Apskritimas

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Peršokti į: navigaciją, paiešką
Apskritimas.svg

Euklidinėje geometrijoje apskritimas – aibė visų plokštumos taškų, vienodu atstumu nutolusių nuo vieno taško, vadinamo apskritimo centru.

Pagrindinės sąvokos[taisyti | redaguoti kodą]

Tiesės atkarpa, jungianti apskritimo centrą su bet kuriuo apskritimo tašku, vadinama apskritimo spinduliu. Spinduliu vadinamas ir atstumas nuo apskritimo centro iki bet kurio jo taško. Spindulys formulėse žymimas r arba R.

Taškas, nutolęs nuo apskritimo centro už spindulį mažesniu atstumu, vadinamas tašku apskritimo viduje, o taškas, nuo apskritimo centro nutolęs didesniu už spindulį atstumu, vadinamas tašku apskritimo išorėje.

Tiesės atkarpa, jungianti du apskritimo taškus, vadinama apskritimo styga. Styga, einanti per apskritimo centrą, vadinama apskritimo skersmeniu. Skersmuo formulėse žymimas d arba D. Skersmens ilgis lygus dviem apskritimo spinduliams (D = 2·R).

Vienoje stygos pusėje esanti apskritimo dalis, įskaitant ir stygos galinius taškus, vadinama apskritimo lanku. Apskritimo lankas, susietas su skersmeniu, vadinamas pusapskritimiu.

Apskritimo ilgis: C = 2 \pi R \,\!

Apskritimo ribojama plokštumos dalis, vadinama skrituliu.

Apskritimo lygtis[taisyti | redaguoti kodą]

Apskritimas yra antros eilės kreivė, kurios lygtis stačiakampėje (Dekarto) koordinačių sistemoje, kai centro koordinatės (a, b), o spindulys r, užrašoma formule:

\left( x - a \right)^2 + \left( y - b \right)^2=r^2.

Ši lygtis vadinama bendrąja apskritimo lygtimi.

Apkritimo, kurio centras yra koordinačių pradžios taške (0, 0), lygtis yra:

x^2+y^2=r^2. Ši lygtis vadinama kanonine apskritimo lygtimi.

Apskritimas yra atskiras elipsės atvejis.

Polinėje koordinačių sistemoje apskritimo koordinatės x ir y išreiškiamos taip:

x = a + r· cos(φ),
y = b + r· sin(φ).

Apibrėžtinis apskritimas[taisyti | redaguoti kodą]

Apskritimas, kuris eina per visas daugiakampio viršūnes, vadinamas apibrėžtiniu apskritimu, o daugiakampis vadinamas įbrėžtiniu daugiakampiu.

Trikampis apskritime.svg
Keturkampis apskritime.svg

Apie kiekvieną trikampį galima apibrėžti vienintelį apskritimą. Iš to galima daryti išvadą, kad vienintelį apskritimą galima nubrėžti ir per bet kuriuos tris plokštumos taškus, nesančius vienoje tiesėje.

Apie trikampį apibrėžto apskritimo centras yra to trikampio kraštinių vidurio statmenų susikirtimo taškas.

Apibrėžto apie trikampį apskritimo spindulio formulė: r = {\frac{abc}{4S}}

Apskritimą apibrėžti galima tik apie tą keturkampį, kurio priešingųjų kampų suma lygi 180°.

Apie kiekvieną taisyklingąjį daugiakampį galima apibrėžti vienintelį apskritimą.

Įbrėžtinis apskritimas[taisyti | redaguoti kodą]

Apskritimas, kuris liečia visas daugiakampio kraštines, vadinamas įbrėžtiniu apskritimu, o daugiakampis vadinamas apibrėžtiniu daugiakampiu.

Apskritimas trikampyje.svg

Į trikampį galima įbrėžti vienintelį apskritimą. Į trikampį įbrėžto apskritimo centras yra trikampio pusiaukampinių susikirtimo taške.

Į keturkampį galima įbrėžti apskritimą tik tuomet, kai keturkampio priešingų kraštinių ilgių sumos yra lygios.

Į kiekvieną taisyklingąjį daugiakampį galima įbrėžti vienintelį apskritimą.

Įbrėžtinio apskritimo spindulys: r = {\frac{2S}{a + b + c}}

Apskritimo ir tiesės tarpusavio padėtis[taisyti | redaguoti kodą]

Apsk ne liestine.svgApsk liestine.svgApsk kirstine.svg

Tiesė ir apskritimas gali neturėti bendrų taškų (a), gali turėti vieną bendrą tašką (b) arba du bendrus taškus (c).

