Koši-Švarco nelygybė

Koši-Švarco nelygybė (arba Koši-Buniakovskio-Švarco nelygybė, CBS nelygybė) – matematikoje viena iš pagrindinių optimizavimo priemonių tiesinėje algebroje, analizėje, tikimybių teorijoje, fizikoje ir kitose srityse. Nelygybė turi labai daug apibendrinimų, tarp kurių pati svarbiausia – Holderio nelygybė. Koši–Švarco nelygybė gali būti išreikšta vektorinėje, algebrinėje ir integralinėse formose.

Pirmasis šią nelygybę skaičių sekoms suformulavo ir įrodė Augustinas Liuisas Koši (1821), o teoremą integralinėje formoje pirmasis įrodė Viktoras Buniakovskis (1859). Pirmas modernus integralinės nelygybės įrodymas buvo pateiktas Hermano Amadėjaus Švarco (1888).

Algebrinio tipo nelygybė dar gali būti išreikšta vadinamoje Engel formoje. Titas Andreskas ir Bogdanas Aneskas buvo pirmieji matematikai, kurie pateikė save apibendrinantį įrodymą tokioje formoje.

Nelygybės formuluotės

Vektorinė forma

Teorema: Tegul $[x,y]$ – tiesinės erdvės vektorių skaliarinė sandauga, tai su vektoriais x ir y, priklausantiems šiai erdvei, galioja nelygybė:

$[x,x][y,y]\geq |[x,y]|^{2}$

be to, lygybė galioja tada ir tik tada kai vektoriai x ir y yra tiesiškai priklausomi.

Integralinė forma

Teorema: Bet kokioms tolydžioms ir integruojamoms intervale $[a,b]$ funkcijoms $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ ir $g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ galioja nelygybė:

$\int \limits _{a}^{b}\left(f(x)\right)^{2}dx\int \limits _{a}^{b}\left(g(x)\right)^{2}dx\geq \left(\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx\right)^{2}$

Lygybė galioja tada ir tik tada, kai egzistuoja toks $c\in \mathbb {R}$, kad $f(x)=cg(x)$.

Algebrinė forma

Teorema: Tarkime $(x_{n})_{n\geq 1}$ ir $(y_{n})_{n\geq 1}$ yra realiųjų skaičių sekos, tuomet galioja nelygybė:

$\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)\geq \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}$

Lygybės atvejis pasiekiamas tada ir tik tada, kai:
${\frac {x_{1}}{y_{1}}}={\frac {x_{2}}{y_{2}}}=...={\frac {x_{n}}{y_{n}}}.$

Algebrinės formos įrodymai

Lagranžo būdas

Nelygybė lengvai įrodoma pasinaudojus Lagranžo tapatybe:

$\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)-\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}x_{i}\right)^{2}=\sum _{1\leq i<j\leq n}\left(x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i}\right)^{2}\geq 0\Rightarrow$

$\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)\geq \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\blacktriangle$

Kvadratinės lygties metodas

Tarkime $(a_{n})_{n\geq 1}$ ir $(b_{n})_{n\geq 1}$ yra realiųjų skaičių sekos. Pastebėkime, kad kvadratinė funkcija $f(x)=\sum _{i=1}^{n}\left(a_{i}x-b_{i}\right)^{2}$ yra teigiama su bet kokiu $x\in \mathbb {R}$, taigi jos diskriminantas D turi būti mažesnis arba lygus už nulį. Taigi:

$f(x)=\sum _{i=1}^{n}\left(a_{i}x-b_{i}\right)^{2}=x^{2}\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}-2x\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}\geq 0$, bei $D\leq 0\Rightarrow$

$D=4\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2}-4\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right)\leq 0\Rightarrow$

$\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right)\geq \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2}\blacktriangle$

AM – GM metodas

Pažymėkime $A={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}}}$ ir $B={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}}}$, tuomet pagal aritmetinio – geometrinio vidurkio (AM $\geq$ GM) nelygybę turime:

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {a_{i}b_{i}}{AB}}\leq {\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {a_{i}^{2}}{A^{2}}}+{\frac {b_{i}^{2}}{B^{2}}}\right)=1\Rightarrow \sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\leq AB$, o pakėlus abi puses kvadratu gausime tai, ką ir reikėjo įrodyti. $\blacktriangle$

Jenseno nelygybės metodas

Akivaizdu, kad funkcija $f(x)=x^{2}$ yra įgaubta visoje skaičių tiesėje (t. y. jos $f''(x)>0$), todėl galime taikyti pasvertąją Jenseno nelygybę:

$\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{2}\geq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}\right)^{2}$ ,čia $w_{i}$ yra pasirinktas funkcijos svorio vienetas, o šių svorio vienetų suma yra apibrėžta ir lygi vienetui: $\sum _{i=1}^{n}w_{i}=1;$

Dabar kiekvienam $b_{i}\neq 0$ ir $i=1,2,3,...,n$ parenkame $x_{i}={\frac {a_{i}}{b_{i}}}$ bei $w_{i}={\frac {b_{i}^{2}}{\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}}}$, o tai įsistačius į Jenseno nelygybės išraišką gausime Koši – Švarco nelygybę. $\blacktriangle$

Andresko – Anesko įrodymas

Tarkime $a,b\in \mathbb {R}$ ir $x,y\in \mathbb {R^{+}}$, tuomet akivaizdu, kad galioja:
$\left(ay-bx\right)^{2}\geq 0\Rightarrow$

$a^{2}y^{2}+b^{2}x^{2}-2abxy\geq 0\Rightarrow$

${\frac {a^{2}y}{x}}+{\frac {b^{2}x}{y}}\geq 2ab\Rightarrow$

${\frac {a^{2}y}{x}}+{\frac {b^{2}x}{y}}+a^{2}+b^{2}\geq \left(a+b\right)^{2}$, o pertvarkę gauname:

${\frac {a^{2}}{x}}+{\frac {b^{2}}{y}}\geq {\frac {(a+b)^{2}}{x+y}}.$ Ši nelygybė dar vadinama Tito lema. Dabar pakeitę $b$ į $b+c$ , kur $c\in \mathbb {R}$ , bei $y$ į $y+z$ , kur $z\in \mathbb {R^{+}}$ ir pritaikę Tito lemą, gausime:

${\frac {a^{2}}{x}}+{\frac {b^{2}}{y}}+{\frac {c^{2}}{z}}\geq {\frac {(a+b+c)^{2}}{x+y+z}}$, o kartodami šias pakeitimo operacijas n kartų, gausime apibendrintą Tito lemą, dar vadinamą Koši – Švarco nelygybe Engel formoje (matematiko Artūro Engelio garbei):

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {a_{i}^{2}}{b_{i}}}\geq {\frac {\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{2}}{\sum _{i=1}^{n}b_{i}}}.$ Belieka tik pastebėti, kad parinkę tokius $a_{i}=\alpha _{i}\beta _{i}$ ir $b_{i}=\beta _{i}^{2}$ gausime standartinę Koši – Švarco nelygybę:

$\left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}^{2}\right)\geq \left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\beta _{i}\right)^{2}\blacktriangle$

Nuorodos

• Some Proofs of the Cauchy-Schwarz Inequality 2013-09-25. Shubhendu Trivedi;