Matematinis grožis

"Metodo pritaikymo grožio" pavyzdys – paprastas ir grakštus Pitagoro teoremos įrodymas.

Matematinis grožis apibūdina kai kurių matematikų gebėjimą jausti estetinį pasitenkinimą iš savo veiklos ir apskritai iš visos matematikos. Šį savo išgyvenimą jie išreiškia apibūdindami matematiką (ar bent kai kurias jos puses) kaip grožį. Matematikai savo veiklą gali laikyti tam tikra meno forma ar mažiausia kūryba, pavyzdžiui, tai galėtų būti ir algoritminis fraktalinis menas. Dažnai matematika lyginama su muzika ir poezija.

Bertrandas Russellas savąjį matematinio grožio jautimą aprašė taip:

Nešališkai kalbant, matematika išreiškia ne tik tiesą, bet ir aukščiausiąjį grožį – santūrų ir rimtą, tarsi skulptūroje, nesiremiantį jokia mūsų silpnosios prigimties dalimi, be jokių žavių spąstų, kuriuos  spendžia tapyba ar muzika, bet vis dėlto labai gryną ir atskleidžiantį tą nepalenkiamą tobulumą, kurį gali išreikšti tik didingiausias menas. matematikoje, kaip ir poezijoje, taip pat užtikrintai sutinkame tą tikro pasitenkinimo, pakylėjimo dvasią, jausmą, kad esi ne vien žmogus, kaip aukščiausio tobulumo kalvis.

Paulis Erdiosas (Paul Erdős) savo požiūrį į neapsakomą grožį, kylantį iš matematikos, išreiškė taip: „Kodėl skaičiai yra gražūs? Klausimas toks pat, tarsi klaustume, kodėl yra graži Bethoveno Devintoji simfonija. Jei nesuvokiate kodėl, niekas jums nesugebės paaiškinti. Aš tiesiog žinau, kad skaičiai yra gražūs. Jeigu jie būtų negražūs, tada niekas negalėtų būti gražu.“

Metodo grožis

Matematikai pabrėžia, kad ypatingą pasitenkinimą kelia grakštus įrodymo metodas. Priklausomai nuo konteksto, tai reiškia:

• Įrodymą, kai naudojama kuo mažiau papildomų prielaidų ir ankstesnių įrodymų.
• Įrodymas, kuris yra neįprastai glaustas.
• Įrodymas, kuriuo rezulatatas gaunamas netikėtu būdu (pavyzdžiui, iš akivaizdžiai nesusijusios teoremos ar kelių teoremų).
• Įrodymas, paremtas naujomis, originaliomis įžvalgomis.
• Įrodymas, kurio būdą nesunkiai galima apibendrinti, sprendžiant visą eilę panašių problemų.

Ieškodami grakštaus įrodymo, matematikai dažnai ieško skirtingų nepriklausomų rezultato radimo būdų – pirmas rastas įrodymas ne visada būna pats geriausias. Teorema, kuriai žinoma daugiausia skirtingų įrodymų, turbūt yra Pitagoro teorema, kuriai publikuota šimtai įrodymų. Kita teorema, įrodyta daugeliu būdų, yra kvadratinis apgręžiamumas (angl. quadratic reciprocity) – vien Karlas Friedrichas Gaussas yra pateikęs aštuonis skirtingus šios teoremos įrodymus.

KIta vertus, rezultatai, kurie logiškai vertinant, yra teisingi, bet pasiekiami sudėtingais skaičiavimais, naudojant sudėtingus metodus, labai įprastus sprendimo kelius arba remiantis specifinėmis stipriomis aksiomomis bei anksčiau pasiektais rezultatais, dažniausiai nėra laikomi grakščiais sprendimais ir net gali būti vadinami negražiais ar griozdiškais.

Rezultatų grožis

Pradėjus nuo e⁰ = 1, ir π trukmės laiką judant greičiu i, reliatyviu stebėtojo atžvilgiu, o po to pridėjus 1, pasieksime 0. (Diagrama vadinama Argando diagrama)

Kai kurie matematikai matematinių rezultatų grožį mato tada, kai šie rezultatai nustato sąsają tarp dviejų matematikos sričių, nors pradžioje joks ryšys tarp jų nebuvo matomas. Tokie rezultatai dažnai vadinami giliais.

