Kreivumas

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Peršokti į: navigaciją, paiešką

Kreivumas arba kreivis – bendras pavadinimas kiekybinių charakteristikų, nusakančių geometrinių objektų (kreivių, paviršių ir pan.) santykinį skirtumą nuo „plokščių“ ar „tiesių“ jų atitikmenų (tiesės, plokštumos ir pan.). Dažniausiai kreivumas apibrėžiamas kiekvienam objekto taškui.

Plokštumos kreivės kreivumas[taisyti | redaguoti kodą]

Kreivė C ir jos kreivio apskritimas taške P

Plokštumos kreivės kreivumas taške P(x0, y0) yra dydis, atvirkščias kreivio apskritimo spinduliui tame taške. Jei kreivė Dekarto koordinačių sistemoje nusakyta lygtimi y = f(x), tai kreivumas apskaičiuojamas pagal formulę:

\kappa(x,y) = \frac{y''}{(1+y'^2)^{3/2}}.

Tokiu atveju neretai naudojama aproksimacija:

\kappa(x,y)\approx\frac{d^2y}{dx^2}.

Jei kreivė nusakoma parametrinėmis lygtimis x = p(t), y = r(t), tai kreivumas apskaičiuojamas pagal formulę:

\kappa(x,y) = \frac{x'y''-y'x''}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}.

Paviršių kreivumas[taisyti | redaguoti kodą]

Paviršiai su neigiamu (kairėje), nuliniu (centre) ir teigiamu (dešinėje) kreivumu.

Tarkime, kad \Phi yra glodus paviršius trimatėje euklidinėje erdvėje. Tegu p – taškas paviršiuje \Phi, T_p – \Phi liečiančioji plokštuma taške p, n – vienetinis normalinis vektorius (normalė) \Phi taške p, o \pi_e – plokštuma einanti per n ir vektorių e, esantį T_p. Kreivė \gamma_e, gaunama kertantis plokštumai \pi_e su nagrinėjamu paviršiumi \Phi, yra vadinama \Phi pjūviu taške p vektoriaus e kryptimi. Skaliarinis dydis \kappa_e yra normalinis paviršiaus \Phi kreivumas e kryptimi

\kappa_e=k\cdot n

Čia \cdot reiškia skaliarinę sandaugą, k – kreivumo vektorius \gamma_e taške p.

Bendru atveju, kiekviename paviršiaus taške yra dvi statmenos kryptys e_1 ir e_2, kuriomis kreivumas yra didžiausias ir mažiausias. Šios kryptys vadinamos pagrindinėmis arba normalinėmis. Kreivumą bet kokia kryptimi galima aprašyti Oilerio formule:

\kappa_e=\kappa_1\cos^2\alpha+\kappa_2\sin^2\alpha,

kur \alpha – kampas tarp krypties ir e_1, o \kappa_1 ir \kappa_2 yra normaliniai kreivumai e_1 ir e_2 kryptimis.

Galimi ir kitokie kreivumo apibrėžimai:

H=\kappa_1+\kappa_2, (kartais \frac{\kappa_1+\kappa_2}2)

yra vadinamas vidutiniu paviršiaus kreivumu. O dydis

K=\kappa_1\kappa_2

yra vadinamas paviršiaus Gauso kreivumas.