Keplerio dėsniai

Šiam straipsniui ar jo daliai trūksta išnašų į patikimus šaltinius. Jūs galite padėti Vikipedijai pridėdami tinkamas išnašas su šaltiniais.

Keplerio dėsniai – trys dėsniai, aprašantys planetų judėjimą. Juos, remdamasis danų astronomo Tycho Brahės Marso stebėjimo duomenimis, XVII a. pradžioje suformulavo vokiečių matematikas Johanas Kepleris (Johannes Kepler). Vėliau Izaokas Niutonas išvedė juos iš Niutono gravitacijos dėsnio. Publikavimo metu Keplerio pažiūros buvo revoliucinės: daugelis astronomų buvo įsitikinę, kad planetų orbitos turi būti taisyklingi apskritimai. Žinomiausių planetų orbitos nedaug skiriasi nuo apskritimų, todėl ne iš karto buvo akivaizdu, kad tai elipsės.

Pirmasis dėsnis

Pirmojo Keplerio dėsnio iliustracija, Saulę laikant atskaitos kūnu.

Pirmasis Keplerio dėsnis: kiekviena planeta skrieja aplink Saulę elipse, kurios viename židinyje yra Saulė.

Elipsė yra figūra, primenanti ištemptą apskritimą. Svarbu atkreipti dėmesį, kad Saulė yra ne elipsės centre, o viename iš jos židinių. Kitas elipsės židinys fizikinės prasmės neturi.

Kiek daug elipsė yra ištempta, apibūdina fizikinis dydis, vadinamas ekscentricitetu, kuris gali įgyti reikšmes nuo 0 (apskritimas) iki 1 (parabolė). Matematiškai, elipsę labai patogu aprašyti naudojantis poline koordinačių sistema:

$r={\frac {p}{1+\varepsilon \,\cos \theta }},$

kur (r, θ) yra elipsės cilidrinės koordinatės, jos židinį laikant atskaitos tašku, p yra pusė atkarpos, jungiančios elipsės taškus, einančios per elipsės židinį (šiuo atveju – Saulę), ir statmenos elipsės ilgajam pusašiui, o ε yra elipsės ekscentricitetas. Planetai, skriejančiai apie Saulę, r yra jos atstumas iki Saulės, o θ yra kampas tarp planetos dabartinės padėties ir jos perihelio, Saulė kampo viršūnėje.

Kai θ = 0°, perihelyje, atstumas yra mažiausias.

$r_{\mathrm {min} }={\frac {p}{1+\varepsilon }}.$

Kai θ = 90° ir kai θ = 270°, atstumas yra $\,p$.

Kai θ = 180°, afelyje, atstumas yra didžiausias.

$r_{\mathrm {max} }={\frac {p}{1-\varepsilon }}.$

Didysis pusašis a yra r_min ir r_max aritmetinis vidurkis:

$\,r_{\max }-a=a-r_{\min }.$

Mažasis pusašis b yra r_min ir r_max geometrinis vidurkis:

${\frac {r_{\max }}{b}}={\frac {b}{r_{\min }}}.$

p yra r_min ir r_max harmoninis vidurkis:

${\frac {1}{r_{\min }}}-{\frac {1}{p}}={\frac {1}{p}}-{\frac {1}{r_{\max }}}.$

Ekscentricitetas gali būti apskaičiuotas kaip

$\varepsilon ={\frac {r_{\mathrm {max} }-r_{\mathrm {min} }}{r_{\mathrm {max} }+r_{\mathrm {min} }}}.$

Antrasis dėsnis

Antrojo Keplerio dėsnio iliustracija. Arčiau Saulės planeta juda greičiau, toliau nuo Saulės - lėčiau, kad per vienodus laiko tarpus apibrėžti plotai būtų vienodi. Žalia rodyklė žymi planetos greitį, violetinė - jėgą, kuria yra traukiama planeta.

Antrasis Keplerio dėsnis: planetos spindulys-vektorius per lygius laiko tarpus apibrėžia lygius plotus.

Įrodymas:

Per mažą laiko tarpą $dt\,$ planeta nubrėš trikampį, kurio pagrindas $vdt\,$, o aukštis $r\,$.
Šio trikampio plotas $dS={\frac {1}{2}}vrdt$.
Tada planetos sektorinis greitis $\sigma ={\frac {dS}{dt}}={\frac {1}{2}}vr.$
Kadangi planetą traukia centrinis kūnas - Saulė, planetą veikiantis jėgos momentas lygus 0 - jėga ir jos petys yra tos pačios krypties. Taigi yra išsaugomas planetos judesio kiekio momentas $L=mvr.$

Vadinasi, $\sigma ={\frac {L}{2m}}=const.$

Trečiasis dėsnis

Trečiasis Keplerio dėsnis: planetų skriejimo aplink Saulę žvaigždinių periodų kvadratai proporcingi jų orbitų didžiųjų pusašių kubams.

${\frac {a_{1}^{3}}{a_{2}^{3}}}={\frac {T_{1}^{2}}{T_{2}^{2}}}$

čia $a_{1}$ ir $a_{2}$ - kosminių kūnų, skriejančių aplink centrinį kūną, orbitų didieji pusašiai, $T_{1}$ ir $T_{2}$ skriejimo aplink centrinius kūnus periodai.

Žinant centrinio kūno masę, periodą galima apskaičiuoti taip:
$T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{GM}}},$,
čia $M$ - centrinio kūno masė, $G$ - gravitacijos konstanta.

Apibendrintasis trečiasis Keplerio dėsnis (išvestas vėliau matematiškai, Izaoko Niutono) teigia:

${\frac {a_{1}^{3}}{a_{2}^{3}}}={\frac {T_{1}^{2}(M+m_{1})}{T_{2}^{2}(M+m_{2})}}$

čia $a_{1}$ ir $a_{2}$ - kosminių kūnų, skriejančių aplink tą patį centrinį kūną, orbitų didieji pusašiai, $T_{1}$ ir $T_{2}$ skriejimo aplink centrinius kūnus periodai, $M$ - centrinio kūno masė, $m_{1}$ ir $m_{2}$ - aplink jį skriejančių kūnų masės. Kadangi visoms Saulės sistemos planetoms galioja $m_{1},m_{2}\ll M$, galima neatsižvelgti į planetų mases išraiškoje (prilyginant jas nuliui), taip sugrįžtant prie pradinės trečiojo Keplerio dėsnio išraiškos.