Kadangi apibendrintų argumentų, kokius rezultatus derėtų laikyti giliais, suformuluota nėra, dažniausiai pateikiami daugmaž visuotinai priimtini pavyzdžiai. Vienas jų – Oilerio tapatybė:

$\displaystyle e^{i\pi }+1=0\,.$

Tai yra atskiras Oilerio formulės atvejis, kurį fizikas Richardas Feynmanas pavadino „mūsų brangakmeniu“ ir „nuostabiausia matematikos formule“. Tarp naujausių pavyzdžių paminėtina moduliarumo teorema (angl. modularity theorem), kuria nustatomas svarbus ryšys tarp elipsinių kreivių ir moduliarinių formų (angl. modular forms) ir už kurios tyrimus Andrew Wiles ir Robert Langlands buvo paskirta Wolfo premija, taip pat „milžiniško svaigulio“ (angl. monstrous moonshine) reiškinys, stygų teorijoje susiejantis matematinės grupių teorijos milžinišką grupę (angl. Monster group) su moduliarinėmis funkcijomis (angl. modular functions), už kurio įrodymą Richard Borcherds buvo apdovanotas Fildso medaliu.

Kitas gilių rezultatų pavyzdys apima netikėtas įžvalgas į matematines struktūras. Sakykime, Gausso „Theorema egregium“ yra gili teorema, kuri vietinius reiškinius (kreivumą) netikėtu būdu susieja su globaliu reiškiniu (plotu). Kaip atskiras šios teoremos pavyzdys gali būti paminėta, kad trikampis ant kreivo paviršiaus yra proporcingas trikampio pertekliui, o pats proporcingumas yra kreivumas. Kitas pavyzdys yra Niutono – Leibnico teorema (ir jos vektorinės versijos, įskaitant Gryno formulę) ir Stoko (angl. Stokes' theorem) teoremą).

Gilaus įrodymo priešybė yra savaime suprantamas įrodymas. Savaime suprantama teorema gali būti rezultatas, akivaizdžiai ir tiesiogiai gaunamas iš kitų žinomų rezultatų arba toks, kuris taikomas tik specifiniam tam tikrų objektų rinkiniui, pavyzdžiui tuščiai aibei. Vis dėlto, kartais tokios teoremos teiginiai gali būti būti pakankamai originalūs ir laikomi giliais, nepaisant, kad jis įrodymas yra trivialus.

G. H. Hardis knygoje „Matematiko apologija“ (A Mathematician's Apology, G. H. Hardy) teigia, kad gražus įrodymas ar dailūs rezultatai pasižymi „neišvengiamumu“, „netikėtumu“ ir „glaustumu“.

Kita vertus, Džiankarlo Rota nesutinka dėl netikėtumo kaip pakankamaos sąlygos ir pateikia priešingą pavyzdį:

Daugybė matematikos teoremų, vos jas publikavus, atrodo stebinančios; pavyzdžiui, prieš keletą dešimtmečių (nuo 1977) neekvivalentiškų diferencijuojamų struktūrų egzistavimas ant didelio matavimų skaičiaus sferų buvo laikomas netikėtu, bet niekam jis neatrodė gražus, nei tada, nei dabar.

Turbūt ironizuodamas Monastirskis (Monastyrsky) rašė:

Būtų labai sunku rasti analogišką išradimą, prilygstantį gražiai Milnoro suformuluotoms skirtingoms diferencijuojamoms struktūroms esančioms ant septynmatės sferos... Originalus Milnoro įrodymas nebuvo labai konstruktyvus, bet vėliau E. Briskornas (Briscorn) parodė, kad šios struktūros gali būti aprašytos labai išsamiai ir gražiai.

Toks nesutikimas iliustruoja, kad matematinis grožis yra kartu ir subjektyvus, ir susijęs su matematiniais rezultatais: šiuo atveju svarbus ne vien egzotiškų sferų egzistavimas, bet ir specifinis jų atvaizdavimo būdas.