Apskritimo kirstinė[taisyti | redaguoti kodą]

Tiesė, turinti su apskritimu du bendrus taškus, vadinama apskritimo kirstine.

Kirstinės savybės:
  • Vienodai nuo centro nutolusių kirstinių ilgiai yra lygūs.
  • To paties ilgio kirstinės visada yra vienodai nutolę nuo centro.
  • Kirstinei statmenas apskritimo spindulys dalija ją pusiau.
  • Atkarpa, jungianti kirstinės vidurio tašką ir apskritimo centrą, yra statmena šiai kirstinei.
  • Kirstinės vidurio statmuo eina per apskritimo centrą.

Apskritimo liestinė[taisyti | redaguoti kodą]

Tiesė, turinti su apskritimu vieną bendrą tašką, vadinama apskritimo liestine.

Liestinės savybės:
Liestine spindulys.svg
Dvi liestines.svg
  • Liestinė yra statmena spinduliui, nubrėžtam į lietimosi tašką (l \perp R).
  • Per lietimosi tašką išvestas liestinės statmuo eina per apskritimo centrą.
  • Iš bet kurio apskritimo išorėje esančio taško galima nubrėžti tik dvi skirtingas apskritimo liestines.
  • Iš to paties plokštumos taško nubrėžtų apskritimo liestinių atkarpos (nuo taško, esančio apskritimo išorėje, iki lietimosi taškų) yra lygios (AC = BC).

Dviejų apskritimų tarpusavio padėtis[taisyti | redaguoti kodą]

Koncentriniai apskritimai.svgApskr viduje.svgApskr isoreje.svg

Du plokštumos apskritimai, kurių centrai sutampa, vadinami koncentriniais (a). Du koncentriniai apskritimai, kurių spinduliai vienodi, sutampa, o koncentriniai apskritimai su skirtingais spinduliais bendrų taškų neturi (a).

Du nekoncentriniai apskritimai plokštumoje gali neturėti bendrų taškų (b ir c), gali turėti vieną bendrą tašką (d ir e) arba du bendrus taškus (f).

Apskr liecia viduje.svgApskr liecia isoreje.svgApskr kertasi.svg

Dviejų apskritimų lietimosi taškas priklauso jų centrus jungiančiai tiesei.

Centrinis kampas[taisyti | redaguoti kodą]

Centrinis kampas

Kampas, kurio viršūnė yra apskritimo centre, o kraštinės kerta apskritimą, vadinamas centriniu kampu.

Centrinio kampo, nedidesnio už pusapskritimį, laipsninis matas yra lygus jį atitinkančio apskritimo lanko laipsniniam matui. Centrinis kampas, kuris remiasi į pusapskritimį, yra ištiestinis ir jo laipsninis matas lygus 180 laipsnių.

Skritulio išpjovos AOB plotas yra:

S_{AOB}=\frac{\alpha \pi r^2}{360}.
Skritulio trikampio AOB plotas yra:
S_{\Delta}=\frac{r^2\cdot \sin\alpha}{2},

kur r yra skirtulio spindulys, o \alpha yra išpjovos kampas AOB. Trikampio OAB aukštinė h=r\sin\alpha.

Skritulio nuopjovos AB plotas yra:
(\frac{\alpha \pi }{360}-\frac{\sin\alpha}{2})r^2=(\frac{\alpha }{2}-\frac{\sin\alpha}{2})r^2.

Įbrėžtinis kampas[taisyti | redaguoti kodą]

Įbrėžtiniai kampai ACB ir ADB yra lygūs, nes remiasi į tą patį lanką

Kampas, kurio viršūnė yra apskritimo taškas, o kraštinės kerta apskritimą, vadinamas įbrėžtiniu kampu.

Įbrėžtinio kampo laipsninis matas yra lygus pusei jį atitinkančio apskritimo lanko laipsninio mato.

Įbrėžtinio kampo savybės:

  • Įbrėžtiniai kampai, besiremiantys į tą patį lanką yra lygūs.
  • Įbrėžtinis kampas, kuris remiasi į pusapskritimį, yra statusis.
  • Įbrėžtinis kampas lygus pusei centrinio kampo, besiremiančio į tą patį lanką.

Taip pat skaitykite[taisyti | redaguoti kodą]

Termino kilmė[taisyti | redaguoti kodą]

Terminą apskritimas lietuvių kalboje įvedė Jonas Jablonskis.

Vikiteka