant matricų daugybą bei laikant vektorius vienmatėmis matricomis, skaliarinė sandauga užrašoma kaip:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{T}\mathbf {b} \;$

kur a^T yra transponuotas (paverstas horizontaliai) vektorius a. Anksčiau minėtame pavyzdyje tai reiškia 1×3 matricos (vektoriaus) daugybą iš 3×1 matricos. Pagal matricų daugybos apibrėžimą, rezultatas yra 1×1 matrica – taigi skaliaras.

${\begin{bmatrix}1&3&-2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4\\-2\\-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}}$

Geometrinė interpretacija

Vektoriaus a projekcija į vektorių b

Įprastinėje (Euklidinėje) erdvėje, kiekvienam vektoriui a, a·a yra jo ilgio kvadratas. Kitam vektoriui b

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a\,b\cos \theta \;$

kur a ir b yra vektorių a ir b ilgiai, o θ yra kampas tarp šių vektorių.

Kadangi a·cos(θ) yra vektoriaus a projekcija į vektorių b, skaliarinė sandauga gali būti suprantama kaip šios projekcijos ilgio ir paties vektoriaus b ilgio sandauga.

Kadangi stataus kampo kosinusas lygus nuliui, tarpusavyje statmenų vektorių skaliarinė sandauga taip pat visada lygi nuliui. Jei a ir b ilgiai lygūs vienetui (vienetiniai vektoriai), skaliarinė sandauga lygi kampo tarp jų kosinusui. Pagal pertvarkytą skaliarinės sandaugos formulę, kampas tarp bet kokio ilgio vektorių a ir b lygus:

$\theta =\arccos \left({\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}\right)$

Ši formulė naudojama apibrėžti kampo sąvoką keturmatėje ir daugiau matavimų turinčiose erdvėse.

Kitoje ataskaitos sistemoje, kuri yra pasukta esamos sistemos atžvilgiu bet kuriuo kampu, vektorinės sandaugos reikšmė yra ta pati. Ji yra ta pati ir sistemoje, kuri yra esamos sistemos veidrodinis atspindys. Tačiau perkėlus koordinačių pradžią į kitą vietą, vektorinės sandaugos reikšmė pasikeičia.

Fizikoje

Mechaninės jėgos atliktas darbas yra šios jėgos vektoriaus bei kūno poslinkio vektoriaus skaliarinė sandauga. Jei jėga veikė statmenai kūno poslinkiui (tarkim, geležinkelio vagoną veikusi sunkio jėga), ji darbo neatliko.

Savybės

Kai kurių ypatingų skaliarinės sandaugos atvejų iliustracija: kai tarp vektorių yra status kampas, ji lygi nuliui, kai vektoriai nukreipti ta pačia kryptimi, ji lygi jų ilgių sandaugai, kai vektoriai nukreipti priešingomis kryptimis, ji lygi neigiamai jų ilgių sandaugai

Jei a, b, ir c yra vektoriai ir r yra skaliarinė reikšmė, teisingi šie teiginiai:

• $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} .$
• $\mathbf {a} \cdot (r\mathbf {b} +\mathbf {c} )=r(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )+(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} ).$
• $\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} .$
• $(c_{1}\mathbf {a} )\cdot (c_{2}\mathbf {b} )=(c_{1}c_{2})(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )$

(dvi paskutinės ypatybės išvedamos iš dviejų pirmųjų).

• Du nenulinio ilgio vektoriai a ir b yra tarpusavyje statmeni tada ir tik tada, jei a · b = 0.
• Jei |b|=1, a · b yra a projekcijos į b (arba b projekcijos į a)ilgis. Jei ši projekcija nukreipta į priešingą pusę nei vektorius, į kurį projektuojama, rezultatas gaunamas su minuso ženklu.
• Vektoriaus skaliarinis kvadratas yra lygus jo ilgio kvadratui: $\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\|\mathbf {a} \|^{2}$.

Kai kurios skaliarinės vektorių sandaugos savybės skiriasi nuo paprastos dviejų skaičių sandaugos savybių. Dauginant paprastus (skaliarinius) skaičius, jei ab = ac tai visada b lygus c, nebent a būtų lygus nuliui. Tuo tarpu skaliariškai dauginant vektorius tai ne visada teisinga. Jei a · b = a · c ir a ≠ 0, tuomet a · (b – c) = 0. Jei a yra statmenas (b – c), tuomet (b – c) ≠ 0 ir b ≠ c.