Pi

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Peršokti į: navigaciją, paiešką
Graikų abėcėlės raidė pi

π (tariama pi, iš gr. περιφέρεια – „apskritimas“) – matematinė konstanta, išreiškianti apskritimo ilgio ir skersmens santykį:

\pi\ = C/D
\pi\approx 3{,}141592654

Plačiai naudojama matematikoje ir fizikoje. Jos žymėjimui naudojama graikiška raidė π.

Euklido geometrijoje π įeina į apskritimo ilgio bei ploto skaičiavimo formules. Daugumoje naujesnių knygų π analitiškai apibrėžiama trigonometrinėmis funkcijomis, t. y. kaip mažiausią teigiamą x, kuriam sin(x) = 0.

π yra Iracionalusis skaičius, taip pat nenustatyta ar yra kokia nors seka jo užrašymui, apytikslė šio skaičiaus reikšmė yra:

3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 3

Tikslesnę π išraišką galima rasti – Pi reikšmė (100 000 skaitmenų). Pi reikšmė failais (5 trilijonai skaitmenų).

Savybės[taisyti | redaguoti kodą]

Apskritimo ilgio ir skersmens santykis – π

Pi yra iracionalusis skaičius, tai yra negali būti užrašytas kaip dviejų sveikųjų skaičių santykis. Tai 1761 metais įrodė Johanas Heinrichas Lambertas (Johann Heinrich Lambert). 1882 metais įrodyta, kad skaičius yra transcendentinis, tai yra neegzistuoja toks daugianaris su racionaliais koeficientais, kurio šaknis būtų π.

Tuo pačiu neįmanoma išreikšti π reikšmės naudojant baigtinį kiekį sveikų ir racionalių skaičių bei jų šaknų. Tai reiškia, kad neįmanoma naudojant liniuotę ir skriestuvą nupiešti kvadrato, kurio plotas būtų lygus duoto apskritimo plotui.

Formulės su π[taisyti | redaguoti kodą]

Geometrija[taisyti | redaguoti kodą]

Pi naudojama daugelyje geometrinių formulių, susijusių su apskritimais ir sferomis.

Geometrinė figūra Formulė
Apskritimo ilgis (spindulys – r) C = 2 \pi r \,\!
Skritulio plotas (spindulys – r) S = \pi r^2 \,\!
Elipsės plotas (pusašės a ir b) S = \pi a b \,\!
Rutulio tūris (spindulys – r) V = \frac{4}{3} \pi r^3 \,\!
Sferos paviršiaus plotas (spindulys – r) S = 4 \pi r^2 \,\!
Ritinio tūris (aukštis h, spindulys r) V = \pi r^2 h \,\!
Ritinio paviršiaus plotas (aukštis h, spindulys r) S = 2 ( \pi r^2 ) + ( 2 \pi r ) h = 2 \pi r (r + h) \,\!
Kūgio tūris (aukštis h, spindulys r) V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \,\!
Kūgio paviršiaus plotas (aukštis h, spindulys r) S = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} + \pi r^2 =  \pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2}) \,\!

Taip pat 180° (laipsniais) kampas yra lygus π radianų.

Analizė[taisyti | redaguoti kodą]

Daugelis matematinės analizės formulių naudoja π, įskaitant begalines progresijas (ir baigtines sandaugas), integralus ir specialiąsias funkcijas.

  • François Viète, 1593:
\frac2\pi=
\frac{\sqrt2}2
\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2
\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\ldots
\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}
Tai dažniau pasitaikantis užrašymas, bet formalesnis užrašymas yra:
\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \left (\frac{1}{2n+1}\right ) = \frac{\pi}{4}
  • Valio sandauga:
 \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}

Atviri klausimai[taisyti | redaguoti kodą]

Svarbiausias su π susijęs neatsakytas klausimas – ar tai normalusis skaičius, t. y. ar egzistuoja kokia nors nuspėjama skaitmenų seka ar kiekvienas tolesnis skaitmuo visai „atsitiktinis“. Tai galiotų ne tik dešimtainei sistemai. Dabartinės žinios yra pakankamai mažos – net nežinoma, kuris iš skaitmenų pasitaiko be galo dažnai.

Taip pat nežinoma, ar π ir e yra algebriškai nepriklausomos konstantos, t. y. ar egzistuoja polinominis ryšys tarp π ir e su racionaliaisiais koeficientais.

π prigimtis[taisyti | redaguoti kodą]

Ne Euklido geometrijoje trikampio kampų suma gali būti didesnė ar mažesnė už π radianų, taip pat apskritimo ilgio ir spindulio santykis gali būti nelygus π. Tačiau tai nekeičia π apibrėžimo, tik formules, kuriose naudojama π. Taigi, π reikšmei neturi įtakos visatos forma, ji nėra fizikinė, bet matematinė konstanta, apibrėžta nepriklausomai nuo bet kokių fizikinių matavimų. Ji naudojama ir fizikoje tik todėl, kad yra patogi daugumoje modelių.

Wikimedal gold.PNG

Šis straipsnis yra tapęs savaitės straipsniu.

Wikimedal gold.PNG Šis straipsnis yra tapęs savaitės straipsniu.


Vikiteka