Gryno formulė

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Peršokti į: navigaciją, paiešką
 Edit-copy purple.svg  Buvo pasiūlyta šį straipsnį ar skyrių, kaip parašytą vadovėlio stiliumi, perkelti į Vikiknygas.
Taip pat galite šį straipsnį pritaikyti Vikipedijai - perrašyti enciklopediniu stiliumi.

Gryno formulė nustato ryšį tarp dvilypio integralo ir kreivinio integralo antrojo tipo.

\iint_D({\partial Q\over\partial x}-{\partial P\over \partial y})dxdy=\oint_L Pdx+Qdy.

Pavyzdžiai[taisyti | redaguoti kodą]

  • Su Gryno formule apskaičiuosime kreivinį integralą \oint_L(x-y)dx+(x+y)dy, kur L - apskritimas x^2+y^2=R^2.
Funkcijos P(x, y)=x-y, Q(x, y)=x+y ir {\partial P\over \partial y}=-1,\;{\partial Q\over\partial x}=1 netrūkios uždarame rate x^2+y^2=R^2. Todėl pagal Gryno teoremą turime (\rho^2=R^2, \rho=R):

\oint_L(x-y)dx+(x+y)dy=\iint_D[1-(-1)]dxdy=2\iint_D dxdy=2s=2\int_0^{2\pi}d\phi \int_0^R\rho d\rho= =\int_0^{2\pi}\rho^2|_0^R d\phi=R^2\int_0^{2\pi}d\phi=R^2\phi|_0^{2\pi}=2\pi R^2.

  • Taikydami Gryno formulę, apskaičiuokime kreivinį integralą

\int_L xydx+(x^2+y^2)dy, kai L - apskritimas x^2+y^2= ax (a>0), apeinamas teigiama kryptimi. Kadangi skritulyje x^2+y^2\le ax funkcijos P(x,y)=xy ir Q(x,y)=x^2+y^2 bei jų dalinės išvestinės {\partial P\over \partial y}=x ir {\partial Q\over\partial x}=2x yra tolydžios, tai duotajam kreiviniam integralui galima taikyti Gryno formulę. Turime: \int_L xydx+(x^2+y^2)dy=\iint_D(2x-x)dxdy=\iint_D x dxdy. Dvilypį integralą pakeisime kartotiniu polinėje koordinačių sistemoje, turėdami galvoje, kad apskritimas apeinamas teigiama kryptimi (prieš laikrodžio rodykle). Tuomet kampas \phi kinta nuo -{\pi\over 2} iki {\pi\over 2}. Vadinasi (x=\rho\cos\phi, \rho^2=a\rho\cos\phi, \rho=a\cos\phi), \int_D xdxdy=\iint_D\rho^2\cos\phi d\rho d\phi=\int_{-{\pi\over 2}}^{\pi\over 2}\cos\phi d\phi\int_0^{a\cos\phi}\rho^2 d\rho=\int_{-{\pi\over 2}}^{\pi\over 2}\cos\phi {\rho^3\over 3}|_0^{a\cos\phi} d\phi= ={a^3\over 3}\int_{-{\pi\over 2}}^{\pi\over 2}\cos^4\phi d\phi={2a^3\over 3}\int_0^{\pi\over 2}\cos^4\phi d\phi={2a^3\over 3}\cdot {3!!\over 4!!}\cdot {\pi\over 2}={\pi a^3\over 8}, kur pasinaudojome dvigubu faktorialu.

Ploto apskaičiavimas[taisyti | redaguoti kodą]

Plotui apskaičiuoti ploksčios srities naudojamos tokios formulės: D=\oint_L -y dx=\oint_L xdy={1\over 2}\oint_L xdy-ydx. Jos išvedamos šitaip:

\iint_D({\partial Q\over\partial x}-{\partial P\over \partial y})dxdy=\oint_L P dx+Qdy.
  • Pritaikysim Gryno formulę apskaičiavimui srities D (ploksčios figūros ploto). Jei P(x, y)=-y, Q(x,y)=0. Tada {\partial P\over \partial y}=-1,\; {\partial Q\over\partial x}=0. Pagal formulę turime:

\iint_D(0+1)dxdy=\oint_L -ydx+0dy. Integralas \iint_D dxdy lygus paaviršiui srities D , todėl, D=\iint_D dxdy=-\oint_L ydx.

  • Sakykime, P(x,y)=0, Q(x,y)=x, analoginiu budu randame, kad

D=\oint_L xdy.

  • Ir, pagaliau, paėmę funkcijas P(x,y)=-{1\over 2}y,\; Q(x,y)={1\over 2}x, gauname formulę

D=\iint_D({1\over 2}+{1\over 2})dxdy=\iint_D dxdy={1\over 2}\oint_L xdy- ydx.

Pavyzdžiai

  • Apskaičiuosime plotą apribotą elipse {x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}=1, pagal formulę D=\oint_L x dy. Panaudoję parametrinę lygtį elipsės: x=a\cos t, y=b\sin t, 0\le t\le 2\pi, dy=b\cos t, gauname:

D=\oint_L xdy=\int_0^{2\pi}a\cos t b\cos t dt={ab\over 2}\int_0^{2\pi}(1+\cos(2t))dt={ab\over 2}(2\pi+{\sin(2t)\over 2}|_0^{2\pi})=\pi ab.

Jėgos darbas[taisyti | redaguoti kodą]

Jėgos darbas padarytas judant kreive plokštumoje apskaičiuojamas pagal formulę A=\int_{BC}Pdx+Qdy. Jėgos darbas padarytas judant erdvine kreive apskaičiuojamas taip: A=\int_{BC}Pdx+Qdy+Rdz.

  • Apskaičiuosime darbą jėgos F(x,y) persikeliant materialiam taškui elipse teigiama kryptimi, jeigu jėga kiekviename taške (x; y) elipsės nukreipta į elipsės centrą ir pagal dydį lygi atstumui nuo taško (x; y) iki elipsės centro.
Pagal sąlyga, |F(x,y)|=\sqrt{x^2+y^2}; Jėgos F(x, y) koordinatės tokios: P=-x, Q=-y [ženklas "-" paaiškinamas tuo, kad jėga nukreipta į tašką (0; 0)]. Pagal formulę turime A=-\oint_L xdx+ydy, kur L - elipsė x=a\cos t, y=b\sin t, 0\le t\le 2\pi. Todėl

A=-\int_0^{2\pi}a\cos t(-a\sin t) dt+b\sin t b\cos t dt=-\int_0^{2\pi}(b^2-a^2)\sin t \cos t dt= ={a^2-b^2\over 2}\int_0^{2\pi}\sin(2t)dt={a^2-b^2\over 4}(-\cos(2t))|_0^{2\pi}=0.

Jei t keistusi nuo 0 iki {\pi\over 2}, integralas butu lygus {a^2-b^2\over 4}(-\cos(2t))|_0^{\pi\over 2}={a^2-b^2\over 2}.

Taip pat skaitykite[taisyti | redaguoti kodą]